初等变换应用

1、2内容摘要 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 本文列举了利用矩阵的初等变换解决上述问题的格式以及相关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区别。3目 录引 言1 行列式的计算2 求矩阵的逆3 求矩阵的秩4 求线性方程组的解5 求向量组的线性关系6 确定一向量组能否由另一向量组线性表出7 求向量组的秩与极大无关组8 判断两向量组是否等价9 向量空间内向量在基下的坐标10 一组向量组生成的子空间的基与

2、维数11 求两个子空间的和与交的基与维数12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵结 论4引 言 矩阵是线性代数的重要研究对象，矩阵初等变换是线性代数中一种重要 的计算工具。首先我们给出矩阵初等变换的定义。 下面三种变换定义为矩阵初等行变换： 1.互换两行（记 ）； 2.以数 （ ）乘以某一行（记 ）； 3.把某一行的 倍加到另一行上（记 ）。 若将上述定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系，化二次型为标准型等。 本文列举了利用矩阵初等变换解决上述问题的格式以及相

3、关的计算实例。同时也指出由于这些计算格式有不同的原理，虽然这些计算格式有不少类似之处，但是它们也有一些明显区别。我们只有了解这些计算格式的联系与区别才能正确使用这些计算格式。 首先我们给出利用初等行变换时矩阵消元的一般程序 A 行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 从上到下从左到右 从下到上从右到左jriririrjrkkkkk05正 文1 行列式的计算行列式的计算一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211初等行变换c1cl000022211211mnnnaaaaaa = c1cl 11a 22a mna其中第i步使用第一型初等行变换时，取=-1，

4、使用第二型初等行变换时，ci=1/k使用第三型初等行变换时，ci=1 （i=1，2l）6例1 计算 det A的值。273342731 解：273342731131232rrrr232017100731235/1rr 10/1960017100731=10/196101=196。2 求矩阵的逆求矩阵的逆一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩阵E所组成 n2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-11AEAE初等行变换这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。7例2 求矩阵 的逆。12

5、1011322解： 11011002134001001110012101001100132212212rrrr 4611003510103410014611001101101201014611001101101201010213401101100100113231323213214rrrrrrrrrrr84613513411A100010001461351341121011322验证： 3 求矩阵的秩求矩阵的秩一般格式：将mn矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵初等行变换 行阶梯形矩阵B例3 求矩阵 815073131223123的秩 A其中B中非零行数即为矩阵A的秩，记作r（A）。9:由于

6、B中有2个非零行，所以r（A）=2。一般格式:(1)齐次线性方程组AX=0，A是mn矩阵 4 求线性方程组的解求线性方程组的解 1对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)。若r(A)=n，则AX=0，只有零解；若r(A)n， 则AX=0有非零解，转入2 2对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余的n-k个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为1，其余全为0，求得AX=0的基础解系：X，X，Xn-k 113221728150731312144

7、31815073131223123rrrrrr000005911701443115273321059117014431233rr10 3n-k个解向量的线性组合：CX+C2X+Cn-kXn-k(C，C，Cn-k为任意常数)就是AX=0的通解。(2)非齐次线性方程组AX=B，A是mn矩阵1对增广矩阵(AB)进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)与r(AB)，若r(A)r(AB)，则AX=B无解；若r(A)=r(AB) 则AX=B有解，转入2 2对行阶梯阵继续施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，此时若r(A)=r(AB)=n，则AX=B有唯一解，行最简形矩阵所对

8、应的线性方程组就是这唯一解的表达式；若r(A)=r(AB)=kn，则AX=B有无穷多解，转入33以非零行的首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余n-k个未知元为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得到AX=B的一般解，令所有的自由未知量为0，求得AX=B的一个特解X0 4在AX=B的一般解中去掉常数项，就得到导出组AX=0的一般解，分别令一个自由未知量为1其余自由未知量都为0，求出导出组AX=0的基础解系，X，X，Xn-k与通解CXCX2C n-kXn-k5AX=B的一个特解加导出组AX=0的通解CX1+CX2+Cn-kXn-k+X0(C，Cn-k为任意常数) 就是AX=B的通解。11

9、解： 089514431311311B000004/ 14/ 72/ 31011311000004/ 14/ 72/ 3104/ 54/ 32/ 301004145104743012323214321ccxxxxx = ，其中21,cc为任意常数。 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx 例4 求解非齐次线性方程组 125 确定向量组的线性相关性确定向量组的线性相关性一般格式：设向量组为12m，以12m为列构成矩阵A，对A施行 初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r（A），若r（A）=m， 则12m线性无关，若r（A）m，则12m线性相关。例5 已知a1=1

10、,1,1T,a2=0,2,5T,a3=1,3,6T,讨论a1,a2,a3的线性相关性。解：计算以向量组成的矩阵的秩6513211011312rrrr550220101 23325/12/1rrrr 000220101r(A)=23=向量个数，所给向量组是线性相关的。6 确定一向量能否由另一向量线性表出确定一向量能否由另一向量线性表出一般格式：以向量组12m与向量为列构成矩阵A，然后对A施行初等 行变换，化为行最简形矩阵BBm行最简形矩阵初等行变换21A 看B的最后一列能否由前面各列表出。13 例6 已知向量组1=(2,-1,3,1)T，2=(4,-2,5,4)T, =(2,-1,4,-1)T，

11、试判断能否由1，2线性表出，若能，则写出相关的线性组合。 解：以为列构成矩阵，并对它施行初等行变换，化为行最简形矩阵12 000000110301440770220141141453121242242321214131241474/123rrrrrrrrrrrrrrr故： 127 求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组一般格式：设向量组12m，以它们为列构成矩阵ABm行阶梯形矩阵初等行变换21AB的非零行的首个元素所在的列向量对应的12m中的向量i1ir构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组12m的秩。 14例7 利用矩阵初等行变换求下列矩阵的行向量组的秩与一个极大无关组1=1,

12、1,1,0T,2=1,1,0,0T,3=3,3,2,0T,4=1,0,0,0T,5=3,2,1,0T解：将已知向量为列构成45的矩阵A，并对它施行初等行变换 000001100021110313110000021110110003131100000102012031131311321312rrrrrrA故1，2，4为该向量组的一个极大无关组，该向量组的秩为3。158 判断两向量组是否等价判断两向量组是否等价一般格式：已知向量组12m与12s，分别以12m与 12s 为列构成矩阵A与矩阵B，即A=（12m）， B= （12s），令矩阵C=（A，B），对矩阵C施行初等行变换初等行变换由D可求得r（

13、A），r（B），r（C），若r（A）= r（B）= r（C），则向量组12m与12s等价，否则，它们不等价。行阶梯形矩阵DC例8 判断向量组1=（1，2，-1，5）,2=（2，-1，1，1）和向量组1=（4，3，-1，11），2=（4，3，0，11）是否等价解：以1，2，1，2为列构成矩阵A和B，令C=（A B），然后对它施行初等行变换00001000111044219990433055504421111115011133124421ABC16由于r（A）r（B）r（C），所以向量组1，2与向量组1，2不等价。9 求向量空间中向量在一组基下的坐标求向量空间中向量在一组基下的坐标一般格式：设12

14、n是n维向量空间Rn的n个向量，是Rn中的一组基， 以12n，为列构成矩阵A，若可以对A施行初等行变换， 将它变成如下形式： nnnxxEA121初等行变换 其中En是n阶单位阵，则12n是Rn的一组基，且在基12n下的坐标为 nxxx2117例9 求向量在基1，2，3，4下的坐标1=1,1,1,1T 2=1，1，-1，-1T3=1，-1，1，-1T 4=1，-1，-1，1T,=1，2，1，1解：以1，2，3，4，为列构成矩阵A，并对它施行初等行变换 43424143432433234141312)4/1(2)2/1()2/1(140000110001010111111220002200020

15、20111110022002020122001111111111111112111111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrA 4/110004/101004/100104/500014/110004/101004/100104/501112131rrrr所以，在1，2，3，4下的坐标就是（5/4，1/4，-1/4，-1/4）T1810 求一个向量组生成的子空间的基与维数求一个向量组生成的子空间的基与维数 一般格式：记由向量组12m生成的子空间为L（12m）， 以12m为列构成矩阵A，对A施行初等行变换使化为 行阶梯形矩阵B，由B可求出向量组12m的一个极大 线性无关组i1ir

16、，它即为L（ 12m ）的一组基, L（ 12m ）的维数即为dim L（ 12m ）=r。 例10 在R4中，求由向量i（i=1，2，3，4）生成的子空间L（1，2，3，4）的基与维数，其中1=（2，1，3，-1）T，2=（-1，1，-3，1）T，3=（4，5，3，-1）T，4=（1，5，-3， 1）T 解：以向量1，2，3，4为列构成矩阵A，对A施行初等行变换，使A化为行阶梯形矩阵BA00000000321023011111333355111412初等行变换由矩阵B可知，1，2是向量组1，2，3，4的极大无关组所以 dim L（1，2，3，4）=2 1，2是L（1，2，3，4）一组基。 1

17、911 求两个子空间的和与交的基与维数求两个子空间的和与交的基与维数 一般格式：设分别由12m与12s生成的子空间为 L （ 12m ）和L（ 12s ），以12m与12s 为列构成矩阵A，然后对A施行初等行变换，使它化为行最简形矩阵B， 由矩阵B可求得dim L（ 12m ）和dim L（ 12s ）， dim （L（ 12m ）+dim L（ 12s ）， 以及L（ 12m ）+ L（ 12s ）的一个基。然后根据维数定理 求出dim （L（ 12m ）L（ 12s ）=r，再由矩阵B得 r个关于12m与12s的线性关系式，从而求出 L（ 12m ）L（ 12s ）的一个基。 例11 求子

18、空间L（1，2）与L（1，2）的交的基与维数，其中 1=（1，1，0，0）T，2=（1，0，1，1）T 1=（0，0，1，1）T，2=（0，1，1，1）T20 由B可得，1-2+21=2 1，2是L（ 1，2 ）的一组基， dimL（ 1，2 ）=2 1， 2是L（ 1， 2 ）的一组基，dimL（ 1， 2 ）=2 1，2 ， 1是 L（ 1，2 ）+ L（ 1， 2 ）= L（ 1，2 ，1， 2 ）的一组基 dim（L（ 1，2 ）+ L（ 1， 2 ）=3 dim（L（ 1，2 ） L（ 1， 2 ）= （dimL（ 1，2 ）+ dimL（ 1， 2 ）-dim（L（ 1，2 ）+ L（ 1， 2 ）=4-3=1BA00002100101010011110111010010011初等行变换 1221