波动理论基础

1、低应变理论基础低应变理论基础 2014 2014年年1111月月1616日日一、波动与振动一、波动与振动v 弹性动力学主要目标是在给定扰动源信息及边界条件、初始条件下求解弹性弹性动力学主要目标是在给定扰动源信息及边界条件、初始条件下求解弹性物体的动力响应。解答的形式有两种：一种是波动解，一种是振动解。前者描物体的动力响应。解答的形式有两种：一种是波动解，一种是振动解。前者描述行波在弹性介质中的传播过程，后者描述弹性体的振动。为了说明两者的联述行波在弹性介质中的传播过程，后者描述弹性体的振动。为了说明两者的联系与差异，首先考察波动与振动两个物理现象。系与差异，首先考察波动与振动两个物理现象。v

2、一个原来处于静止状态的物体，当其局部受到突然的扰动，并不能立即引一个原来处于静止状态的物体，当其局部受到突然的扰动，并不能立即引起物体各部分的运动。如下图所示的一根半无限长杆端部受到打击时，远离杆起物体各部分的运动。如下图所示的一根半无限长杆端部受到打击时，远离杆端的区域并不能立即感受到端部的打击信号，而要经过一定的时间后才能接受端的区域并不能立即感受到端部的打击信号，而要经过一定的时间后才能接受到这个信号。这是动力问题和静力问题最根本的区别。实际上由于连续介质中到这个信号。这是动力问题和静力问题最根本的区别。实际上由于连续介质中的各个质点由某种约束力而彼此联系起来，在末受到扰动之前，质点之间

3、的相的各个质点由某种约束力而彼此联系起来，在末受到扰动之前，质点之间的相互作用力处于平衡状态。当某一个质点受到扰动以后，它就要偏离互作用力处于平衡状态。当某一个质点受到扰动以后，它就要偏离 v 原来的平衡位置而进入运动状态。由于质点间相对位置的原来的平衡位置而进入运动状态。由于质点间相对位置的变化，使得受扰动质点同其周围质点之间增加了附加的弹变化，使得受扰动质点同其周围质点之间增加了附加的弹性力，从而与受扰动质点相邻的质点也必然受到影响而进性力，从而与受扰动质点相邻的质点也必然受到影响而进入运动状态。这种作用依次传递下去，便形成一个由扰动入运动状态。这种作用依次传递下去，便形成一个由扰动源开始

4、的波动现象。这种扰动借质点间的弹性力而逐渐传源开始的波动现象。这种扰动借质点间的弹性力而逐渐传播的过程，称为弹性波。如果介质是无限大的，扰动将会播的过程，称为弹性波。如果介质是无限大的，扰动将会随时间的发展一直传播出去。然而一个实际的物体总是有随时间的发展一直传播出去。然而一个实际的物体总是有边界的，当扰动到达边界时，将要和边界发生相互作用而边界的，当扰动到达边界时，将要和边界发生相互作用而产生反射。对一个有界的物体，由于扰动在其边界上来回产生反射。对一个有界的物体，由于扰动在其边界上来回反射，从而使得整个物体就会呈现出在其平衡位置附近的反射，从而使得整个物体就会呈现出在其平衡位置附近的一种周

5、期性的振荡现象，称之为弹性体的振动。弹性波和一种周期性的振荡现象，称之为弹性体的振动。弹性波和弹性体的振动之间存在着本质的内在联系。这两种现象的弹性体的振动之间存在着本质的内在联系。这两种现象的形成有着相同的机制，它们都是由介质的弹性和形成有着相同的机制，它们都是由介质的弹性和v 惯性两个基本性质所决定的。弹性性质有使发生了位移的惯性两个基本性质所决定的。弹性性质有使发生了位移的质点回复到原来平衡位置的作用，而运动质点的惯性有使质点回复到原来平衡位置的作用，而运动质点的惯性有使当前的运动状态持续下去的作用，或者说弹性是贮存势能当前的运动状态持续下去的作用，或者说弹性是贮存势能的要素，惯性是维持

6、动能的表征。正是由于这两种特性的的要素，惯性是维持动能的表征。正是由于这两种特性的存在，系统的能量才能得以保持和传递，外部的扰动才能存在，系统的能量才能得以保持和传递，外部的扰动才能激发起弹性被和弹性体的振动。弹性波的传播和弹性体的激发起弹性被和弹性体的振动。弹性波的传播和弹性体的振动，实际上可以看作是同一物理问题的不同表现形式。振动，实际上可以看作是同一物理问题的不同表现形式。v扰动一开始总是以行波的方式将能量传播出去，扰动一开始总是以行波的方式将能量传播出去，而当物体有边界时，由于行波的来回反射，最终而当物体有边界时，由于行波的来回反射，最终使物体趋于定常的运动状态，则表现为振动现象使物体

7、趋于定常的运动状态，则表现为振动现象。弹性体的振动是被动过程的一种特殊表现形式。弹性体的振动是被动过程的一种特殊表现形式，并不意味着被动过程已经消失，而是一种在有，并不意味着被动过程已经消失，而是一种在有界物体中长时间范围内的波动过程。在实际的弹界物体中长时间范围内的波动过程。在实际的弹性动力学问题中，有时需要考察波动过程，有时性动力学问题中，有时需要考察波动过程，有时则对振动现象更感兴趣。则对振动现象更感兴趣。二、波动方程二、波动方程v 目前目前, ,低应变反射波法动力测桩是采用低能量低应变反射波法动力测桩是采用低能量的瞬态激振的瞬态激振, ,桩在弹性范围内做低幅度振动桩在弹性范围内做低幅度

8、振动, ,利用利用振动和波动理论判断桩身缺陷。应力波反射法是振动和波动理论判断桩身缺陷。应力波反射法是一种以弹性波一种以弹性波( (也称应力波也称应力波) )在桩身中的传播反射在桩身中的传播反射特征为理论基础的方法。对于桩基来说特征为理论基础的方法。对于桩基来说, ,桩长一般桩长一般远大于直径远大于直径, ,从而可将桩看成一维杆件。当在桩顶从而可将桩看成一维杆件。当在桩顶处施加一瞬态激振力处施加一瞬态激振力, ,将会产生弹性波将会产生弹性波, ,由于桩与由于桩与土之间的波阻抗差异较大土之间的波阻抗差异较大, ,所以大部分波能量将在所以大部分波能量将在桩身传递桩身传递, ,在桩身传播的弹性波可以

9、用一维波动方在桩身传播的弹性波可以用一维波动方程计算。程计算。建立波动方程需满足下列基本假设条件建立波动方程需满足下列基本假设条件1.弹性限度内的振动。振动时弹性限度内的振动。振动时,各质点的应力、应变和位移的关系均各质点的应力、应变和位移的关系均服从虎克定律。对于低应变反射波法动力测桩来说服从虎克定律。对于低应变反射波法动力测桩来说,由于锤击力由于锤击力很小且可以控制很小且可以控制,因此被振动可以满足假设要求。因此被振动可以满足假设要求。2.各向同性的均匀或分段均勾材料。混凝土桩的拉伸特性与压缩特各向同性的均匀或分段均勾材料。混凝土桩的拉伸特性与压缩特性存在明显差异性存在明显差异,而且是非均

10、匀性的而且是非均匀性的,不过在微米级弹性振动范围不过在微米级弹性振动范围内内,可以将其近似看成满足这一假设要求可以将其近似看成满足这一假设要求,可以忽略这种差异。可以忽略这种差异。3.纵向振动时纵向振动时,横截面应为平面横截面应为平面,且截面上的轴向应力应力是均匀分布且截面上的轴向应力应力是均匀分布的的,其它应力分量均为零。其它应力分量均为零。4.由于纵波长度相比桩横截面尺寸要大的多由于纵波长度相比桩横截面尺寸要大的多,故不考虑横向位移对纵故不考虑横向位移对纵向运动的影响。向运动的影响。 假定振动在杆件内是沿轴向进行传播的假定振动在杆件内是沿轴向进行传播的, ,并且同一横并且同一横截面上的质点

11、振动状态是相同的截面上的质点振动状态是相同的, ,既振动时横截面的平面既振动时横截面的平面状态保持不变。现从杆件中取一长为状态保持不变。现从杆件中取一长为x x的微元的微元, ,两端截面两端截面的坐标分别为的坐标分别为x x和和x+ x+ x,x,设设A A和和分别为杆件的横截面面分别为杆件的横截面面积和密度积和密度, ,则单元的质量为则单元的质量为A A x ,x ,令令u u为单元的位移为单元的位移, ,那那么根据牛顿第二定律有么根据牛顿第二定律有: :(1-1)用用u表示位移，应变为表示位移，应变为质点运动速度为质点运动速度为tuv工程应力为工程应力为=F/A,=F/A,胡克定律表示为胡

12、克定律表示为=E=E。为微元的加速度为微元的加速度而而（x+x+x)x)和和(x)(x)分别为微元两端截面上的正应力分别为微元两端截面上的正应力，上上式两边除以式两边除以A x x后得后得:(1-2)令令x0时时,上式取极限可得上式取极限可得:(1-3)v 考虑到考虑到=E=E的关系的关系, ,以及以及则公式则公式(1-3)变为变为:（1-4）又若令又若令:（1-5）式中式中c是应力波传播速度是应力波传播速度,或称为纵波波速。那么方程或称为纵波波速。那么方程(1-4)又可以写为又可以写为:（1-6）v 根据行波理论根据行波理论, ,其波动解为二个反向行波的叠加其波动解为二个反向行波的叠加, ,

13、通解形式为通解形式为: :（1-7）f f和和g g分别代表了沿分别代表了沿x x轴正向传播的下行波和沿轴正向传播的下行波和沿x x轴负向轴负向传播的上行波传播的上行波, ,其传播速度其传播速度( (波速波速) )均为均为C,C,此通解也称此通解也称DAlembertDAlembert通解，高应变动力试桩和低应变反射波通解，高应变动力试桩和低应变反射波法即是对一维波动方程进行波动解。法即是对一维波动方程进行波动解。根据振动理论根据振动理论,采用分离变量法采用分离变量法,令令u(x,t)=X(x)U(t),则可解得则可解得:(1 -8 ) 式中式中为杆纵向振动的固有圆频率为杆纵向振动的固有圆频率

14、,常数常数c1,c2由初始条由初始条件决定件决定,c3,c4由边界条件决定由边界条件决定.下面研究两种与实际基桩情下面研究两种与实际基桩情形相近的边界条件形相近的边界条件(1)(1)两端自由的杆两端自由的杆此时杆的两端受力为零此时杆的两端受力为零, ,因而应变为零因而应变为零, ,即：即：v 代入代入(1-8)(1-8)式得：式得：（1-9）（1-10）式中式中f f为相邻两阶固有频率之差为相邻两阶固有频率之差,且且f f =f1,即相邻两阶固有即相邻两阶固有频率之差与一阶固有频率相等。频率之差与一阶固有频率相等。(2)一端自由一端自由,一端固定的杆一端固定的杆代入式（代入式（1-8）有）有（

15、1-11）得到公式得到公式(1-8),(1-8),f f仍为相邻两阶固有频率之差仍为相邻两阶固有频率之差, ,但但ffff1 1。三、弹性波的反射与透射三、弹性波的反射与透射v 低应变反射波法以一维波动理论为基础，把桩作为连低应变反射波法以一维波动理论为基础，把桩作为连续均匀的弹性杆件，研究桩顶在动态力作用下弹性杆的纵续均匀的弹性杆件，研究桩顶在动态力作用下弹性杆的纵向波动及桩土体系的动态响应。向波动及桩土体系的动态响应。v 自然状态下，桩顶受冲击后，将产生向下传播的应力自然状态下，桩顶受冲击后，将产生向下传播的应力波波( (入射波入射波) )，在波阻抗差异界面处，在波阻抗差异界面处( (如缩

16、径、夹异物、混如缩径、夹异物、混凝土离析或扩径等凝土离析或扩径等) )，部分应力波产生反射向上传播，部，部分应力波产生反射向上传播，部分应力波产生透射继续向下传播至桩端，在桩端处又产生分应力波产生透射继续向下传播至桩端，在桩端处又产生反射向上传播。反射向上传播。v 由安装在桩顶的加速度或速度传感器接收初始入射信由安装在桩顶的加速度或速度传感器接收初始入射信号及各种反射信号号及各种反射信号( (动态响应信号动态响应信号) )，并经基桩动测仪进行，并经基桩动测仪进行信号放大等处理后得到速度时程曲线。由信号放大等处理后得到速度时程曲线。由(1-5)(1-5)式，杆中式，杆中质点位移由上下行波两部分组

17、成，在顶端受瞬时冲击后产质点位移由上下行波两部分组成，在顶端受瞬时冲击后产生的初始下行波中存在压应力生的初始下行波中存在压应力1 1，在在1 1 的作用下桩身的作用下桩身产生运动，其质点运动速度产生运动，其质点运动速度V VI I(m(m/S)/S)取决于应力大小和材取决于应力大小和材料特性。料特性。（1-12）式中式中:V V为桩身混凝土质点振动的速度，为桩身混凝土质点振动的速度，C为纵波在为纵波在桩身混凝土中的传播速度桩身混凝土中的传播速度,单位都是单位都是m/s，但意思不，但意思不一样。一样。图1-4V=C*v 根据根据=F/A，F= A，根据胡克定律，根据胡克定律=E ，F= EA，v

18、 F=E*（V/C）*A，根据根据F=* *C C* *A A* *V V令令Z=CACA有：有：F=ZV （1-13）考虑方向，入射波为考虑方向，入射波为FI=ZV，反射波为，反射波为FR=-ZVv 在波阻抗差异界面处在波阻抗差异界面处( (图图2-2)2-2)，以，以Z1Z1，Z2Z2分别表示界分别表示界面上下的阻抗，脚码面上下的阻抗，脚码I I、R R、T T分别表示入射波、反射波和分别表示入射波、反射波和透射波，根据界面处连续条件，得到位移、速度和力的平透射波，根据界面处连续条件，得到位移、速度和力的平衡方程衡方程: :位移：位移：u1=u2,uu1=u2,ui i+u+ur r= =u ut t; ; （1-141-14）速度：速度：V1=V2V1=V2，Vi+VtVi+Vt= =VrVr; ; （1-151-15）力：力： F1=F2,Fi+Ft=Fr F1=F2,Fi+Ft=Fr （1-161-16）由一维波动方程的波动解由一维波动方程的波动解(1-4)式式,入射下行波为入射下行波为:（1-17）（1-18）同理同理,对于透射波对于透射波,有有:1-19（1-20）及（及（1-18）（）（1-20）式代入（）式代入（1-15）式，有：）式，有：（1-21）（1-22）再联立再联立(1-