第二次课(偏导数)

1、第二节第二节 偏导数偏导数教学内容教学内容1偏导数的定义及其计算方法偏导数的定义及其计算方法2高阶偏导数高阶偏导数考研要求考研要求1理解多元函数偏导数的概念及其性质理解多元函数偏导数的概念及其性质2掌握多元函数偏导数的求法掌握多元函数偏导数的求法第九章 第二节1一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度 , 就是就是),(txu0 xoxu中的中的 x 固定于固定于求求一阶导数与二阶导数一阶导数与二阶导数.),(txux0 处处, ,),(0txu),(0txu关于关于 t 的的将振幅将振幅 在这节我们讨论二

2、元函数关于一个自变量的情在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况况.一般地一般地,设函数( , )f x y因此因此,( , ),( , )zf x yx yD当( , )x y沿着平行轴方向变化时轴方向变化时,x不变不变, x在变在变, 实际上是实际上是yzx的一元函数沿平行于沿平行于x轴方向变化率就是把轴方向变化率就是把y看作常数看作常数,函数关于自变量函数关于自变量一阶导数一阶导数.x.),(yxfz 在点在点), (), (lim000yfyfx存在存在, ,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内的某邻域内;),(

3、00yxxfxx00 x则称此极限为函数则称此极限为函数极限极限设函数设函数x; ),(00yxfx;),(00yxxz. ),(001yxf 类似的类似的, ,可以定义可以定义),(yxfz 在点在点),(00yx对对y的偏导数的偏导数. .，的的处对处对在在函数函数为为处的导数处的导数在在函数函数称称偏导数偏导数二元二元一元一元 ),( ),( ),(),(lim),(),(lim ),( 000000000000000 xyxPyxfzxxyxfyxfxyxfyxxfxxyxfzxxx 即有如下的说法即有如下的说法亦即亦即:),(00yxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000

4、0),(dd0 xxyxfx类似的类似的),(00yxfy00000(,)(,)limyf xyyf xyy 0),(dd0yyyxfy若函数若函数 z = f ( x , y ) 在域在域 D 内每一点内每一点 ( x , y ) 处对处对 x,xzxfxz则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数, 也简称为也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy记为记为或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,yzyfyzkyxfkyxfyxfky),(),(lim),(0注意注意hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0偏导数的概念可以推广到二元以上

5、的多元函数偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 计算偏导数的方法：计算偏导数的方法： (2)(2)借助一元函数求导运算，先求借助一元函数求导运算，先求在某一点在某一点(x(x0 0,y,y0 0) )处对处对(1)(1)求极限（定义法）求极限（定义法）求求( , )zf x y的偏导数的偏导数x),(00yxfxxyxfyxxfx),(),(lim000000

6、),(dd0 xxyxfx通常用于分界点通常用于分界点, ,不连续点以及偏导函数不存在的点不连续点以及偏导函数不存在的点. .偏导函数偏导函数( , )zf x y对应的对应的( , ),xfx y而而),(00yxfx就是偏导函数就是偏导函数( , )xfx y在在在点在点(x(x0 0,y,y0 0) )处的值处的值. .方法方法(2)(2)要求偏导函数要求偏导函数( , )xfx y在点在点(x(x0 0,y,y0 0) )处有意义处有意义. .注意注意例例1 . 求求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点在点(1 , 2) 处的处的偏导数偏

7、导数. .) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyy

8、yx yyxx1sgn22 )0( y1,0,sgn0,0,1,0.yyyy符号函数符号函数？00 yxyz（需用偏导数定义来计算）（需用偏导数定义来计算）不存在不存在22000arcsinarcsin()limyxyxxxxyzyy 220limsgn()()yxyxy 罗比达法则罗比达法则1010yy 00 yxyz故故例例4. 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程偏导数记号是一个偏导数记号是一个求证求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作不能看作分子与分母的

9、商分子与分母的商 !此例表明此例表明,整体记号整体记号,偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，二、偏导数的几何意义及二、偏导数的几何意义及 函数偏导数存在与函数连续的关系函数偏导数存在与函数连续的关系. ),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏导导（函函）数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0 ,0(),(时时当当 yxxxyxxyyxf 22),(,)()(22222yxxyy 时时，

10、当当)0,0(),( yx,00 x)0 , 0(xf 0 )0 ,(xxf22222 )(2)(yxxyxyxyy 为为常常量量视视分界点,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx，得得由由 对称性.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy 可见可见偏导数存在偏导数存在 连续连续.偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxx

11、yy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲线0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M对对 y 轴的轴的三、高阶偏导数三、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy );,()(22yxfyzyzyyy则称它们是则称它们是z = f ( x , y )

12、的的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个有下列四个二阶偏导二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx).,(2yxfxyzxyx数数:二阶混合偏导数二阶混合偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再关于再关于 y 的一阶的一阶) (yyxznn1偏导数为偏导数为11nnxz定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导

13、数高阶偏导数. .注意注意 与一阶偏导数计算类似，但特殊点仍需用与一阶偏导数计算类似，但特殊点仍需用定义定义.例例6. 证明函数证明函数第九章 第二节22222,1zyxrru满足拉普拉斯满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用利用对称性对称性 , 有有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0例例 7 7 设设byeuaxcos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数. 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxu

14、ax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 注意注意: :此处此处.22xyzyxz问题：问题：二阶混合偏导数总相等吗？二阶混合偏导数总相等吗？.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数求求设设yxfyxyxyxyxyxf 例例 8 8解解,)0 , 0(),(时时当当 yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(232224222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy ,)0 , 0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知

15、：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0. 1 ).0 , 0()0 , 0(yxxyff 显然显然定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等第九章 第二节26问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。内容小结内容小结第九章 第二节271