工程力学-4-平面任意力系

1、第四章第四章平面任意力系平面任意力系3 平面任意力系 平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算平面任意力系实例平面任意力系实例平面任意力系：受力在同一平面内，且各力作用线既不平面任意力系：受力在同一平面内，且各力作用线既不 交于一点也不互相平行。交于一点也不互相平行。3.1.1 力线平移定理 定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。3.1 平面任意力系向作用面内一点简化ABM

2、ABFFFFABF力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有关，有关，m=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。说明说明：ABMFABF3.1.1 力线平移定理OxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩1122nn FFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFFOF1F2FnOxyF1F2FnMnM2M1OxyijMOFR平面汇交力系力，FR(主矢，作用在简化中心

3、)平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩1212nRni FFFFFFFF平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为1212()()()()OnOOOnOiMMMMMMMM FFFFOF1F2FnOxyF1F2FnMnM2M1OxyijMOFR 平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。RRRxyxyFF FF+ Fij22()()RxyFFF cos(, )cos(

4、, )xRRyRRFFFFFiFj3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩OF1F2FnOxyijMOFR 原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。3.1.2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩11()()nniOOiyiixiiiMMx Fy F F 平面任意力系向作用面内任一点O 简化，可得该力系的主矢和该力系对于点O 的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。OF1F2FnOxyijMOFRAAA 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。3.1.3 平面固定端约束AMAFAyFAxFA

5、MA区别区别3.1.3 平面固定端约束3.1.4 平面任意力系简化结果分析四种情况：(1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO0 (1)平面任意力系简化为一个力偶的情形原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。()OOMM FF4F1F2F3ABCD四个力是否平衡？ FR0，MO03.1.4 平面任意力系简化结果分析(2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一

6、步简化为一合力。如图OOFRdFRFRFRMOFROOdOOORMdF()ORROMF dMF()OOiMM F结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。3.1.4 平面任意力系简化结果分析FRdOO从图中可以看出所以由主矩的定义知：()()OROiMM FF3.1.4 平面任意力系简化结果分析主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心合力作用线距简化中心合力作用线距简化中心合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无

7、关简化中心简化中心：A点点主矢主矢思考：三角形分布载荷处理？思考：三角形分布载荷处理？qlqdxlxRl210主矩主矩2031qlqdxlxxmLlA简化最终结果简化最终结果lqlqlRLd3221312yxRmAdRxldxqlxR=qlR21 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。3.1.5 平行分布线荷载的简化1、均布荷载、均布荷载qlQ 2、三角形荷载、三角形荷载qlQ

8、213、梯形荷载、梯形荷载l/2l/2qQQ23l3lqlq2q1可以看作一个三角形荷载和一可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加个均布荷载的叠加A6BC341F2F3F 例例 图示力系，已知：F1=100N, F2=50N, F3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后结果。解： 1、建立坐标系xy2、Fx=Fx=F3 =200NFy=Fy=F1+ F2 =100+50 =150N 主矢2222200150250RxyFFFN 200coscos(, )0.8250 xRRFFxF =36.9R 2()650 6300N cmAAimmFFmAA

9、6BC341F2F3FxyRcmN300Am2、简化最终结果3001.2cm250ARmhFmARh主矢250RFN 主矩最终结果合力大小：250RRFFN方向: =36.9位置图示：方向： =36.9例例3-1 已知：已知：1450,P kN2200,P kN1300,F kN270;F kN求：求： 力系的合力系的合力力,RF合力与合力与OA杆的交点到点杆的交点到点O的距离的距离x，合力作用线方程。合力作用线方程。解：解：（1）向）向O点简化，点简化， 求求主矢和主矩。主矢和主矩。0arctan16.7ABACBAC12cos232.9RxixFFFFkN12sin670.1RyiyFFP

10、PF kNRF大小大小22709.4RixiyFFFkNRF的方向余的方向余弦弦cos,0.3283ixRRFF iFcos,0.9446iyRRFFjF 主矩主矩 11231.53.92355ooMMFFPP kN m（2）、求合力及其作用线位置。）、求合力及其作用线位置。2 3 5 53 .3 1 9 77 0 9 .4oRMdFm003.514cos 9070.84dx m（3）、求合力作用线方）、求合力作用线方程程ooRRyRxRyRxMMFx Fy Fx Fy F即即2355670.1232.9xy有：有：607.1232.923550 xy00ROM F22()()()RxyOOi

11、FFFMM F3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.2.1 平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即22()() ,()RxyOOiFFFMM F3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.2. 2 平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以解：以刚架为研究对象，受力如图。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP

12、221qbPaMA例1例1 求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2 求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。0:cos0 xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMF aPabmF解之得：cosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAx(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。3.2.3

13、平衡方程的其它形式ABxRF(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意：注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。 由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。ABCRF例3例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例3解：取横梁

14、AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 从(3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF例3CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,

15、2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5 力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。Oxy 平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB连线不能与各力的作用线平行。3.2.4 平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn例4 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重

16、机轮子的反力？0)(FmB(6 2)2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制条件：限制条件：解：解： 首先考虑满载时，起重首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的机不向右翻倒的Q：空载时，空载时，W=0 由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得解得: :04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时

17、，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得： 由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。3.3 物体系的平衡静定和超静定问题 在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独

18、立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。3.3 物体系的平衡静定和超静定问题 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移谐调条件来求解谐调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）PPPPFPFPF判断各图的超静定次数判断各图的超静定次数例5例5 求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqa

19、aF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF例5再以AC为研究对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CD

20、CBAD例7例7 求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分为研究对象，受力如图。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx例4例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxDFFF0:(2)0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)2DqabFa2(2)2AxqabFa (2)AyFqabaaa

21、bDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy45例例41DFF再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123例9例9 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。()0:AMF214260BFPP解得：1000NBF 2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB

22、例9再以DF为研究对象，受力如图。2()0:220EFyMPFF解得：2500 NFyFP 最后以杆BG为研究对象，受力如图。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2ABCD例10例10 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。()0:BMFsin450(1)22AyTllF lWF再以整体为研究对象，受力如图。0:yF30(2)Ay

23、DyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy例10最后以DC为研究对象，受力如图。0(3)2DylF lW联立求解(1)、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCD例10联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD

24、解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xF()0:BMF0(5)DxCxFF例11例11 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链 E 处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPDCABEFAxFAyFBEPD2l/3CB例11下面用不同的方法求铰链 E 的受力。方法1：先以DC为研究对象。2()0:03DCylMFlP F23C

25、yFP再以BDC为研究对象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy例11方法2：分别以ACD和AC为研究对象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF联立求解以上两方程即得同样结果。类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF例11方法3：分

26、别以BD和AC为研究对象，受力如图。1202BEF lFl12 23EFP2202AxEAyF lFlF l2223EEFPF 用RE1、RE2表示的约束反力和用FEx、FEy表示的约束反力本质上是同一个力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB()0:DMF()0:CMF例12例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1)

27、 取BC分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得结果为负说明与假设方向相反。例12(2) 取CD分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取AB、BC分析10:02xCxAxFFFql11( 4)3 21kN22AxCxFFql 0:0yAyCyFFF( 2)2 kNAyCyFF ()0:11023AACyCxMMMqllFlFl F6 kN mAM 求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/

28、3l/2 Mq0ABEDax1234EACBD例13例13 编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。F解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbbbbFFxFFaFb上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。FNB例13ABFFAyFAxN()0:0

29、CDMFbFxF取整体为研究对象，受力如图。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平杆2为研究对象，受力如图。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1为负值，说明杆1受压，且与x无关。FFNDFCyFCx例14（习题3-32）F2F1ABCD4.54.53422习题332 构架尺寸如图所示(尺寸单位为m)，不计各杆件自重，载荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及AD两杆所受的力。F2F1ABCFCDFAxFAyFAD解：1.取三角形ABC分析，其中A、C处应带有销钉：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.8

30、3kNCDF CD杆受压力。（教材参考答案是87.5 kN)例14（习题3-32）F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2. 取BC分析，注意在C处应带有销钉。()0:BMF122444.5990:5124CDCAFFF 179.19 kNCAF3.4 平面简单桁架平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析工程中的桁架结构工程中的桁架结构3.4 平面简单桁架 桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架。桁架中的铰链接头称为节点。 为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设： (1)桁架的杆件都是直杆；

31、 (2)杆件用光滑铰链连接； (3)桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内； (4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。3.4 平面简单桁架 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为节点法。3.4.1 节点法 例14 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载F = 10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240AByMFFF3.4.1 节点法2mF2mABCD3013425A

32、B30134DC5 kNByF5 kNAyFFFByFAyFAx25再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。3.4.1 节点法FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF10,sin300yAyFFF节点A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF节点C520,0 xFFF节点D解上述5个议程得1234510 kN,8.66 kN,10 kN10 kN,8.66 kNFFFFF 其中1，4杆受压。三杆节点无载荷、其中两杆在三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。一条直线上，另一杆必为零力杆。12SS且四杆节点无载荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆一条直线上，同一直线上两杆内力等值。内力等值。12SS34SS两杆节点无载荷、且两杆不在两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。一条直线上时，该两杆是零力杆。特殊杆件的内力判断特殊杆件的内力判断021