自动控制原理习题第四章

1、第四章：例1求以下各开环传递函数所对应的负反应系统的根轨迹。Wk(s)Kg(s 3)(s 1)(s 2)起点：两个开环极点为p11， p2 2 ；终点：系统有一个开环零点为z 3。2) 实轴上的根轨迹区间为，3 ,2, 1。3) 根轨迹的别离点、会合点计算D'(s)N(s) N '(s)D(s)0即(s 1)(s 2) (s 3) (s 1) (s 2)0s2 6s 70S,2 夕 6 J36 28)舟(6 丽)3 近因为根轨迹在,3和 2, 1上，所以，别离点为1.58，会合点为4.42。根轨迹如图4-1所示。图4-1根轨迹图例2求以下各环传递函数所对应的负反应系统根轨迹。1

2、 Wk(s)、s 2s 3解1起点：两个开环极点p11 j 2,p21 j 2。终点：系统有一个开环零点 z 2。2实轴上根轨迹区间为(2。3渐近线计算180 1 20,1,2,L由公式Pj求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180 (1 2)1802 14求别离点，会合点由 D'(s)N(s)N'(s)D(s)2s 3 (s 2)(2s2) 0整理得s2 4s 10由于实轴上的根轨迹在2,区间内,所以别离点应为 &5出射角计算sc 180sc1'i180.90 J 54.7144.7；同理,sC2144.7。根轨迹如图4-2所示。1F,milirRs-

3、44 出 4S -3 易聶 丄 -ie -13" 5Dfkol Axk:LO£u&$ 0 刍 o Q图4-2 例2根轨迹图例3负反应控制系统的开环传递函数如下，绘制概略根轨迹，并求产生纯虚根的开环增益K|。WJs)Kgs(s 1)(s 10)解1)起点：三个开环极点为Pl 0, P21, P310。终点：三个无穷零点2)3)整理得实轴上的根轨迹区间为-1 , 0 ,，-10。别离点、会合点计算D'(s)N(s) N '(s)D(s)023s 22s 100解得s10.49, s26.85舍去4)渐近线计算匸80： 1 2由公式n mnmPj zj 1

4、i 1kn m0,1,2,|求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180 (1 2 )60 ,180 ,3001 1033.675与虚轴的交点系统的特征方程为1 s 10Kg 0即102 Kg(j1)( j 10)Kg解得即根轨迹与虚轴的交点为s1,2,10,此时KgKl110根轨迹绘于图4-3。Rod LOCUS5 H蜀匚0roE_o255Real Axis图4-3题3的根轨迹图 例4设系统结构图如图4-4所示。为使闭环极点位于s 1 j 3试确定增益K和反应系数Kh的值，并以计算得到的 K、Kh值为基准，绘出以 Kh为变量的根轨迹。RG) cC (s)Jri + r s图4-4 例4

5、的控制系统结构图解系统闭环传递函数为Wb(s)KhS)Ks2 KKhs K由于闭环极点位于 S1 j、3，那么系统闭环特征方程为KKhs K = (s1 j 3)(s 1j < 3)整理得2 2S2 KKhS K=s 2s 4所以 K 4, Kh 0.5系统开环传递函数Kh(s 2)2S0。，-2。180 (1 2 )3180根轨迹绘于图4-5。21Algu'Ge!P-图4-5例5的以Kh为变量的根轨迹Wk(s)1 )起点：两个开环极点p,2终点：一个开环零点。2) 实轴上的根轨迹区间为3) 别离点，会合点计算D'(s)N(s)N'(s)D(s)0整理得s2 2s

6、(s 2)0那么S| 0,s244渐近线计算180 1 20,1,2,Lnm由公式nmPjzj 1i 1kn m例5单位反应控制系统的闭环传递函数为Wb(s)=7S试画出以nn为常数、为变数时,求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为%X_s1 + iCa图4-7例6的控制系统结构图解系统特征方程为S22nS2 0系统的特征根为p1,2n或p1,2inj n 12(当n为常数，为变数时，系统特征方程的根在系统特征方程式的根在 s平面上的分布轨迹。圆，如图4-6所示。 ( 1)1)S复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、以为半径的图4-6 例5根轨迹分布图例6设系统结构图如图4-7所示。为使闭环

7、极点位于试确定增益K和反应系数Kh的值，并以计算得到的K值为基准，绘出以 Kh为变量的根轨迹。解系统闭环传递函数为Ks2 KKhS K2Wb(s)1 K2(1 KhS)S由于闭环极点位于 s 1 j 3，那么系统闭环特征方程为 S2 KKhs K = (s 1 j.3)(s 1 j.3)整理得s2 KKhs K=s2 2s 4以K 4值为基准，绘制以所以 K 4, Kh 0.5Kh为变量的根轨时，系统对应的等效开环传递函数为:起点:WKeq(s)两个开环极点p122j4KhSs24终点：一个有限零点，乙实轴上的根轨迹区间为0。别离点，会合点计算整理得S 2,S22根据题意，实轴上的根轨迹在根轨

8、迹绘于图4-18。1"D'(s)N(s)N'(s)D(s)0s2 4，0区间内，所以会合点为s,2 。"wig*lADi图4-8例6的以Kh为变量的根轨迹ffi 4T 闭拣系统槿图« 系藐的开环传递雷数为+ 3)并对求岀的T值画出機轨赴；确宦使系统稳足的K忸&对应的两环特征力裡为叫=? + 3 十 K7*$ + K =0由，令O=(j-2 -j /10)(i-2 +j J冋"亠4小4比拟系数.可以解得K = U, ?= -/20此时*开环传递隕数可以写为K(-亍s + 1-2)J(1 4-3)° i ( j + 3)当K

9、从07 变动时，可以11出相应的零度棍轨迹。确定实轴上的根轨迹为I -3,0, 2, +«)o 计算渐近线、 乘统开环极点n=2f = 1.肝以有前条抿轨迹。p, =0t p, = -3,卸=2,在宜平 廁上将开环零，极点标出。=-跡丁 = 0c Zr = 0h - mE鬥-£dLJU.=_5确定根软迹的别离点和T合点“JVj *+ (3-夕)K二0.令字" 可以推怕d严-1.16, d. =5. I6n2di 确定根轨迹与虚轴的交点。令可3代人待征方程*整理后令实部和堤部都为零.J“(Jj-丄 一一 Ji -6*- J -202464昭耐环系统根轨迹缈？匡4T所

10、示捋制系统的闭环极点为2±j /?0,试确定增益K和速度反应系统得w = ±扌&X = 6 从而，可以确定使系统稳定的托値范围为0 <K <6相应的根轨迹如卜图4-1 n所示"例8系统开环传递函数为Wk(s)Kg(s 1)s2(s 2)(s 4)试绘制系统在负反应与正反应两种情况下的根轨迹。 解起点：系统有四个开环极点P1,20,P32, P44。终点：一个开环有限零点1负反应1实轴上根轨迹区间为，4,2, 1。2渐近线计算-180o(1 2 )60 ,1803与虚轴交点将s j代入系统特征方程1+ Wk(s)0，得由实部虚局部别相等，得解得2

11、2Kg(j2)(j 2)(jKg 0Kg 026 124) Kg(j 1)0那么根轨迹与虚轴的交点为s1,2= jJF对应的根轨迹放大系数为根轨迹如图4-11所示。Kg 12。/4豆F-jl.414-4-3-2-1口胡和la2正反应1实轴上卜4 , -2 , : -1,0 区间为根轨迹。2渐近线计算120,0-n m2 4 15k333别离点计算N(s) s 12D(s) s (s 2)(s 4)N '(s)1D'(s) s2(s2)2s(s2)(s4)s2(s4)2 2=s (2 s6)2s(s6s8)由 D'(s)N(s)N'(s)D(s)0 得3222(4s18s16s)(s 1) s (s 6s 8)03s(3s 16s26s 16)0解得 53.1 , s20041.12, j0.68由于实轴上根轨迹的区间为-4，-2，: -1,0 ,所以别离点取s!3.1 o根轨迹如图4-12所示。图4-12 例8正反应情况下的根轨迹图例9给定控制系统的开环传递函数为WK ss(2s a)试作出以为参变量的根轨迹