路径积分和金融衍生品定价

1、路径积分和金融衍生品定价路径积分和金融衍生品定价范韶范韶华华安永公司（Ernst & Young）纽约大学柯朗数学研究所（Courant Institute of Mathematical Sciences, NYU）报告提纲报告提纲 教育工作背景（Background） 计算机图象生成问题中的新的数学框架系列蒙特卡罗方法（Sequential Monte Carlo methods ） 在图形生成和动画仿真中的应用 在金融衍生品定价中的应用 金融数学工程（Financial Engineering） 柯朗数学研究所的金融数学课程 贝尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目 金融业界的

2、学术交流和专业活动 今后研究计划（Future Plan and Research）教育背景教育背景/工作经历工作经历 教育背景 威斯康星大学 纽约大学柯朗数学研究所 北京师范大学 工作经历 安永公司，高级定量研究员 贝尔斯登银行/摩根大通银行，业务副主管 北京师范大学数学系，助教和讲师报告提纲报告提纲 教育工作背景（Background） 计算机图象生成问题中的新的数学框架系列蒙特卡罗方法（Sequential Monte Carlo methods ） 在图形生成中的应用 在金融衍生品定价中的应用 金融数学工程（Financial Engineering） 柯朗数学研究所的金融数学课程 贝

3、尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目 金融业界的学术交流和专业活动 今后研究计划（Future Plan and Research）图象和动画仿真图象和动画仿真Photorealistic Rendering 目标(Goal)：图象模拟仿真和动画(Generate realistic photos and animations) 应用 （Applications） 电影制作 （Movie） 交互式娱乐（Interactive entertainments） 电脑游戏 （Computer games） 虚拟实境（Virtual reality walk-throughs） 动画制作（Anim

4、ation） 广告制作（Advertisement）From Day After Tomorrow图象和动画仿真的应用图象和动画仿真的应用Applications of Photorealistic Rendering黑客帝黑客帝国国2：重装上：重装上阵阵明日之后明日之后图象和动画仿真图象和动画仿真的流程的流程Chart flow for Photorealistic Rendering 生成方程生成方程 （Rendering Equation） 反射方程反射方程 （Reflection Equation） 能量守恒方程能量守恒方程 (Energy Balance Equation)txtxt

5、xtxtx )()()(ttrttettxxLxxLxxL Light reflectedSumBRDFIncoming lightincoming light reflected at the point MttitttsttrxxLxxxfxxL)()()(生成方程的路生成方程的路径积径积分形式分形式 路径积分 （Feynman Integral) : 路路径径 : 路路径径空空间间 : 面元面元测测度度 : 路路径对径对成像的成像的贡献贡献tXtntttxxxX21 ttkjkjxdxfI)(txkjf tNtNtntntntntnsttttetkjvvxxxxGxxxfxxGxxLxf

6、1kj1N1n1111010 W v图象生成的蒙特卡罗积分图象生成的蒙特卡罗积分（Monte Carlo Integration for Rendering） 要计算在像素j上的亮度: 是光路空间 蒙特卡罗积分: 选择一个随机分布函数 p(.), 产生N条光路 如何选择p(.) 是关键: 最好是实际的分布函数IfX dXjj()()()INfXp XjjiiiN11Xi有关蒙特卡罗方法的背景有关蒙特卡罗方法的背景（Background on Monte Carlo） 取名于摩纳哥的著名赌城 掷色子是一个随机事件 蒙特卡罗方法 任何涉及随机采样的数值方法 不光可用于有关随机的问题 估计 圆周率

7、优化问题 40年代美国Los Alamos 实验室的科学家用于核武器的研究 代表人物：冯诺依曼传统蒙特卡罗方法传统蒙特卡罗方法存在的问题-图象仿真图象仿真 计算量很大 收敛速度慢 如果采样不够多， 图像噪声(Spatial Noisy) 纰漏(Artifacts)Nvar/1现有的蒙特卡罗方法现有的蒙特卡罗方法存在的存在的问题问题动画仿真动画仿真 生成动画仿真需很长时间 每一揁图通常几个小时 时间噪声(Temporal noise) 闪烁（Flickering） 摇晃闪光（Shimmering）From Max-Planck Institute, German解解决决方案系列方案系列蒙特卡罗方

8、法蒙特卡罗方法 改进的蒙特卡罗方法应 适应性采样适应性采样 (adapt sampling) 集中重要和难得区域 用多个采样分布函数 样本重用样本重用（Important Path Reuse）改进的方法改进的方法传统的方法传统的方法系列系列蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法Sequential Monte Carlo (SMC) SMC:从一系列的采样分布函数的一套采样方法 关键（Key ideas） 利用已有的样本来改进后面的采样分布函数和采样策略 已有的样本提供先验信息（a priori information ） 样本重用（Reuse samples through resampling and

9、 MCMC） 再采样（Resampling) 马尔科夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo MCMC)系列系列蒙特卡的分布函数蒙特卡的分布函数图像平面的适应性采样图像平面的适应性采样（Adaptive Sampling Image Plane）不同的区域有不同的细节不同的区域有不同的细节阴影部分阴影部分反射亮区反射亮区黑背景黑背景调节分布函数使得调节分布函数使得细节多的区域样本更多一些细节多的区域样本更多一些Adaptive Image PlaneInit. imagePixel sample distributionPerceptual var.结果比较结果比较PMC

10、-IPMISPMC-IPP-VarMISP-Var动画仿真中的动画仿真中的样样本重用本重用3215 .05 .0?1:cos),(?1:cos),(1|11,111,11,01101101casecasecaseTTTTTSyyyGTSyyyGTTtXYTbackwardforwardforwardbackwardspecularlmjtjoutjtjtjforwardmljtjoutjtjtjbackwardNiispecularktttimetsubkCornell BoxFrame-By-FrameWith Temporal PerturbationChess BoardFrame-By

11、-FrameWith Temporal PerturbationBasementFrame-By-FrameWith Temporal Perturbation论文的贡献和影响论文的贡献和影响 引入系列蒙特卡罗的数学框架到计算机图形学 适应性采样 和样本重用 有效解决图象和动画的仿真生成问题 开启了一些后续的拓宽 吸引了一定的工业界的兴趣发表文章发表文章 (Selective Publications)Shaohua Fan, Stephen Chenney, Bo Hu, Kam-Wah Tsui and Yu-chi Lai. Optimizing Control Variate Esti

12、mators for Rendering. Computer Graphics Forum, 25(3), 2006, pp. 351358. Shaohua Fan, Stephen Chenney and Yu-chi Lai. Metropolis Photon Sampling with Optional User Guidance, Eurographics Symposium on Rendering, 2005, pp. 127138. Yu-Chi Lai, Shaohua Fan, Stephen Chenney, and Charles Dyer, Photorealist

13、ic Image Rendering with Population Monte Carlo Energy Redistribution, Eurographics Symposium on Rendering, 2007, pp. 287296. Yu-Chi Lai, Stephen Chenney and Shaohua Fan. Group Motion Graphs, Proc. ACM SIGGRAPH/Eurographics Symposium on Computer Animation 2005, pp 281290. Shaohua Fan, Charles R. Dyer

14、, Larry Hubbard, Barbara Klein. An Automatic System for Classification of Nuclear Sclerosis from Slit-Lamp Photographs. MICCAI 2003, LNCS, Vol. 2878, R. Ellis and T. Peters, eds., Springer, Berlin, 2003, 592-601. Shaohua Fan and Qijiang Zhu. Hybrid Model of the Gap Probability of the Forest Canopy,

15、Chinese Science Bulletin, Vol. 40, No. 7, pp. 581585, 1995. Shaohua Fan, Qijiang Zhu, and Laifu Liu. A Model of Gap Probability and its Modification, Remote Sensing of Environment, Vol. 10, No. 1, pp. 7075, 1995.在金融衍生品定价中的应用在金融衍生品定价中的应用 图像生成是一个路径积分问题 很多金融问题也可以归结成求路径积分 期权定价 Linetsky Vadim,The Path In

16、tegral Approach to Financial Modeling and Options Pricing Computational Economics, Vol.11,No.1-2,129-163 利率衍生品模型和定价 Otto Matthais， Using Path Integrals to Price Interest Rate Derivatives，6/99 主要的计算方法是蒙特卡罗 是系列蒙特卡罗应用的自然延伸报告提纲报告提纲 教育工作背景（My Background） 计算机图象生成问题中的新的数学框架系列蒙特卡罗方法（Sequential Monte Carlo m

17、ethods ） 在图形生成中的应用 在金融衍生品定价中的应用 金融数学工程（Financial Engineering） 柯朗数学研究所的金融数学课程 贝尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目 金融业界的学术交流和专业活动 今后研究计划（Future Plan and Research）数学金融数学金融/金融工程金融工程 数学金融/金融工程 是一个涉及多学科的领域：金融，物理，数学，计算机，及工程 美国主要的金融工程培养点 硕士培养点200多个，没有单独的本科培养点 12 年内完成 大部分在数学系，商学院，工业工程 CMU: 成立于1992，商学院 Berkeley：商学院 Courant

18、：数学系 Chicago: 数学系 Columbia:工业工程数学金融数学金融/金融工程金融工程 美国金融工程培养点前十名(http:/ )柯朗的数学金融柯朗的数学金融 课程 (Courses) 卖方: 金融衍生品, 随机分析，连续时间下的模型和定价，利率模型，风险管理，金融中的计算方法 买方: 期货和能源衍生品，算法交易, 统计套利，时间系列分析, 组合资产的管理和优化 教授 (Faculty members) Peter Carr, Petter Kolm Bruno Dupire Nassim Taleb (“黑天鹅”作者, Empirica LLC ) Jim Gatheral，Rob

19、ert Almgren，Marco Avellaneda，Leif Andersen，Jan Dash在安永的项目在安永的项目 对美国银行对美国银行/美林投行的美林投行的定价模型的评估和检定定价模型的评估和检定 外汇衍生品：PhiG Xccy -因子模型 多个股票决定回报的衍生品阶段: 股票衍生品阶段II:股票, 外汇，利率，期货, 和风险管理小时工作量贝尔斯登摩根大通银行贝尔斯登摩根大通银行 股票衍生品的交易支持和系统实现 参与一个大约一亿美元的项目 ($100 million) 将贝尔斯登的所有交易系统整合到一个共同的平台上 (Calypso) 公司的全局风险管理金融业界的学术交流和专业活

20、动金融业界的学术交流和专业活动纽约证券分析协会 （NYSSA） 华尔街华人金融协会（TCFA） 国际金融工程师学会 经常参加柯朗和哥伦比亚组织的论坛和讨论班报告提纲报告提纲 教育工作背景（My Background） 计算机图象生成问题中的新的数学框架系列蒙特卡罗方法（Sequential Monte Carlo methods ） 在图形生成中的应用 在金融衍生品定价中的应用 金融数学工程（Financial Engineering） 柯朗数学研究所的金融数学课程 贝尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目 金融业界的学术交流和专业活动 今后研究计划（Future Plan and Research）研究和教学计划（研究和教学计划（Research and Teaching） 研究