差分模型 (1)

1、 一、一、 差分的概念与性质差分的概念与性质 在社会经济活动与自然科学研究中，我们经常遇到与时间t 有关的变量，而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t 时的值。对于这类变量，如何去研究它们的相互关系，就离不开差分与差分方程的工具。 一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用dy/dx来刻画的；对离散型的变量y，我们常取在规定的时间区间上的差商 来刻画变量的变化率。 如果选择 ，则 可以近似表示变量y的变化率。 由此我们给出差分的定义： yt1t (1)( )yy ty t 以以t 表示时间，规表示时间，规 定定t只取非负整数。只取非负整数。t=0表示第一周期初，表示第

2、一周期初，t=1表示第二周期初。表示第二周期初。 记记 为变量为变量y在时刻在时刻t 时的取值，则称时的取值，则称 为为 的的一阶差分一阶差分，称，称 为的为的二阶差分二阶差分。tyty1( )(1)( )tttyyyy ty ty t; 2121121()()()2.tttttttttttyyyyyyyyyyy 11100( 1)( 1)nnnniitttnt n iinn iint iiyyyC yC y 一般地，函数 的n-1阶差分的差分称为n阶差分阶差分，记为 ，即 tynty例例1设 求,2tyt).(),(),(32tttyyy 差分的性质：（1）（2）（3）（4）例例2求 的差分

3、()();ttCyC y C为常数();ttttyzyz 1();ttttttyzzyyz1(0).tttttttttyzyyzzzzzttty32 二、差分方程的概念二、差分方程的概念含有未知函数含有未知函数 的差分的方程为差分方程。的差分的方程为差分方程。差分方程的一般形式差分方程的一般形式:其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的的阶阶。例如，二阶差分方程。例如，二阶差分方程ty2( ,)0nttttF t yyyyL12( ,)0.tttt nG t y yyyL也可改写成也可改写成10( 1),kkk iinkn in kiyC yy20ttty

4、yy 210tttyyy10( 1)kk iikn kkn iniyC yy 一般地一般地满足差分方程的序列满足差分方程的序列yt称为此差分方程的称为此差分方程的解解。类似于微分方。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的时，称此解为该差分方程的通解通解。若解中不含任意常数，则。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的称此解为满足某些初值条件的 特解特解，例如，考察两阶差分方，例如，考察两阶差分方程程 02 ttyy 易见易见2sintyt 与与 2costyt 均是它的特解，而均是它的

5、特解，而 tctcyt2sin2sin21 则为它的通解，其则为它的通解，其 中中c1，c2为两个为两个任意常数。类似于微分方程，称差分方程任意常数。类似于微分方程，称差分方程 011( )( )( )( )t nt nnta t ya t ya t yb t L为为n阶线性差分方程，阶线性差分方程， 当当 0时称其为时称其为n阶非齐次线性差阶非齐次线性差分方程，而分方程，而 )(tb011( )( )( )0t nt nnta t ya t ya t y L则被称为方程对应的则被称为方程对应的 齐次线性差分方程齐次线性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t) 均为与均为与t 无关的常数，则称

6、其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n 阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成011( )n tn tnta ya ya yb t L（1） 的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为0110n tn tnta ya ya y L（2） )2(2)1(1tttycycy )1(ty)2(ty容易证明，若序列容易证明，若序列与与均为方程（均为方程（2）的解，则）的解，则也是方程（也是方程（2）的解，其）的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空间）。

7、 此规律对于（此规律对于（2）也成立。）也成立。例例3 试改变差分方程 的形式.例例4试确定下列差分方程的阶.例例5指出下列等式哪一个是差分方程, 若是, 进一步指出是否为线性方程.023ttyy32451(1)0;(2)537.tttttyyyyy. 432)2(;33) 1 (12ttttttyyyayy 方程（方程（1）可用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 1010nnntaaa yL （3） （步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征根的不同情况，求齐次方 程程(2)的通解的通解 情况情况1 若特征方

8、程（若特征方程（2）有）有n个互不相同的实根个互不相同的实根1 , n 则齐次方程（则齐次方程（2）的通解为）的通解为11ttnnCCL (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（3）的）的k重根，通解中对应重根，通解中对应 于于的项为的项为11()ktkCC tL 为任意常数，为任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（3）有单重复根）有单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 tttt sinCcosC21 22 为为的模，的模， arctan 为为的幅角。的幅角。 情况情况4 若若ia 为特征方程（为特征方程（3）的

9、）的k重复根，则通重复根，则通 解对应于它们的项为解对应于它们的项为111kk 12k(CC)cos(CC)sinktktttttLLiC为任意常数，为任意常数，i=1,2k。 ty .若若yt为方程为方程(2)的的通解通解,则非齐次方程则非齐次方程 (1)的通解为的通解为（步三步三） 求非齐次方程求非齐次方程 (1)的一个特解的一个特解ttyy 例例1 求解两阶差分方程求解两阶差分方程tyytt 2 解解 对应齐次方程特征方程对应齐次方程特征方程:012 ,其特征根为其特征根为i 2, 1 ，对应齐次方程的通解为，对应齐次方程的通解为 tCtCyt2sin2cos21 原方程有形如原方程有形

10、如bat 的特解。代入原方程求得的特解。代入原方程求得21 a，21 b，故原方程的通解为，故原方程的通解为21212sin2cos21 ttCtC 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用在给定初值后，通常可用 计算机迭代计算机迭代求解，但我们常常需要求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对讨论解的稳定性。对 差分方程差分方程(1),若不论其对应齐次方程的若不论其对应齐次方程的通解中任意常通解中任意常 数数C1,Cn如何取值如何取值 , 在在 时总时总有有 ,则称方程则称方程 (1)的解是稳定的解是稳定 的的

11、,否则称其解为不稳定否则称其解为不稳定 的的.根据通解的结构不难看出根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程非齐次方程(1)稳定的充要条件稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于为其所有特征根的模均小于1。 t0tyn rsolve(方程，解函数,选项) ，rsolve(方程组，初始条件，解函数，选项)选项为genfunc(x)解以x为自变量；选项为makeproc解为过程函数。rsolve(F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(1.2)=1, F, genfunc(x); rsolve(s(n) = 2*s(n-1), s(0)=1, s,makeproc) MatlabMatlab

12、求解求解n濒危物种的自然演变和人工孵化n问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。模型建立模型建立n xk+1=(1+r)xk k=0,1,2n记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为n已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况Matlab实现实现n

13、首先建立一个关于变量n ，r的m函数nfunction x=sqh(n,r)na=1+r;nx=100;nfor k=1:nn x(k+1)=a*x(k);nendn在command窗口里调用sqh函数k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3)利用plot 绘图观察数量变化趋势n可以用不同线型和颜色绘图nr g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色： + o * . X s d 表示不同的线型 n plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下

14、画图plot(k,y2,:k)离散点：黑色plot(k,y2,-)plot(k,y2,r)plot(k,y2,y)plot(k,y2,y,k,y1,:)plot(k,y2,k,y1,:)plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。 筹措教育经费模型筹措教育经费模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金?

15、每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t个月, 投资账户资金为每月存资金为b元, 于 是 2 0 年 后 , 关 于 的 差 分 方 程 模 型 为 1000)005. 1 (1ttaa., 00120 xaa例例（市场经济的蛛网模型市场经济的蛛网模型）在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性

16、，导致决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。积极性，导致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：函数：（1）供应函数）供应函数x=f(P)，它是价格它是价格P的单增函数，其曲的单增函数，其曲线称为供应曲线。线称为供应曲线。（2）需求函数）需求函数x=g(P)，它是价格它是价格P的单降函数，其的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所

17、示。形状如图所示。记记t时段初市场上的供应量时段初市场上的供应量 (即上即上 一时段的生产一时段的生产 量量)为为xt ，市场上，市场上该商品的价格该商品的价格 为为Pt 。商品成交的。商品成交的价格是由需求曲线决定的，价格是由需求曲线决定的， 即即)(1ttxgP 随着随着 t , Mt将趋于平衡点将趋于平衡点M*,即商品量将趋于平衡即商品量将趋于平衡 量量x*,价价格将趋于平衡价格将趋于平衡价 格格P*。图中的箭图中的箭线反映了在市场经济下该商品的线反映了在市场经济下该商品的供应量与价格的发展趋势。供应量与价格的发展趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0 x*需求曲线需求曲线供应曲线供

18、应曲线M0M2M1M*PoM3M2M1图图和图和图的区别在哪里，的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定如何判定平衡点的稳定 性呢？性呢？ 但是，如果供应曲线和需求曲线呈但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图图中的形状，则平衡点中的形状，则平衡点M*是不稳定的，是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的的讨论在经济学中被称

19、为市场经济的 蛛网模型蛛网模型。不难看出，在不难看出，在 图图中平衡点中平衡点M*处处供应曲线的切线斜率大于供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，需求曲线切线斜率的绝对值，而在图而在图中情况恰好相反。中情况恰好相反。 现在利用差现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡点否正确。我们知道，平衡点M*是否稳定取决于在是否稳定取决于在M*附近供、附近供、需曲线的局部性态。为此，需曲线的局部性态。为此， 用用M*处供、需曲线的线性近似处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型来代替它们，并讨论此线性近似

20、模型 中中M*的稳定性。的稳定性。设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为 )(*xxaPP 和和)(*xxbPP 式中，式中，a、b分别为供分别为供应曲线在应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线处的切线斜率与需求曲线 在在M*处切线斜率的绝对值。处切线斜率的绝对值。 根据市场经济的规律，当供应量根据市场经济的规律，当供应量 为为xt时，现时段的价格时，现时段的价格)(*1xxbPPtt ，又对价格，又对价格1 tP，由供应曲线，由供应曲线)(*1*1xxaPPtt 解得下一时段的商品量解得下一时段的商品量 )(1)(1*1*1PxxbPaxPPaxxttt )(*

21、xxabxt 由此导出一阶差分方程：由此导出一阶差分方程：*11xabxabxtt （4）此差分方程的解在此差分方程的解在 (b/a)b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产者的敏感程度）商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于产者的敏感程度）商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之若稳定；反之若ab（商品紧缺易引起顾客抢购）该商品供售（商品紧缺易引起顾客抢购）该商品供售市场易造成混乱市场易造成混乱Remark:需求曲线越平,供应曲线越陡，越有利于经济稳定如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减少因价如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了减

22、少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若若t 时段的商品量为时段的商品量为 xt 时，仍有时，仍有 （7）将（将（5）式、（）式、（7）式代入（）式代入（6）式，整理得）式，整理得)(*1xxbPPtt （5）但但t+1时段的商品量则不再为时段的商品量则不再为)(1*1*1PPaxxtt 而被修正为而被修正为)2(1*1*1PPPaxxttt （6）由（由（5）式得）式得)(*1*xxbPPtt *11)1(2xabxabxabxttt （8）（8）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为022 abab 其特征根为其特征根为482ababab