第二曲线积分

1、1oxyABLCh9-2 Ch9-2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 nMiM1 iM2M1Mix iy 1. 引例引例实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割0111111,( ,),(,),nnnnAM M x yMxyMB 1()()iiiiMMx iyj WFAB 2求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW

2、.),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 3,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长长度度的的最最大大值值如如果果当当各各小小弧弧段段上上任任意意取取定定的的点点为为点点设设个个有有向向小小弧弧段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数向向光光滑滑曲曲线线弧弧的的一一条条有有到到点点面面内内从从点点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL2. 定义定

3、义4.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记记作作或或称称第第二二类类曲曲线线积积分分）积积分分的的曲曲线线上上对对坐坐标标在在有有向向曲曲线线弧弧数数则则称称此此极极限限为为函函的的极极限限存存在在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L53. 存在条件：存在条件：.,),(),(第第二二类类曲曲线线积积分分存存在在上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当LyxQyxP组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyy

4、xQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF64. 推广推广 空空间间有有向向曲曲线线弧弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 75. 性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. .

5、LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(定积分是对坐标的曲线积分的特殊情况定积分是对坐标的曲线积分的特殊情况. .86. 对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存存在在则则曲曲线线积积分分且且续续导导数数一一阶阶连连为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及在在以以运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点从从点点时时到到变变单单调调地地由由当当参参数数的的参参数数方方程程为为续续上上有有定定义义且且连连在在曲曲线线弧弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLy

6、xQyxP 定理定理 ( , )( , ) ( ),( ) ( ) ( ),( )( )1LP x y dxQ x y dyPtttQttt dt 且且9 ( , )( , ) ( ),( ) ( ) ( ),( )( )1LP x y dxQ x y dyPtttQttt dt 特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则10.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广tt

7、ztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 方法：化为对参数的定积分，方法：化为对参数的定积分，“一代二换三定限，上限未必大下限一代二换三定限，上限未必大下限”“一代一代”：将：将 代入被积式。代入被积式。 “二换二换” ：将：将dx ,dy,dz分别换为分别换为 “三定限三定限”：对应于：对应于L L的起点、终点，不一定的起点、终点，不一定有。有。 ),(tx )(ty , dttdttdttx)(,)(,)( 11例例1 1.)1 , 1()1, 1(,2的的一一段段弧弧到到上上从从为为抛抛物物线线其其中中计

8、计算算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B12的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B可见可见,第二类曲线积分不满足第二类曲线积分不满足“偶倍奇零偶倍奇零”对称性对称性.13.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行

9、行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例2 2解解,sincos:)1( ayaxL，变变到到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 14)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变变到到从从aax aadx0原式原式. 0 被积函数相同，起点和终点也相同，被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同但路径不同积分结果不同. . 03a)(cos)cos1(2 d 15例例3 3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()

10、2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 16) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的的积积分分化化为为对对 y,10,:2变变到到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0

11、, 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式17,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B被积函数相同，起点和终点也相同，被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同. .18ozyx例例4.4. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI 其中其中,2122zyxyx从从 z z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为

12、顺时针方向. .解解: : 取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt 219解：解： j ji iyxOM 22|yxOM o oF F(,) (,)ABABWkx kydx dykxdxydy xabya ),(yxM由假设有由假设有 ，其中，其中 是比例常数是比例常数)(j yi xkF 0 k20 , tsinby, tcosax 利用椭圆的参数方程：利用椭圆的参数方程： 起点起点A A、终点、终点B B分别对应参数分别对应参数0 0，

13、22220(cos sinsin cos )kattbtt dt 222220()sin cos()2kk abttdtab o oF Fabya ),(yxM(,) (,)ABABWkx kydx dykxdxydy 217. 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L 以弧长为参数以弧长为参数 的参数方程为的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知已知L切向量的方向余弦为切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)

14、(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(22,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 则则,)()()(cos22ttt )()()(cos22ttt ( (当时取正号，当时取正号， 时取负号时取负号) ) 23类似地类似地, 在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos)d,d,(ddzyxs 2422222)1(11c

15、osxxxxx dsxyxQxxyxPQdyPdxLL )1)(,(2),(2 221, 1xxxt解（方法解（方法1 1）取取x为参变量为参变量22:xxyL ，起点，起点 x=0，终点，终点 x=2x 1cos 例例6 6 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，化成对弧长的曲线积分， ：沿上半圆周：沿上半圆周 从点从点(0(0，0)0)到点到点(2(2，0) 0) LdyyxQdxyxP),(),(Lxyx222 25方法方法2 2：cos,sin)(),( t t所以所以 LLdsxyxQyyxPQdyPdx)1)(,(),(:1cossin0L xy 0 dsxy

16、xQxxyxPQdyPdxLL )1)(,(2),(2例例6 6 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，化成对弧长的曲线积分， ：沿上半圆周：沿上半圆周 从点从点(0(0，0)0)到点到点(2(2，0) 0) LdyyxQdxyxP),(),(起点起点终点终点xyx222 261. 定义定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质性质(1) L可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示表示 L 的反向弧的反

17、向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结第二型曲线积分第二型曲线积分273. 计算计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(28zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :29例例4 计算计算 ，其中，其中是从点是从点A(3，2，1)到点到点B(0，0，0)的直线段的直线段AB。 ydz