第节空间向量的数乘运算

1、回回 顾顾aOBb结论结论：空间空间任意两个任意两个向量向量都可都可平移平移到到同同一个平面内一个平面内，成为同一平面内的向量，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及因此凡是涉及空间任意两个向量空间任意两个向量的问题，的问题，平面向量平面向量中有关结论仍中有关结论仍适用适用于它们于它们.ba一、空间向量数乘运算1.实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量.当 时， 当 时， 与向量 方向相同； 与向量 方向相同； 是零向量.aa00aaaa当 时，0a（1）方向：方向：（2）大小：）大小： 的长度是 的长度的 倍.a|a2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

2、即： （）()( )()a babaaaaa 问题问题2：平面向量中，平面向量中，)0(/bba.ab的充要条件是：存在唯一的充要条件是：存在唯一的实数的实数 ，使，使能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？问题问题1 1：若：若)0(/aba则则ba,所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. .二、共线向量共线向量: :如果表示空间向量的有向如果表示空间向量的有向线段所在直线互相线段所在直线互相平行平行或或重合重合, ,则这些向量则这些向量叫做共线向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作ba/)0(/bba)0(bba)0(/bba由此可判

3、断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理共线向量定理: : 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在唯一实数的充要条件是存在唯一实数， 使使ab(0).ab b )0(/bba性质性质判定判定)0(bba如图，如图，l 为经过已知点为经过已知点A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线，的直线，aal/atAP 对空间任意一点对空间任意一点O,OAOPAP所以a tOAOPa tOAOP即 若在若在l上取上取 则有则有ABtOAOP和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由

4、空间一点及直线的方向向量唯一决定一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线由此可判断空间任意三点共线。.alABPO若点若点P P是直线是直线l l上任意一点，则上任意一点，则 由由 知存在唯一的知存在唯一的t, 满足满足aAB 因为因为 ,BBOAOA所以所以 )A( tAOPOOBOOBtOAt)1 (特别的，当特别的，当t= 时，时，21)B(21OPOOA 则有则有aABPOABtOAOP进一步进一步，OBOAOP_还可表示为：OPt1-tP点为点为A,B 的中点的中点练习练习1.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正，下列命题正确的是：确的是：A.若，则若，则P

5、、A、B共线共线B.若，则若，则P是是AB的中点的中点C.若，则若，则P、A、B不共线不共线D.若，则若，则P、A、B共线共线 OPOAtAB3 OPOAAB OPOAtAB OPOAABA、B、P三点共线三点共线ABtOAOPABtAP )1(APyxOByOxOAOABP三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面

6、向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且，有且只有一对实数只有一对实数 ， ，使，使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ， 共共面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则，则有有 byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关

7、系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线不共线，byxpabpab 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使abABPp 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数对序实数对x,yx,y使使ACyABxAPCOOCOBOAOP(_)(_)(_)abA

8、BPp 对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-1-x- -yxyACyABxOAOPC 式称为空间平面式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意的向量表示式，空间中任意平面由空平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定.由此可判断空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面练习练习2.若对任一点若对任一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，且有且有),( RzyxOCzOByOAxOP 则则x+y+z=1是四点是四点P、A、B、C共面的（共面的（ ）A.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件B.充分不必要条件充分不必要条件 D.既不

9、充分也不必要条件既不充分也不必要条件CP与与A,B,C共面共面ACyABxAPACyABxOAOP) 1(0zyxOCzOByOAxOP解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只四点共面，只要证明存在有序实数对（要证明存在有序实数对（x,y）使得）使得ACyABxAP四点共面。从而共面且有公共点，不共线，所以，又所以所以即共面，因为PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,3131,33)()(332) 1 (OAOPOCOB3)1 (例例1.已知已知A、B、C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABC外外的任一点的任一点O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P是否与是否与A、B、C一定共面？一定共面？OCOBOAOP 4)2( 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平行或重合向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量