第三章函数的连续性

1、第三章第三章 函数的连续性函数的连续性 连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长等连续增长等 O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其其几几何何意意义义如如右右图图 所所示示 一、函数的连续性定义一、函数的连续性定义3.1 函数连续性的概念函数连续性的概念(3)(3)上述极限值等于函数值上述极限值等于函数值)(0 xf 如如果果上上述述条条件件中中至至少少有有一一个个不不满满足足，则则点点 0 x就就是是函函数数)(xf的的间

2、间断断点点 00,0,xx使当时使当时 00( )(),.ff xf xxx 函函恒有则恒有则数在点连续数在点连续称称定义定义“”定义定义例例1证明函数证明函数y=C(C为常数为常数)在任一点在任一点x0（， ）连续）连续证证：（略）：（略）由于由于y也写成也写成)()(0 xfxfy，所以上述定义，所以上述定义 1 1中表达式也写为中表达式也写为 0)()(lim00 xfxfxx , , 即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 例例2sin(,).yx 证证明明: : 函函数数在在区区间间内内连连续续证证0(,),x 任取任取00sin()sinyxxx 02sincos()

3、22xxx0cos()1,2xx 0,0.xy 当时当时0sin(,).yxx 即即 函函数数对对任任意意都都是是连连续续的的0sin0,2xx sin,yxC故故 例例指数函数y= =ax(a0, a1 1)在在x0处连续处连续 即即 证明思路：证明思路： （）要证结论，只要证（）要证结论，只要证 （）用定义来证（）用定义来证 证明：证明：（略）（略）1lim00aaxx1lim0) 1(lim00 xxxxaa即例例指数函数指数函数y= =ax( (a0, 0, a1)1)在（在（， ）处）处连续连续证明：证明：（略）（略）定义定义5 5 若函数若函数f ( (x) )在在 内有定义，且内

4、有定义，且 f ( (x0 0-0)=-0)=f ( (x0 0) ) 定义定义若函数若函数f (x)在在 内有定义，且内有定义，且 f (x0-0)=f (x0) 二二. .单侧连续性单侧连续性0;( )f xx在点在点则则处左连续处左连续称称0.( )f xx在点在点则则处右连续处右连续称称 00lim,xxfxfx 即即 00lim,xxfxfx 即即00r，x rxx00,00,xrx 定理定理 000( )lim()xxf xxfxf x即 函数在处连续即 函数在处连续00( )( )f xxf xx函函数数在在处处连连续续函函数数在在.处既左连续又右连续处既左连续又右连续 000l

5、imlim().xxxxfxfxf x( , ),a b如果函数在开区间内连续 并且在左端点如果函数在开区间内连续 并且在左端点,xaxb 处处右右连连续续 在在右右端端点点处处左左连连续续 则则称称.( ) , f xa b函数在闭区间上连续函数在闭区间上连续例例2,0,( )02,0,.xxf xxxx 讨论函数在处的讨论函数在处的连续性连续性解解00lim( )lim(2)xxf xx2 (0),f 00lim( )lim(2)xxf xx2 (0),f 右连续但不左连续右连续但不左连续 , ,( )0.f xx 故故函函数数在在点点处处不不连连续续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

6、连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .三三.函数的间断点函数的间断点( (3 3) )上上述述极极限限值值等等于于函函数数值值)(0 xf 如如果果上上述述条条件件中中至至少少有有一一个个不不满满足足，则则点点 0 x就就是是函函数数)(xf的的间间断断点点 ( (1 1) )当当)(lim0 xfxx与与)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等时时，称称 0 x为为)(xf的的跳跳跃跃间间断断点点； ( (2 2) )当当)(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x处处的的函函数数值值时时，称称0 x为为)(xf的的可可去去间间断断点点 若若)(l

7、im0 xfxx，则则称称 0 x为为)(xf的的无无穷穷间间断断点点，无无穷穷间间断断点点属属第第二二类类间间断断点点 O x y 2 1 1 O x 1 y 练习练习1sin,0,( )00,0,.xxf xxxx 试证函数在试证函数在处连续处连续证证01limsin0,xxx (0)0,f 又又由定义由定义2知知( )0.f xx 函数在处连续函数在处连续0lim( )(0),xf xf 定理定理1 若函数f (x)与g (x)在x= x0连续，则f (x)g (x)，f (x)g (x)，f (x)/g (x)（g (x0)0）在点x0处连续。 定理1可以推广到有限多个函数的情况。 定

8、理定理2 设有两个函数y= f (u)，u=(x)，若u=(x)在点x= x0处连续，函数y= f (u)在点u0=(x0)处连续，则复合函数 y= f (x) 也在点x= x0处连续。 定理定理3 单调连续函数的反函数也是单调连续的。3.连续函数的运算连续函数的运算.初等函数的连续性初等函数的连续性 定理定理 基本初等函数在其定义域内是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。 定理定理 初等函数在其定义域内是连续的。初等函数在其定义域内是连续的。注意：注意：求初等函数的连续区间就是求其定义区求初等函数的连续区间就是求其定义区间关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一间关于分段函数的连续性

9、，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性 注意：注意：利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限若若)(xf在在0 x处处连连续续， 则则 )()(lim00 xfxfxx ， 即即求求连连续续函函数数的的极极限限，可可归归结结为为计计算算函函数数值值 复合函数求极限的方法复合函数求极限的方法.(limlim00a)fxfxfxxxx定理定理1 1 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 .4.4闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质O y B b A a C ) ( x f y ( ) b f a f ( ) x B b A a O x y 1 2 3 ) ( a f ) ( b f 证证 设设1sin)(xxxf，因为，因为)(xf在在),(内连续，内连续，所以，所以，)(xf在在, 0上也连续， 而上也连续， 而01)(, 01)0(ff, , 所以，据定理所以，据定理 3(3(根的存在定理根的存在定理) )知，至少有一个知，至少有一个(0,) ，使得使得( )0