第六章 结构位移计算

1、北京建筑工程学院专业基础部北京建筑工程学院专业基础部STRUCTURE MECHANICS第第6章章变形：变形：结构形状的改变。结构形状的改变。位移：位移：结构各处位置的移动。结构各处位置的移动。线段线段AAA点的线位移，计为点的线位移，计为A。截面截面A转动的角度转动的角度截面截面A的角位移，的角位移， 计为计为A。A可用水平分量可用水平分量Ax和竖向分量和竖向分量 Ay 表示。第第6 6 章章 结构位移计算结构位移计算6.1 6.1 概述概述第第6章章截面截面A的角位移（顺时针方向）的角位移（顺时针方向）AB截面截面B的角位移（逆时针方向）的角位移（逆时针方向）BAAB截面截面A、B的相对

2、角位移的相对角位移C点水平线位移（向右）点水平线位移（向右）CD点水平线位移（向左）点水平线位移（向左）DDCCDC、D两点的水平相对线位移两点的水平相对线位移第第6章章一、产生位移的原因：一、产生位移的原因：cc1t12tt AVBV绝对位移绝对位移相对位移相对位移广义位移广义位移 （2）温度变化、材料胀缩）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差（1）荷载）荷载第第6章章 2 2、计算超静定结构必须考虑位移条件。、计算超静定结构必须考虑位移条件。1 1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 f fmaxmaxl/600l/600。二、计算结构位

3、移的目的二、计算结构位移的目的3 3、施工技术的需要。、施工技术的需要。 CV cc P/2PPPPPP/2第第4章章 4 4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结构的位移。构的位移。 第第6章章 4 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。 满足以上要求的体系为满足以上要求的体系为“线变形体系线变形体系”。因位移与荷。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用载为线形关系，故求位移时可用叠加原理叠加原理。

4、P PP PB BA A三、计算位移的有关假定三、计算位移的有关假定3 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 2 2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。1 1、结构材料服从、结构材料服从“虎克定律虎克定律”，即应力、应变成线形关系。，即应力、应变成线形关系。第第4章章第第6章章四、功、实功和虚功四、功、实功和虚功力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功P PW力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功tPWP

5、Ctt第第6章章ABMMPPABMPW第第6章章一、变形体系的虚功原理一、变形体系的虚功原理6.2 6.2 变形体虚功原理和单位荷载法变形体虚功原理和单位荷载法 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作移，外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单地说，的虚功总和，简单地说，外力虚功等于变形虚功外力虚功等于变形虚功。外力虚功外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。相应的虚位移上所作虚功

6、的总和。变形虚功变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。第第6章章M1+dM1FN1+dFN1M1FN1FS1+dFS1FS1dsdsdu dsdsv 2)(2dsdv212121vudMdFdFWSNVdsdsd )(xm)(xq)(xpsyMAFSFNMBFNFS力状态力状态ABysuv*Av*Au*A *Bv*Bu*B 位移状态位移状态AB略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：第第6章章对整个结构有

7、：对整个结构有：sFMuFWWddddSNVV虚功方程为：虚功方程为：VWW sFMuFWdddSN虚功原理应用：虚功原理应用：虚位移原理虚位移原理虚设位移状态（可求实际力状态的未知力）虚设位移状态（可求实际力状态的未知力）虚力原理虚力原理虚设力状态（可求实际位移状态的位移）虚设力状态（可求实际位移状态的位移）第第6章章 图图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，求求K点沿任一指定方向点沿任一指定方向kk的位移的位移K。 虚设力状态如图虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的，使力状态的外力能在位移状态的K 上作虚功。上作虚功。

8、第第6章章外力虚功为外力虚功为cFcFcFcFFWKKKR33R22R11R1变形虚功为变形虚功为dsddSNVFMuFW由虚功原理由虚功原理VWW dsddSNRFMuFcFK平面杆件结构位移计算一般公式平面杆件结构位移计算一般公式设设 FK=1单位荷载法单位荷载法第第6章章图图a为求为求A点水平位移时的虚拟状态点水平位移时的虚拟状态图图b为求为求A截面转角时的虚拟状态截面转角时的虚拟状态图图c为求为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态图图d为求为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态两个截面相对转角时的虚拟状态广义位移广义位移：线位移、角位移、相对

9、线位移、相对角位移、某一组位移的统称。线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。广义力广义力：集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。第第6章章求图求图a所示桁架所示桁架AB杆的角位移。杆的角位移。 在位移微小的前提下，桁架杆件的在位移微小的前提下，桁架杆件的角位移角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的其两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移除以杆长，如图相对线位移除以杆长，如图b。dBAABAB杆的角位移杆的角位移荷载所做的虚功荷载所做的虚功ABBABAddd11第第6章章计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应

10、变符合计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。胡克定律。 求图求图a所示结构所示结构K点的竖向位点的竖向位移移KP。位移计算公式为。位移计算公式为 dsddPSPPNPFMuFK 虚拟状态如图虚拟状态如图b所示。由材料力学所示。由材料力学EIsM ddPPEAsFuddNPPGAskFsddSPP k剪切变形的剪切变形的 改正系数改正系数第第6章章平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：GAsFFkEAsFFEIsMMKdddSPSNPNPP梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：EIsM

11、MKdPP桁架（只有轴力）的位移计算公式为：桁架（只有轴力）的位移计算公式为：EAlFFEAsFFKNPNNPNPd组合结构（受弯杆件组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：链杆）的位移计算公式为：EAlFFEIsMMKNPNPPd第第6章章例例6-1 试求图试求图a所示刚架所示刚架A点的竖向位移点的竖向位移Ay。各杆的材料相。各杆的材料相 同，截面的同，截面的I、A均为常数。均为常数。解：解：（1）虚拟状态如图）虚拟状态如图b，各杆内力为，各杆内力为AB段：段：1, 0,SNFFxMBC段：段：0, 1,SNFFlM（2）实际状态中，各杆内力为）实际状态中，各杆内力为AB段：段：qxFF

12、qxMSPNP2P, 0,20,2SPNP2PFqlFqlMBC段：段：（3）代入位移计算公式）代入位移计算公式)54581 (85285224224GAlkEIAlIEIqlGAkqlEAqlEIqlAy第第6章章)54581 (85224GAlkEIAlIEIqlAy（4）讨论）讨论上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。设：杆件截面为矩形，宽度为设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5)(252)(1521 85224lhGElhEIqlAy截面高度与杆长之比

13、截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。当当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得时，计算得500175011 854EIqlAy此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。第第6章章例例6-3 试求图试求图a所示对称桁架结点所示对称桁架结点D的竖向位移的竖向位移D。图中右半。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积部各括号内数值为杆件的截面面积A（10-4m2），）， E=210GPa。解：实际状态各杆内力解：实际状态各杆内力 如图如图a（左半部）。（左半部）。虚拟状态各杆内力如图虚拟状态各杆内力如图b（左半部

14、）。（左半部）。注意桁架杆件轴力是正对称的注意桁架杆件轴力是正对称的)mm(8NPNEAlFFD第第6章章梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为EIsMMKdPP公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时：（1）杆轴为直线；）杆轴为直线；（2）EI=常数；常数；（3）M 和和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。两个弯矩图中至少有一个是直线图形。计算可以简化计算可以简化如图：如图：ds用用dx代替，代替， EI可提到积分号外。可提到积分号外。tanxM tan为常数为常数第第6章章6.5 6.

15、5 图乘法图乘法 一、图乘法应满足的条件一、图乘法应满足的条件 1 1、杆件为等截面直杆。、杆件为等截面直杆。3 3、M M、M MP P图形中至少有一个为直线图形。图形中至少有一个为直线图形。2 2、EIEI为常数。为常数。第第6章章二、图乘法证明二、图乘法证明lPdsEIMM结论：结论：在满足前述条件下，积分式在满足前述条件下，积分式 之值之值等于某一图形等于某一图形 面积面积A乘以该面积形心所对应的另一直线图乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵形的纵yc,再除以再除以EI。lPdsEIMMBAPdxMMEI1 BAPdxMtgxEI 1 baPdxxMtgEI 1BAwxdAtgEI1

16、wAxtgEI01cyAEI1yxoyycdxdMk(x)Mi (x)xxoBA第第6章章三、使用乘法时应注意的问题三、使用乘法时应注意的问题 1、yo必须取自直线图形必须取自直线图形Mi 图图Mk图图A1yccyAEI11第第6章章Mi 图图Mk图图A1y1)(22111yAyAEI2、当、当M为折线图形时，必须分段计算；为折线图形时，必须分段计算；A2y2第第6章章Mi 图图Mk图图A1y122211111yAEIyAEI3、当杆件为变截面时亦应分段计算；、当杆件为变截面时亦应分段计算；A2y21EI1EI2EI2EI第第6章章4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；、图乘有正负

17、之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，取负号。异侧时，取负号。MK图图Mi图图A1yccyAEI11A1yccyAEI11第第6章章MK图图Mi图图A1y1221111yAEIyAEIA2y25、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；取自两图形；6、几种常见图形的面积和形心的位置：、几种常见图形的面积和形心的位置：7、非标准图形乘直线形、非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3A1A2y1y2()bcadbdacl226dc323bl2dc332al2MiMk各种直线形乘直线形

18、，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。否则取负。（1）32649cyA()111242634226269cyA = 9/6（262+203+6302） = 9=9/6 （262243+6342） =15 = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）2369cyAcyAcyA第第6章章labdch+bah232dchl()226bcadbdaclb)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形cyA注意：当图乘法的适用条件不满足时的处理注意：当图乘法的适用条件不满足时的处理方

19、法：方法：a）曲杆或）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求位移；b）当）当EI分段为常数或分段为常数或M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。第第6章章Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112ql2/2MMPMPP=1lMlqABEIqlllqlEIB843231142例：求梁例：求梁B点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4PPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa242322222

20、32213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=EIPl4853Pl65llEIyC22210A5Pl/6？例：求例：求ABAB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()EI-7563322318EI6436363112639632(EI618336318263626616kN2kN/m2kN/m 6m3m3mABEI常数常数9 9 9 9999()bcadbdacl2264kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB

21、求求B5kN12844MPkN.m1MkN.mqllEIB1EIqllqllllqlEIBV241128323223211422ql2/83ql2/2MPlM例：求例：求B点竖向位移。点竖向位移。()5 . 04181425 . 08264()5 . 085 . 0122641EIB75. 04432EI3205m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020AHEI11255056101255023102352541210125252310 12101010131012102010231031875 .EI1594102

22、.m求求A点水平位移。点水平位移。P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求求B点的竖向位移。点的竖向位移。EIql256174lllqlEI25 .023232212lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102Lq？ql2/8l/2？ql2/32y0第第6章章例：试求等截面简支梁例：试求等截面简支梁C截面的转角。截面的转角。2ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122lqlEIC2183212EIql1003

23、33Mql/5 4l/5C C第第6章章例例6-7 图图a为一组合结构，试求为一组合结构，试求D点的竖向位移点的竖向位移Dy。解：实际状态解：实际状态FNP、MP如图如图b所示。所示。 虚拟状态虚拟状态FN、M如图如图c所示。所示。)(34)221 (221122113NPNIEFaAEFaIEyAAElFFCDy6.6 6.6 静定结构温度变化时的位移计算静定结构温度变化时的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。）假设：温度沿截面高度为线性分布。

24、t1t2t0hh1h23）微段的变形）微段的变形 dsdt0ds =0 t1dst2dshththt/ )(1221012tttdshdsttdsd/ /)(/12t 0/ t h dsddSNtttKtFMuF hsMtsFhstMsFKtddtdtdNNMFKthtAtAN图的面积图的面积MFMFAANN，符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正；符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩弯矩M以使以使t2边受拉为正。边受拉为正。对于桁架对于桁架tlFKtN对于桁架由于杆件制造误差对于桁架由于杆件制造误差lFKtN该公式仅适用于静定结构该公式仅适用于静定结构第第6章章例例

25、6-8 图图a所示刚架施工时温度为所示刚架施工时温度为20，试求冬季当外侧温度为，试求冬季当外侧温度为 -10 ，内侧，内侧温度为温度为0 时时A点的竖向位移点的竖向位移Ay。已知。已知 l=4m，=10-5 -1-1，各杆均为矩形截，各杆均为矩形截面，高度面，高度h=0.4=0.4m。解：虚拟状态如图解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图，轴力图、弯矩图如图c、d。外侧温度变化为。外侧温度变化为t1， t1=-30 ，内侧温度变化为内侧温度变化为t2=-20 。25221ttt10t() ()(mm5210125AtA22NllhlhtMFAy第第6章章例：例： 求图示桁架温度改变引起的求图

26、示桁架温度改变引起的AB杆转角杆转角.解：虚设力状态解：虚设力状态41aat)/(a4ttttaABa21a210a/1a/1a/1a/1a/1)( t 4FN图tlFABN第第6章章6.7 6.7 静定结构支座移动时的位移计算静定结构支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以00，00，00。代入代入得到：得到：KkRiccF仅用于静定结构仅用于静定结构()kRkNScFdsFFM212121abl/2l/2h1 10AyF1BxhF0ByF1AxhF()弧度hacRC6.8 6.8 线弹性结构线弹性结构的互等定理的互等定理

27、（1）功的互等定理）功的互等定理W12第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功Wi12第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功12i12WWGAsFFkEAsFFEIsMMFdddS2S1N2N121121同理同理GAsFFkEAsFFEIsMMFdddS1S2N1N212212可得可得212121FF或或2112WW功的互等定理：功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。第二状态的外力

28、在第一状态的位移上所作的虚功。第第6章章（2）位移互等定理）位移互等定理设：设：F1=1，F2=1，由功的互等定理，由功的互等定理211211可得可得2112 单位力引起的位移用小写字母单位力引起的位移用小写字母12和和21表示表示上式改写为上式改写为2112 位移互等定理：位移互等定理： 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等等 于于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 。注：单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。注：单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。第第6章章根据位移互等定理，应有根据位移互等定理，应有CAf由材料力学由材料力学EIM