第2章数字逻辑基础

1、EABCY1.与逻辑关系与逻辑关系 ： 当决定事件的当决定事件的各个条件全部具备之后，事件各个条件全部具备之后，事件才会发生。才会发生。ABCY00000000000111100001111010101011与门真值表与门真值表ABCYY=ABC&与门逻辑符号与门逻辑符号逻辑式逻辑式2 .2 .或逻辑关系：或逻辑关系：当决定事件的各个条件中当决定事件的各个条件中有一个或一个以上具备之后，事件就会发生。有一个或一个以上具备之后，事件就会发生。AEBCYYABC 1Y=A+B+C 或门逻辑符号或门逻辑符号或门逻辑式或门逻辑式1A BCY000101111101111000011110101

2、01011或门真值表或门真值表EY3 . 非逻辑关系：非逻辑关系：决定事件的条件只有一个，决定事件的条件只有一个，当条件具备时，事件不会发生，条件不存在当条件具备时，事件不会发生，条件不存在时，事件发生。时，事件发生。ARAY0011非门真值表非门真值表A1YY = A非门逻辑符号非门逻辑符号非门逻辑式非门逻辑式1.基本运算规则基本运算规则 基本运算规则是由定义得出的。基本运算规则是由定义得出的。00 = 001 = 10 = 011 = 1与与0+0 = 00+1 = 1+0 = 11+1 = 1或或非非0 = 11 = 00 = 11.基本运算规则基本运算规则 2.逻辑代数的逻辑代数的基本

3、定律基本定律 . 代数代数定律定律在逻辑代数中，有的定律在逻辑代数中，有的定律与普通代数中的定律相似与普通代数中的定律相似 。 交换律：交换律： A+B=B+A A B=B A结合律：结合律： A+(B+C)=(A+B)+C A (B C)=(A B) C分配律：分配律： A(B+C)=A B+A C A+B C=(A+B) (A+C). 特有特有定律定律反映了在逻辑代数中，常反映了在逻辑代数中，常量和变量间的关系量和变量间的关系 。以上表达式反映了变量和变量之间的关系以上表达式反映了变量和变量之间的关系 01律：律： 0 A= 0 1+A= 1 自等律：自等律： 1 A= A 0+A= A

4、互补律：互补律： A A= 0 A+A= 1 重叠律：重叠律： A A= A A+A= A 否定否定律：律： A = A 反演律：反演律： A B = A+B A + B = A B反演律是著名的反演律是著名的得得.摩根定理（摩根定理（De Morgan），非常重要。切记：非常重要。切记：A+B A+B，AB=AB反演定律还可以推广到两个以上变量的情况反演定律还可以推广到两个以上变量的情况A B C = A+B+C+ A + B + C + = A B CA + B + C + = A B CA + B + C + = A B CA + B + C + = A B CA + B + C + =

5、 A B CA + B + C + = A B C反演定律的证明：反演定律的证明：ABABA+BA+BABABAB001111001100101100110000该方法该方法是证明是证明定理的定理的基本方基本方法法特别注意：特别注意：1、在逻辑代数中不会出现指数和系数、在逻辑代数中不会出现指数和系数即：即：AA A2；A+A 2A2、在逻辑代数中没有减法和除法、在逻辑代数中没有减法和除法即：即：不能由等式不能由等式A（A+B）= A两边同两边同除以除以A，得出，得出A+B = 1也也不能由等式不能由等式A+AB = A+B两边同时减两边同时减去去A，得出，得出AB = B3.三个重要规则三个重

6、要规则 . 吸收规则吸收规则逻辑表达式中的某些项逻辑表达式中的某些项（或某些因子）可能被其它项所吸收（或某些因子）可能被其它项所吸收 。该规则为逻辑代数取别于该规则为逻辑代数取别于普通代数的一个重要特点普通代数的一个重要特点A+AB=A A（A+B）=AA+AB=A+B A（A+B）=AB证明证明A+AB=A（1+B）=A1=AA（A+B）=A+B =A证明证明A+AB=A+B =（A+A）（A+B） =1（A+B）=A+BA（A+B）=AA+AB =AB 这说明在一个与或表达式中，如果一项这说明在一个与或表达式中，如果一项的反是另一个乘积项的因子，则该因子是的反是另一个乘积项的因子，则该因子

7、是可以被吸收的，这种情况又被称作反变量可以被吸收的，这种情况又被称作反变量的吸收。的吸收。利用吸收规则还可以推出一些其它公式：利用吸收规则还可以推出一些其它公式：AB+AC+BC = AB+ACAB+AC+BCD = AB+AC. 反演规则反演规则对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，若把式中所有的若把式中所有的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”；0换成换成1，1换成换成0；原变量换成反变量，反变量；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那末所得之的新换成原变量，那末所得之的新表达式就是表达式就是F的反函数，记为的反函数，记为F。特特别别注注意意决不能打乱原式的运算顺序；决不能

8、打乱原式的运算顺序；不属于单变量上的非号应保留不变。不属于单变量上的非号应保留不变。例如例如F = A + B + C + D + EF = A + B + C + D + EF = A + B + C + D + EF = A + B + C + D + EF = A B C D E（3）. 对偶式对偶式对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，若把式中所有的若把式中所有的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”；0换成换成1，1换成换成0；而变量保持不变，；而变量保持不变，那末所得之的新表达式就是那末所得之的新表达式就是F的对偶式，记为的对偶式，记为F 。 对偶规则对偶规则如果两个

9、逻辑函数相等，如果两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等则它们的对偶式也相等。即：若即：若F = G，则，则F = G 特别注意：特别注意：一般情况下：一般情况下：F F 4.复合运算和复合门复合运算和复合门 与非、或非、与或非运算与非、或非、与或非运算即：即：F = AB；F= A+B；F=AB+CD。即：即：F = AB；F= A+B；F=AB+CD。即：即：F = AB；F= A+B；F=AB+CD。FAB+FAB+FABCD非门非门或门或门与或与或非门非门 异或和同或运算异或和同或运算 异或运算异或运算异或运算的定义为：异或运算的定义为：F = A B = AB +AB真值表真值表AB

10、F000011101110异或运算有两个重要特性：异或运算有两个重要特性：异或运算具有因果互异或运算具有因果互换关系换关系A B = CA C = BB C = A多变量异或运算，其结果取绝于变量为多变量异或运算，其结果取绝于变量为1的个数，而于的个数，而于0的个数无关。如果变量为的个数无关。如果变量为1的个数是奇数，其结果为的个数是奇数，其结果为1；若；若1的个数是的个数是偶数，则结果是偶数，则结果是0。1 0 1 1 0 = 11 1 0 0 0 = 0 FAB异或门符号异或门符号可以利用结合律实现多变可以利用结合律实现多变量异或运算，即：量异或运算，即：F=（A B） （C D） = A

11、 B C D 同或运算同或运算同或运算的定义为：同或运算的定义为：F = AB = AB +AB真值表真值表ABF000011101110可以证明两变量的异或函可以证明两变量的异或函数和同或函数既互补又对数和同或函数既互补又对偶，是一对特殊函数。偶，是一对特殊函数。AB = A B A B = AB 同或运算也有两个重要特性：同或运算也有两个重要特性：一类似异或一类似异或多变量同或运算，其结果取绝于变量为多变量同或运算，其结果取绝于变量为0的个数，而于的个数，而于1的个数无关。如果变量为的个数无关。如果变量为0的个数是偶数，其结果为的个数是偶数，其结果为1；若；若0的个数是的个数是奇数，则结果

12、是奇数，则结果是0。一一. 最小项和最大项最小项和最大项 . 最小项最小项n个变量的最小项是个变量的最小项是n个变量的个变量的积积，其中每一个变量都以原变量或反变量的，其中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。形式出现一次，且仅出现一次。 n个变量则有个变量则有2n个最小项个最小项最小项的概念是逻辑代数中的一个重要概念最小项的概念是逻辑代数中的一个重要概念NOABCABC ABC ABCABC ABC ABCABCABCm0m1m2m3m4m5m6m7000 01123456700 101 00 1 11 0 01 0 111 01 1 100000000100000000

13、1000000001000000001000000001000000001000000001ABCABCABC ABCABC ABCABCABC三变量最小项的真值表三变量最小项的真值表最小项具有下列三个性质：最小项具有下列三个性质：对于任意一个最小项，只有一组变量的对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使它的值为取值使它的值为1，而当变量取其它各组，而当变量取其它各组值时，该最小项的值都是值时，该最小项的值都是0。任意两个最小项的乘积恒为任意两个最小项的乘积恒为0。全体最小项之和为全体最小项之和为1。特别注意：特别注意： 一个逻辑函数只有一个最小项之一个逻辑函数只有一个最小项之和的表达式。和的

14、表达式。. 最大项最大项n个变量的最大项是个变量的最大项是n个变量的个变量的和和，其中每一个变量都以原变量或反变量的，其中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。形式出现一次，且仅出现一次。 n个变量则有个变量则有2n个最大项个最大项最大项具有下列三个性质：最大项具有下列三个性质：每一个最大项仅和一组变量的取值相对应，每一个最大项仅和一组变量的取值相对应，只有该组取值使其值为只有该组取值使其值为0，在其余取值下它，在其余取值下它皆为皆为1。n个变量的任意两个不同最大项之和为个变量的任意两个不同最大项之和为1。n个变量的全体最大项之和恒为个变量的全体最大项之和恒为0。二二. 两

15、者的关系两者的关系 变量数相同，编号相同的最小项和最大变量数相同，编号相同的最小项和最大项之间存在互补关系。项之间存在互补关系。min = MinMin = min三三. 标准表达式和真值表标准表达式和真值表 . 最小项之和式最小项之和式例如例如F（A，B，C）= ABC+ABC+ABCF（A，B，C）= m3+m5+m6 = （3，5，6）（2）. 最大项之积式最大项之积式例如例如G（A，B，C）= （A+B+C）（）（A+B+C）（A+B+C）（）（A+B+C）G（A，B，C）= M0+M3+M5 +M6 = （0，3，5，6）标准与或式标准与或式标准或与式标准或与式（3）. 由真值表写标

16、准表达式由真值表写标准表达式例如例如三人表决逻辑三人表决逻辑真值表真值表ABF000011101110CNO0012345600001107110010111101F的最小项之和表达式为：的最小项之和表达式为：F（A，B，C）= （3，5，6，7）= ABC+ABC+ABC+ABCF（A，B，C）= （3，5，6，7）= ABC+ABC+ABC+ABCF（A，B，C）= （3，5，6，7）= ABC+ABC+ABC+ABCG（A，B，C）= （0，1，2，4）= （A+B+C）（）（A+B+C）（A+B+C）（）（A+B+C）（4）. 两种标准表达式间的转换两种标准表达式间的转换可以发现，两种

17、表达式所含的编号是互可以发现，两种表达式所含的编号是互相补充的，即最大项之积式中的最大项相补充的，即最大项之积式中的最大项编号正好是最小项之和式中未包含的号编号正好是最小项之和式中未包含的号码，反之亦然。码，反之亦然。F（A，B，C，D）= （0，2，3，5，9，12）F（A，B，C，D）= （1，4，6，8，10，11，13，14，15）则：则：任何函数两种标准表达式之间的转换非常简便任何函数两种标准表达式之间的转换非常简便代数化简法代数化简法就是反复运用基本公式和就是反复运用基本公式和 常用公式消去多余项和多余因子，以便求常用公式消去多余项和多余因子，以便求得最简表达式。得最简表达式。例如例如（1）. 并项法：并项法：ABC+ABC =（A+A）BC = BC利用互补律：利用互补律：A+A=1（2）. 吸收法：吸收法：例如例如AC+ABCD（E+F） = AC利用吸收规则：利用吸收规则：A+AB =A（3）. 消去法：消去法：利用吸收规则：利用吸收规则：A+AB = A+B例如例如A+ABC+B =A+B+C（4）. 配项法：配项法：利用互补律：利用互补律：A+A = 1利用重叠律：利用重叠律：A+A = A，AA=A利