结构地震反应与抗震验算

1、3 结构地震反应分析与抗震验算结构地震反应分析与抗震验算3.1 概述概述3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱3.4 多自由度弹性体系的地震反应的振型分解法多自由度弹性体系的地震反应的振型分解法3.5 多自由度体系的水平地震作用多自由度体系的水平地震作用3.6 结构自振周期和振型计算结构自振周期和振型计算3.7 地基与结构的相互作用地基与结构的相互作用3.10 结构的抗震验算结构的抗震验算3. 结构地震反映分析与抗震验算结构地震反映分析与抗震验算3.1 概述概述1.结构地震反

2、应结构地震反应地震对结构的影响称为结构的地震对结构的影响称为结构的地震反应地震反应(如速度、如速度、加速度、位移和内力等加速度、位移和内力等)。结构在地震作用过程中的每一瞬间上，其动力反结构在地震作用过程中的每一瞬间上，其动力反应是不同的，且结构的动力反应又与自身的动力应是不同的，且结构的动力反应又与自身的动力特性互相影响。只有求解结构体系的运动微分方特性互相影响。只有求解结构体系的运动微分方程，才能了解每一瞬时的结构动力反应。程，才能了解每一瞬时的结构动力反应。 2.地震作用地震作用各类施加于结构上的荷载为直接作用；地震作用各类施加于结构上的荷载为直接作用；地震作用由地震动引起的结构动态作用

3、，包括水平地震作由地震动引起的结构动态作用，包括水平地震作用和竖向地震作用。用和竖向地震作用。 3.建筑结构抗震设计步骤建筑结构抗震设计步骤计算结构的地震作用；计算结构的地震作用；计算结构和构件的地震作用效应；计算结构和构件的地震作用效应；将地震作用效应与其他荷载效应组合，进行结构将地震作用效应与其他荷载效应组合，进行结构和构件的承载力及变形；和构件的承载力及变形；满足相应的构造措施。满足相应的构造措施。4.工程中求解地震反应的方法工程中求解地震反应的方法拟静力法（等效荷载法）：通过反应谱理论将地拟静力法（等效荷载法）：通过反应谱理论将地震对建筑物的组用以等效荷载的方法表示，并按震对建筑物的组

4、用以等效荷载的方法表示，并按静力分析方法对结构计算内力和位移。静力分析方法对结构计算内力和位移。直接动力法：通过对结构动力方程积分，求出结直接动力法：通过对结构动力方程积分，求出结构的地震反应与时间的变化，绘制曲线时程分构的地震反应与时间的变化，绘制曲线时程分析法。析法。5.与各类型结构相应的地震作用分析方法与各类型结构相应的地震作用分析方法不超过不超过40m的规则结构：底部剪力法；的规则结构：底部剪力法；一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法；质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解

5、反应谱法；向地震作用的振型分解反应谱法；8、9度时的大跨、长悬臂结构和度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑度的高层建筑：考虑竖向地震作用；：考虑竖向地震作用；特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算。一维或二维时程分析法的补充计算。3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析补充：单自由度体系动力学分析回顾补充：单自由度体系动力学分析回顾1.单自由度体系自由振动单自由度体系自由振动无阻尼时无阻尼时有阻尼时有阻尼时 时时0 kxxm mk02xx )sincos()(00txtxtx0kxxcxm

6、 mcmk2,2022xxx 1)sincos()(dd000txxtxetxdt阻尼：振动过程中的阻力。阻尼：振动过程中的阻力。无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的无阻尼自由振动：系统只在恢复力作用下维持的振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程振动。其振动的振幅不随时间而改变，振动过程将无限地进行下去。将无限地进行下去。有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复有阻尼自由振动：系统在振动过程中，除受恢复力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消力外，还存在阻尼力，这种阻尼力的存在不断消耗振动的能量，使振幅不断减小。耗振动的能量，使振幅不断减小。强迫振动：在外加激振力作用下的振动称为

7、强迫强迫振动：在外加激振力作用下的振动称为强迫振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存振动。（工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。）有阻尼受迫振动有两部分组成。第一部分是衰减有阻尼受迫振动有两部分组成。第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。振动；第二部分是受迫振动。3.2.1 计算简图计算简图1.单自由度弹性体系单自由度弹性体系把结构的所有质量集

8、中在屋盖处，墙、柱视为一把结构的所有质量集中在屋盖处，墙、柱视为一个无质量的弹性杆个无质量的弹性杆 ，形成一个单质点体系。（质，形成一个单质点体系。（质点是只有质量、没有大小的物体）点是只有质量、没有大小的物体）当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单自由度体系。自由度体系。结构动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可结构动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的弹性变形中，决定全部质点位置所需的独立能的弹性变形中，决定全部质点位置所需的独立参数的数目。参数的数目。3.2.2 运动方程运动方程质点相对于地面的位移质点相对于地面的位移地面的水平位移地面的

9、水平位移质点的总位移质点的总位移质点相对速度质点相对速度质点加速度质点加速度惯性力惯性力弹性恢复力弹性恢复力阻尼力阻尼力根据达朗贝尔原理：单质点弹性体系在地震作用根据达朗贝尔原理：单质点弹性体系在地震作用下的运动方程为：下的运动方程为：)(tx)(0tx)()(0txtx)(tx )()(0txtx )()(0txtxmI )(tkxS)(txcD0)()()()(0tkxtxctxtxm 设设 单自由度弹性体系的地震反应分析就是常系数单自由度弹性体系的地震反应分析就是常系数二阶非齐次对方程的求解。解答包含两个部分：二阶非齐次对方程的求解。解答包含两个部分：对应齐次方程的通解；代表体系的有阻尼

10、自由振对应齐次方程的通解；代表体系的有阻尼自由振动动。方程的特解；代表体系在地震作用下的强迫振动方程的特解；代表体系在地震作用下的强迫振动 弹性直杆的刚度，即质点发生单位位移弹性直杆的刚度，即质点发生单位位移时，在质点上施加的力；时，在质点上施加的力；)4 . 3()()()()(0式txmtkxtxctxm mkkmcmc22）（式3.5202xxxx k 依据粘滞理论的阻尼力，如材料的摩依据粘滞理论的阻尼力，如材料的摩擦、地基土的摩擦以及周围介质对振动的阻力等擦、地基土的摩擦以及周围介质对振动的阻力等； 阻尼系数；阻尼系数； 无阻尼单自由度弹性体系的自振园频率无阻尼单自由度弹性体系的自振园

11、频率，单位为赫兹，单位为赫兹( )； 体系的阻尼比，体系的阻尼比，0.010.1(一般结构一般结构)，规范取为，规范取为0.05。3.2.3 自由振动自由振动1.自由振动方程自由振动方程根据常系数微分方程理论，齐次方程的解为：根据常系数微分方程理论，齐次方程的解为：DcHz022xxx sincos)(tBtAetxt其中：其中： 为有阻尼时的自振频率。为有阻尼时的自振频率。当无阻尼时当无阻尼时 。由上图可知，无阻尼由上图可知，无阻尼 自由振动时的振幅不自由振动时的振幅不 变，而有阻尼体系自变，而有阻尼体系自 由振动的振幅随时间由振动的振幅随时间 的增加而减小，且体系的阻尼越大，其振幅的的增加

12、而减小，且体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。衰减就越快。 2.自振周期与自振频率自振周期与自振频率自振频率：自振频率： 即单位时间质点的振动次即单位时间质点的振动次数。数。 21，Tf1圆频率：圆频率： 即质点在即质点在 秒内的振秒内的振动次数。动次数。自振周期：自振周期： 。 有阻尼时的自振周期：有阻尼时的自振周期： 严格讲，有严格讲，有阻尼时的自由振动时不具有周期的，但由于体系阻尼时的自由振动时不具有周期的，但由于体系的运动是往复的，质点每振动一个循环所需要的的运动是往复的，质点每振动一个循环所需要的时间间隔是相等的，此时间间隔就定义为有阻尼时间间隔是相等的，此时间间隔就定义为有阻尼体系

13、的周期。体系的周期。有阻尼时的自振圆频率：有阻尼时的自振圆频率： 可以可以看出，有阻尼时，结构频率减小，而周期增大。看出，有阻尼时，结构频率减小，而周期增大。 表示结表示结构不振动，构不振动， 为临界阻尼比。为临界阻尼比。 可由试验确定。可由试验确定。 f22mkT22T2Tf1 21 01时当1 1.0体系不振动；体系不振动； 1.0体系振动。体系振动。由由 得：得： 称为临界阻尼系数。称为临界阻尼系数。 理论上：理论上： 但由于但由于 值很小，故取值很小，故取 。3.2.4 强迫振动强迫振动1.瞬时冲量及其引起的自由振动瞬时冲量及其引起的自由振动荷载与作用时间荷载与作用时间t 的乘积，即的

14、乘积，即 t 称为冲称为冲量。量。当作用时间为瞬时当作用时间为瞬时dt时，则称时，则称Pdt为瞬时冲量。为瞬时冲量。kmc2kmcr2 根据动量定律，冲量等于动量的根据动量定律，冲量等于动量的 增量。即：增量。即：若体系原先静止，初速度为零，若体系原先静止，初速度为零， 则体系在瞬时冲量作用下获得则体系在瞬时冲量作用下获得 的速度为：的速度为：又因体系原处于静止状态，故体系的初位移为零又因体系原处于静止状态，故体系的初位移为零。这样可认为在瞬时荷载作用后的瞬间，体系的。这样可认为在瞬时荷载作用后的瞬间，体系的位移仍为零。也就是说，原来静止的体系在瞬时位移仍为零。也就是说，原来静止的体系在瞬时冲

15、量的影响下将以初速度作自由振动。冲量的影响下将以初速度作自由振动。根据自由振动的方程式的解，则可得：根据自由振动的方程式的解，则可得：0mvmvPdtmPdtv/mPdt/tmPdtetxtsin)(2.杜哈梅积分杜哈梅积分方程方程 的特解就是质点由的特解就是质点由外荷载引起的强迫振动，可以从瞬时冲量的概念来外荷载引起的强迫振动，可以从瞬时冲量的概念来进行推导进行推导可将看作随时间变化的可将看作随时间变化的m=1的的“干扰力干扰力”，并认为是由无穷多个连续作用的微分脉冲所组成。并认为是由无穷多个连续作用的微分脉冲所组成。设它在设它在 时开始作用，作用时开始作用，作用 时间为时间为 ，则冲量大小

16、，则冲量大小 为动量增量为为动量增量为 从动量定理，得从动量定理，得在微分脉冲的作用下，体系将在微分脉冲的作用下，体系将 产生自由振动。产生自由振动。gxxxx 22)(txg dtddtxg)( )(xmdtxxg)()( 由通解式可求得当由通解式可求得当 时，作用一个时，作用一个微分脉冲的位移反应为微分脉冲的位移反应为将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得将所有微分脉冲作用后产生的自由振动叠加，得总位移反应总位移反应上式即为上式即为杜哈梅积杜哈梅积分，它与通解之和就是微分方分，它与通解之和就是微分方程的全解。即程的全解。即ddtxg)( dtxedxgt)( sin)()()( ttt

17、texdxtx0)(g0d)( sin)(1)()( ttttextxxtxetx0)(gd)( sin)(1sin)0()0(cos)0()( 3.3 单自由度弹性体系水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系水平地震作用及其反应谱3.3.1 水平地震作用的基本公式水平地震作用的基本公式作用于单自由度弹性体系质点上的惯性力为：作用于单自由度弹性体系质点上的惯性力为：忽略去阻尼力，可忽略去阻尼力，可得：得：或或可以看出：可以看出： 地震作用时质点产生的相对位移等于该瞬时惯性力地震作用时质点产生的相对位移等于该瞬时惯性力使质点产生的相对位移，因此，可以认为在某瞬时地使质点产生的相对位移，因此，可以认

18、为在某瞬时地震作用使结构产生的行啊对位移是该瞬时惯性力引起震作用使结构产生的行啊对位移是该瞬时惯性力引起的。的。)()()()()(txctkxtxtxmtFg kxtxtxmg)()( )(1)()()()()(2tFktFtxtxmtkxtF 可以看出：可以看出：在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移将与该时刻的瞬时惯性力成正比。该时刻的瞬时惯性力成正比。虽然惯性力并不是真实作用于质点上的力，但惯虽然惯性力并不是真实作用于质点上的力，但惯性力对结构体系的作用和地震对结构体系的作用性力对结构体系的作用和地震对结构体系的作用效果相当。效果相当。把惯性力

19、看作反映地震对结构体系影响的等效力把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用，用它的最大值对结构进行抗震验算，就可以使它的最大值对结构进行抗震验算，就可以使抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷抗震设计这一动力计算问题转化为相当于静力荷载作用下的静力计算问题。载作用下的静力计算问题。质点的绝对加速度为：质点的绝对加速度为：)()()()()(20txtxmktxtxta tttexta0)(0d)(sin)()( max0)(0max0)(0maxd)(sin)(2d)(sin)()(ttttatexTtextaS 3.3.2 地震反应谱地震反应谱 地震时，地面运动引起结构振动，单质点

20、体系地震时，地面运动引起结构振动，单质点体系质点相对于地面的相对位移、相对速度、绝对加质点相对于地面的相对位移、相对速度、绝对加速度均为时间速度均为时间t的函数，从工程观点看，在地震中的函数，从工程观点看，在地震中结构产生的最大位移、最大速度、最大加速度更结构产生的最大位移、最大速度、最大加速度更具有实际意义。具有实际意义。单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应量与体系自振周期变化的曲线称为反应谱。量与体系自振周期变化的曲线称为反应谱。最大速度反应最大位移反应最大加速度反应maxmaxmax0)()()()(txStxStxtxmSvda 下图即为

21、在给定的地震作用下质点绝对最大加下图即为在给定的地震作用下质点绝对最大加速度与体系自振周期的关系曲线。速度与体系自振周期的关系曲线。相对位移反应谱相对位移反应谱相对速度反应谱相对速度反应谱绝对加速度反应谱绝对加速度反应谱地震反应谱的特点地震反应谱的特点1.1.阻尼比对反应谱影响很大阻尼比对反应谱影响很大2.2.对于加速度反应谱，当结构周期小对于加速度反应谱，当结构周期小 于某个值时幅值随周期急剧增大，于某个值时幅值随周期急剧增大， 大于某个值时，快速下降。大于某个值时，快速下降。3.3.对于速度反应谱，当结构周期小于某对于速度反应谱，当结构周期小于某 个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。个值时

22、幅值随周期增大，随后趋于常数。4.4.对于位移反应谱，幅值随周期增大而增大。对于位移反应谱，幅值随周期增大而增大。3.3.3 标准反应谱标准反应谱1.地震系数地震系数表示地面运动的最大加速度与重力加速度的比值。表示地面运动的最大加速度与重力加速度的比值。一般地，地面运动加速度愈大，则地震烈度愈高，一般地，地面运动加速度愈大，则地震烈度愈高，地震系数与烈度之间存在一定的对应关系。地震系数与烈度之间存在一定的对应关系。2.动力系数动力系数）（式）（式3.32)()(3.31)()()(00max0maxkGgtxtxSmgmStxtxmtFFaa g(t)xk0 )(0txSa 为质点最大绝对加速

23、度与地面最大加速度的比值。为质点最大绝对加速度与地面最大加速度的比值。表示动力效应，质点最大绝对加速度比地面最大加表示动力效应，质点最大绝对加速度比地面最大加速度放大倍数。速度放大倍数。3.标准反应谱标准反应谱根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲反应谱曲线，然后统计求出的最有代表性的平均曲线线标准反应谱。标准反应谱。与与T的关系曲线称为的关系曲线称为谱曲线：谱曲线： 谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。谱曲线的实质也是一条加速度反应谱曲线。 曲线峰值对应的结构自振周期曲线峰值对应的结构自振周期T=

24、Tg，Tg为场地为场地的特征周期（过去也称作卓越周期）。的特征周期（过去也称作卓越周期）。3.3.4 规范规范5.1.5设计反应谱设计反应谱max0)(txSa max0)(20max0)(2sin)()(12ttTdtTextxT GFkgSkGgtxtxSmgmSFaaa则水平地震力)()(00 与体系自振周期之间的关系称为设计反应谱与体系自振周期之间的关系称为设计反应谱。当当 时，时， 当当 时，结构为时，结构为一刚体，其加速度与地面一刚体，其加速度与地面加速度相等，即加速度相等，即当当 时，时， )( 1 . 00sT max2max45. 00T, 1maxmaxmaxmax45.

25、02.251kkgTT 1 . 0max255. 055. 0222时，取阻尼调整系数， 场地特征场地特征 周期，周期，表表3.2 水平地震水平地震 影响系数的最大影响系数的最大 值，表值，表3.3。当当 时，时，1.608. 005. 012gTmax地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.050.05）ggTTT5max2)(TTg63 . 005. 09 . 0 曲线下降段的衰减指数在计算在计算8、9度罕遇地震作用时，其特征周期应增加度罕遇地震作用时，其特征周期应增加0.05s括号数字分别对应于设计基本加速度括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和和0.30g地地

26、区的地震影响系数区的地震影响系数特征周期值特征周期值(s) 设计地震设计地震分组分组场地类别场地类别01第一组第一组0.200.250.350.450.65第二组第二组0.250.300.400.550.75第三组第三组0.300.350.450.650.90地震影响地震影响6度度7度度8度度9度度多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16(0.24)0.32罕遇地震罕遇地震0.280.50（0.72）0.90(1.20)1.40当当 时，时， 直线下降段的斜率调整系数；直线下降段的斜率调整系数；当当 时，应专门研究。时，应专门研究。例：上海市市区拟建造钢筋混凝土框架结构房屋，例：上

27、海市市区拟建造钢筋混凝土框架结构房屋，类建设类建设场地，基本周期场地，基本周期T1=1.5s。试确定当计算多遇地震和罕遇。试确定当计算多遇地震和罕遇地震作用时的地震影响系数。地震作用时的地震影响系数。解：查教材附录解：查教材附录2知；上海市区设防烈度为知；上海市区设防烈度为7度，设计基本地度，设计基本地震加速度为震加速度为0.10g，设计分组为第一组。，设计分组为第一组。 计算多遇地震时：计算多遇地震时：Tg=0.65s，)(0 . 65sTTgmax12)5(2 . 0gTT 100324/ )05. 0(02. 0111时，取当sT0 . 6sTsTsTgg25. 355 . 165. 0

28、108. 0max当计算罕遇地震时：当计算罕遇地震时：0377. 008. 015 . 165. 09 . 0max21TTgsTg7 . 005. 065. 02518. 05 . 015 . 17 . 09 . 0max21TTg自振周期：结构按某一振型完成一次自由振动所自振周期：结构按某一振型完成一次自由振动所需的时间。需的时间。基本周期：结构按基本振型（第一振型）完成一基本周期：结构按基本振型（第一振型）完成一次自由振动所需的时间。通常需要考虑两个主轴次自由振动所需的时间。通常需要考虑两个主轴方向和扭转方向的基本周期。方向和扭转方向的基本周期。设计特征周期设计特征周期 ：抗震设计用的地

29、震影响系数：抗震设计用的地震影响系数曲线的下降段起始点所对应的周期值，与地震震曲线的下降段起始点所对应的周期值，与地震震级、震中距和场地类别等因素有关。级、震中距和场地类别等因素有关。场地卓越周期：根据场地覆盖层厚度和土层平均场地卓越周期：根据场地覆盖层厚度和土层平均剪切波速按公式剪切波速按公式 计算的周期，计算的周期，表示场地土最主要的振动特征。表示场地土最主要的振动特征。gTsVHT4例例3.1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类场地；屋盖处的

30、重力荷载代表值类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线，框架柱线刚度刚度 ,阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构多遇地震时。试求该结构多遇地震时的水平地震作用。的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicch=5mh=5m解：（解：（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数查表确定查表确定max16. 0max地震影响系数最大值（阻尼比为地震影响系数最大值（阻尼比为0.0

31、50.05）1.400.90(1.20)0.50(0.72)0.28罕遇地震罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震多遇地震 9 8 7 6地震影响地震影响烈度烈度解：解：例例3.1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类场地；屋盖处的重力荷载代表值类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线，框架柱线刚度刚度 ,阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构多。试求该结构多遇地震时遇地震时的水平地震作用。的水平地震作用

32、。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期kN/m249601248021222hiKct 4 .71s/m8 . 9/kN700/2gGms336. 024960/4 .712/2KmT（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数h=5mh=5m查表确定查表确定max16. 0max查表确定查表确定gT3 . 0gT解：解：例例3.1：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋盖处。已知设防烈度为屋盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，度，设计地震分组为二组，类场地；屋盖处的重力荷载代

33、表值类场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线，框架柱线刚度刚度 ,阻尼比为阻尼比为0.05。试求该结构。试求该结构多遇地震时多遇地震时的水平地震作用。的水平地震作用。 mkN106 . 2/4hEIicc（1 1）求结构体系的自振周期）求结构体系的自振周期kN/m24960Kt 4 .71ms336. 0T（2 2）求水平地震影响系数）求水平地震影响系数16. 0maxh=5mh=5m3 . 0gTggTTT5max2)(TTg9 . 055 . 005. 09 . 017 . 106. 005. 012（3 3）计算结构水平地震作用）计算结构水平地震作用kN8 .1007001

34、44.0GF例例3.2单层钢筋混凝土框架计算简图如图所示。集中于屋盖处的重力荷载单层钢筋混凝土框架计算简图如图所示。集中于屋盖处的重力荷载代表值代表值G=1200kN。梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度EI=，柱的截面尺寸，柱的截面尺寸350mmx350mm，C20混凝土，阻尼比混凝土，阻尼比=0.05。类场地，设防烈度类场地，设防烈度为为7 度，设计基本地震加速度为度，设计基本地震加速度为0.10g，设计分组为第二组。试确定在，设计分组为第二组。试确定在多遇地震作用下框架的水平地震作用标准值，并绘出地震内力图。多遇地震作用下框架的水平地震作用标准值，并绘出地震内力图。解：解：E=25.5KNmm2多

35、遇地震时，多遇地震时，max=0.08；当；当类场地，类场地，设计地震设计地震分组为第二组时，分组为第二组时，Tg0.40s。因为因为Tg=0.40sT=0.88s5Tg =5x0.40=2s，所以，所以求得水平地震作用标准值求得水平地震作用标准值FEK=46.80kN后，就可把它加到框后，就可把它加到框架横梁标高处，按静载计算框架地震内力架横梁标高处，按静载计算框架地震内力V和和M。地震内力地震内力V图、图、M图见下图。图见下图。3.4 多自由度弹性体系地震反应分析多自由度弹性体系地震反应分析3.4.1 计算简图计算简图多自由度弹性体系：多层或高层等，应简化为多多自由度弹性体系：多层或高层等

36、，应简化为多质点体系来计算质点体系来计算真实地反映其动力性能。真实地反映其动力性能。按质量集中法将按质量集中法将i和和i+1层之间的结构重力荷载和层之间的结构重力荷载和楼面活荷载集中于楼面标高处，由无重量的弹性楼面活荷载集中于楼面标高处，由无重量的弹性直杆支撑于地面上直杆支撑于地面上多质点弹性体系。多质点弹性体系。对于一个多质点体系，对于一个多质点体系， 当体系只有单向振动当体系只有单向振动 时，则有多少个质点时，则有多少个质点 就有多少个自由度。就有多少个自由度。第一层第一层顶层顶层3.4.2 运动方程运动方程先考虑两个自由度体系先考虑两个自由度体系质点质点1： 惯性力惯性力 弹性恢复力弹性

37、恢复力 阻尼力阻尼力根据达朗贝尔原理：根据达朗贝尔原理：)(0111xxmI )(2121111xkxkS)(2121111xcxcD 同理对同理对质点质点2： 使之质点使之质点1产生单位位移而质点产生单位位移而质点2 不动时，不动时，在质点在质点1 处所需施加的水平力；处所需施加的水平力； 使之质点使之质点2产生单位位移而质点产生单位位移而质点1不动时，在不动时，在质点质点1处引起的弹性反力；处引起的弹性反力； 质点质点1产生单位速度而质点产生单位速度而质点2保持不动时，在保持不动时，在质点质点1 处产生的阻尼力；处产生的阻尼力； 质点质点2产生单位速度而质点产生单位速度而质点1保持不动时，

38、在保持不动时，在质点质点1 处产生的阻尼力；处产生的阻尼力；)45a. 3(0121211121211111xmxkxkxCxCxm )45b. 3(0222211222211222xmxkxkxCxCxm 11k12k11c12c刚度系数的关系如下：刚度系数的关系如下：同理：同理：公式公式3.45的矩阵形式为：的矩阵形式为：222221122111kkkkkkkk222221122111cccccccc )47. 3(10 xmxkxcxm 22211211222112112100kkkkkcccccmmm3.4.3 自由振动自由振动1.自振频率自振频率对于二自由度体系，忽略阻尼的影响，可得

39、自振对于二自由度体系，忽略阻尼的影响，可得自振方程为：方程为： 212121xxxxxxxxx 。，一般采用振型分解法上述的运动方程的求解列的矩阵。行别为个质点，则上述各项分当有nnn)48. 3(002221212221211111xkxkxmxkxkxm 方程的解为：方程的解为： 质点质点1、2的位移振幅。的位移振幅。将将3.49带入带入3.48得：得：为使式为使式3.50由非零解，则系数行列式必须等于零。由非零解，则系数行列式必须等于零。 注意：当注意：当 时，体系不振动，不时，体系不振动，不是解。是解。 即：即： 频率方程频率方程 )49. 3()sin()sin(2211tXxtXx

40、21XX 、)50. 3(0)(0)(2222212121212111XmkXkXkXmk021 XX0222221122111mkkkmk解之得：解之得：由此可得由此可得 的两个正实根，即体系的两个自振的两个正实根，即体系的两个自振频率。其中较小者为频率。其中较小者为 第一自振圆频率或基本自振圆频率；第一自振圆频率或基本自振圆频率； 较大者为第二自振圆频率。较大者为第二自振圆频率。频率方程的矩阵形式为：频率方程的矩阵形式为：2.主振型主振型把求得的把求得的 带去式带去式3.50可得质点的位移可得质点的位移振幅振幅2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmk

41、mk12 02mk21， 对应于对应于 ；（前脚标为振型，后为质；（前脚标为振型，后为质点）点） 对应于对应于 对应于对应于 同理，质点位移的比值为：同理，质点位移的比值为：在结构振动过程中的任意时刻，两个质点的位移在结构振动过程中的任意时刻，两个质点的位移比值始终保持不变的振动形式比值始终保持不变的振动形式主振型。主振型。11211XX112112111112kkmXX212112211222kkmXX1112xx12112111112kkmXX2122xx12112211222kkmXX因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以因主振型只取决于质点位移之间的相对值，所以通常将其中某一个质点

42、的通常将其中某一个质点的位移值定为位移值定为1。体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有有多少个主振型，他们是体系的固有属性。多少个主振型，他们是体系的固有属性。第一振型称为基本振型，其他各振型统称为高振第一振型称为基本振型，其他各振型统称为高振型。型。3.主振型的正交性主振型的正交性按振型按振型 振动时的运动规律振动时的运动规律质点的位移为：质点的位移为：质点的惯性力为：质点的惯性力为：i)sin()()sin()(2211iiiiiitXtxtXtx)sin()()sin()(222222211111iiiiiiiitXmxmtItXmxmtI 可

43、以看出：可以看出： 质点上的惯性力与位移同频同步；质点上的惯性力与位移同频同步； 振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。静荷载所引起的静位移。惯性力的表达方式惯性力的表达方式 如质点如质点1的惯性力：的惯性力： 对对 质点质点 振型时：振型时：)(1011xxmI )()()(210txtxmkxx )()(211011txmxxmI ijjijiiXmI2根据功的互等定理，即第一状态的力在第二状态根据功的互等定理，即第一状态的力在第二状态的位移上所作的功等于第二状态的力在第一状态的位移上所作的功等于第二状态的力在第一状态的位

44、移上所作的功，即：的位移上所作的功，即：1222222112122122122122111211XXmXXmXXmXXm022122211112221XXmXXm）（12X11X12212Xm11211Xm12X11X12212Xm11211Xm21X22X22222Xm21221Xmm1m2 由于由于 则则 上式表达的为质量矩阵的正交性，对两个以上上式表达的为质量矩阵的正交性，对两个以上的自由度体系，任意两个振型之间都存在上述的的自由度体系，任意两个振型之间都存在上述的正交性，即正交性，即同理，多自由度体系的任意两个振型对刚度矩阵同理，多自由度体系的任意两个振型对刚度矩阵21)58. 3(0

45、2212221111XXmXXm )59. 3(0XKTjXm knkkknjnjjTjXXXXmmmmXXX21212100X 具有正交性，即：具有正交性，即：由于阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合由于阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，任意两个振型对阻尼矩阵同样具有正交性。，任意两个振型对阻尼矩阵同样具有正交性。振型关于质量矩阵正交性的物理意义：振型关于质量矩阵正交性的物理意义： 某一振型在振动过程中所产生的惯性力不在其某一振型在振动过程中所产生的惯性力不在其他振型上作功，也就是体系按某一振型作自由振他振型上作功，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其他振型的振动。动时不

46、会激起该体系其他振型的振动。振型关于刚度矩阵正交性的物理意义：振型关于刚度矩阵正交性的物理意义： 体系按体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振振型振动时引起的弹性恢复力在振J型型位移上所作的功之和等于零，也即体系按某一振位移上所作的功之和等于零，也即体系按某一振型型 0kTjXkX )(0kjXcXkTj)(kj 振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。正交性的运用正交性的运用 检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。 对耦联运动微分方程组作解耦运算等等对耦联运动微分方程组作解耦运算等等.。KN/m103KN/m105t50, t60)a (

47、14. 33.1424121kkmm刚度为，第二层层间侧移第一层层间侧移刚度为。性。各层质量为并验证其主振型的正交振频率和振型，所示二层框架结构的自计算图例系数：解：求各层的层间刚度KN/m10842111kkkKN/m103422112kkk050103103103601083.51KN/m1032444244222）得频率方程：由式（kk 0171. 133381488. 010X kX0171. 0X mX(c)b)3.1471. 111031088 .162560488. 011031086 .307603.57/32.40;/54.17(42T12T1441

48、2112211222441211211111221TTkkmXXkkmXXsradsrad刚度矩阵质量矩阵验证主振型的正交性：（振型见图第二振型：第一振型：）得该结构的振型：由式（该结构的自振频率）的两个正实根解上式得m12k1EI1EI1km2例例. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :.;2121mmmkkk解解: :0222221122111mkkkmkkkkk22111kkk2112kk220222mkkkmk0)(2(222kmkmkmk /618. 01mk /618. 121618. 01618. 11211221122212112111121kk

49、mXXkkmXX4.自振频率和振型的实用计算方法自振频率和振型的实用计算方法（1）矩阵迭代法矩阵迭代法是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。振型。计算公式计算公式由公式由公式3.53b两端乘以两端乘以 得：得：即：即：计算步骤计算步骤先假定一个振型带入先假定一个振型带入3.61c,可求得第一振型的第一可求得第一振型的第一 0k2Xm 1k 0k21Xmk XmkX12 )61. 3(2cXmX 次近似值次近似值 的近似值，即的近似值，即再将再将 带入式带入式3.61c右端，可求得右端，可求得 和和 即即继续到继续到 即基本振型即基本振型 ；由

50、；由 即可计算基本周期即可计算基本周期由振型关于质量矩阵的正交性原理，可得由振型关于质量矩阵的正交性原理，可得 使矩阵降低一阶（未知使矩阵降低一阶（未知数减少），重复以上步骤即可得高阶振型。数减少），重复以上步骤即可得高阶振型。 2和X 22XXmX X2 X 22XXmX n1nXX n1XX21112T 02T1XmX及振型。该结构的频率。试用矩阵迭代法计算，刚度分别为。各层，各层质量为：梁刚度为无限大。层框架结构，假定其横为图例KN/m108.23KN/m1003. 9KN/m1043. 5559t2545t2561t33.153.2535251321kkkmmm)61c. 3(,111

51、2KNm1016. 4111KNm1095. 211;KNm1084. 111131211632133621232261131211代入式次近似值为：先假设第一振型的第一）求第一振型：（为：）求该结构的柔度系数解：（XXXkkkkkk1312113213332312322211312112113121100XXXmmmXXX000. 1953. 0716. 010145514551387104210111559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 110521521621000. 1953. 0716. 0559025450

52、256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 110: )61c. 3000. 1953. 0716. 0621131211131211XXXXXX，再将此值代入式（似值为：则第一振型的第二次近000. 1479 . 0687. 01026912691202187210: )61c. 3000. 1489 . 0690. 01028512851218188710521521131211521521XXX代入式（将此值第三次的近似值 ）式：）所示。根据上（，如图：则该结构的基本振型为即符合相等于第二次的振型，这样第三次的振型近似ab15. 300

53、0. 1479 . 0687. 01312111XXXxxnns/88rad. 81012691000. 1102691000. 151521：，解得结构的基本频率）得：式（将第一振型的位移代入根据主振型的正交性，：第二振型由式）求第二振型：（59. 3559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 11000)61c. 3(232221262232221232133323123222113121122322212XXXXXXmmmXXX )(311. 4147. 305592410175905590254502561000.

54、1947. 0687. 00221232322212322212cXXXXXXXXXXmXTkTj）（）（：）中的第一、第二式得）式代入式（将（d399477-249147510b559025450256116. 495. 284. 195. 295. 284. 184. 184. 184. 110bc)(311. 4147. 322126222212322212622322212221232XXXXXXXXXXcXXX及相应频率，略。）方法，可求第三振型同（）所示。，如图（则第二振型为：）得：由式（则第二频率为：，经两轮迭代后得：移，令个接近于第二振型的位）进行迭代，先假设一对式（2c000

55、. 1501. 0014. 1967. 1000. 1311. 4995. 1147. 3cs/2rad.271013511000. 1995. 113511012d322212326262222122212XXXXXXXX（2）能量法能量法能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的，适用用求结构的基本频率（第一振型的频出的，适用用求结构的基本频率（第一振型的频率）。率）。本方法常用于求解以剪切型为主的框架结构。本方法常用于求解以剪切型为主的框架结构。niiiiniiumguGU11max221niiiumT121max)(21maxmaxUTni

56、iniiiiumumg121211mNm1G1u2GnGnu2u因为因为 以以 为水平荷载求出的质点为水平荷载求出的质点 水平水平位移。位移。11/2T2m/s8 . 9gniiniiiiuGuGT11212iGiiu例.已知：kN/m10720,kN/m14280kN300,kN4002121kkGG求结构的基本周期。解:（1）计算各层层间剪力kNV7003004001kNV3002（2）计算各楼层处的水平位移mkVu049.014280/700/111mkVkVu077.010720/300049.0/22112（3）计算基本周期niiniiiiuGuGT11212s508.0077.03

57、00049.0400077.0300049.04002222kG21kG11G2G2u1u及振型。构的基本频率。试用能量法计算该结，度分别为。各层刚，各层质量为：梁刚度为无限大。层框架结构，假定其横为图例KN/m108.23KN/m1003. 9KN/m1043. 5559t2545t2561t33.153.2535251321kkkmmm解：结构在重力荷载作用下的弹性曲线如右图m10792. 61023. 855945333ggkgmX：结构的层间相对位移为m10145.49m10792. 6138.70Xm10138.70m1037.3433.104Xm1033.104m1033.1041

58、043. 525612545559m1037.341003. 9254555944323442124114511231452232ggXXggXXgXXggkgmmmXggkgmmX各层位移为：s/89rad. 810g49.14555970.138254533.104256110g49.14555970.138254533.1042561242224121gXmXmgniiiniii则体系的基本频率为：000. 1479 . 0690. 0:s/88rad. 8000. 1953. 0717. 010g49.14570.13833.1041312114131211XXXXXX相应的基本振型；

59、频率迭代结果为：进一步的迭代，第一次为提高精度，还可进行相应的基本振型为：（3）等效质量法）等效质量法为简化计算，可根据频率相等的原则，将全部质为简化计算，可根据频率相等的原则，将全部质量集中在一点或几个点上，该集中所得的质量称量集中在一点或几个点上，该集中所得的质量称为等效质量。为等效质量。 如图所示，如图所示， 点有一集中质量，当需点有一集中质量，当需 将其质量转移至将其质量转移至 点时，等效质量为点时，等效质量为 若体系有若体系有n个集中质量都转移至个集中质量都转移至 点点 则：则：ijejjiiimkmkiiijjemkkm jniiijjekmkm1i)68. 3(体系的基本频率为：

60、体系的基本频率为：niiniiiijjekmkm121211。，弯曲刚度为的质量为两柱沿单位长度处，设柱为等截面柱，作用于柱高的，两边吊车质量屋盖质量为结构的基本频率。已知）所示单层厂房排架（用等效质量法计算图例EImMM5/4,a3.193.433333) 1 (:lxkklEIkxEIkiijjjjii效质量：求吊车梁在柱顶的的等解）该结构的基本频率：（质量：）作用于柱顶的总等效（等效质量：）柱均布质量在柱顶的（质量为：则吊车梁在柱顶的等效425. 05 . 0325. 025 . 0512. 08 . 00333lmMMmmMmlmdxmlxmMMMllmmlxmkkmeeeleeiii