第 可降阶的高阶微分方程学习教案

1、会计学1第第 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程(wi fn fn chn)第一页，共25页。一、一、 型型)(xfy 特点特点(tdin)：右端不含右端不含 yy ,仅是仅是 x 的函数的函数(hnsh) 解法解法(ji f)：将将y 作为新的未知函数作为新的未知函数降阶降阶 令令yz zy 有有)(xfz 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程 积分积分 1)(cdxxfz即即 1)(cdxxfy再积分再积分 21)(cxcdxdxxfy第1页/共25页第二页，共25页。对对 n 阶方程阶方程(fngchng)同理同理)()(xfyn 令令) 1( nyz)(xfz 积分积分(jf

2、n)得得 1)1()(cdxxfyn如此连续积分如此连续积分(jfn)n 次即得原方程的含有次即得原方程的含有n个任意常数的通解个任意常数的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyxfy特点特点：.,)1( kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数解法：解法：zyk )(令第2页/共25页第三页，共25页。.,)()()1(knnkzyzy 则则).,()1()( knknzzxfzz 的的(n-k)阶方程阶方程(fngchng), z求求得得,)(次次连续积分连续积分将将kzyk 可得通解可得通解(tngji).例例1 xysin)4( 解解1coscxy 21sincxcxy

3、322121coscxcxcxy 4322312161sincxcxcxcxy 第3页/共25页第四页，共25页。例例 2.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设)()5(xPy 代入原方程代入原方程(fngchng), 0 PPx）（0 P解线性方程解线性方程(xin xn fn chn), 得得xCP1 ,1)4(xCy 即即两端两端(lin dun)积分积分,得得,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 原方程通解为原方程通解为54233251dxdxdxdxdy 第4页/共25页第五页，共25页。二、二、 型型),(yx

4、fy 特点特点(tdin)：右端不含右端不含 y 解法解法(ji f)：降阶降阶令令 py py 代入原方程代入原方程(fngchng)得得),(pxfdxdp 若已求得其通解为若已求得其通解为),(1cxp 回代回代 py 得得),(1cxdxdy 变量可分离的一阶方程变量可分离的一阶方程积分得积分得 21),(cdxcxy 第5页/共25页第六页，共25页。例例3 解方程解方程3, 1,2)1(002 xxyyyxyx解解令令py xppx2)1 (2 分离分离(fnl)变量得变量得212xxpdp 12ln)1ln(lncxp 即即)1 (21xcp )1 (21xcy 由由得得30 x

5、y31 c)1(32xy 233cxxy 由由1120 cyx故故133 xxy第6页/共25页第七页，共25页。解方程解方程2)(1yy 解解pypy 令21pdxdp dxpdp 211arctancxp 即即)tan(1cxp dxcxy)tan(121)cos(lnccx 例例4 第7页/共25页第八页，共25页。三、三、 型型),(yyfy 特点特点(tdin)：右端不含右端不含 x降阶降阶解法解法(ji f)：令令pdxdyy dxdpy 由复合由复合(fh)函数求导法则得函数求导法则得dxdydydpdxdpy dydpp 代入原方程得代入原方程得 ),(pyfdydpp 这是一

6、个关于这是一个关于 y ，p 的一阶方程的一阶方程第8页/共25页第九页，共25页。若已求得它的通解若已求得它的通解(tngji)为为),(1cypy 变量可分离变量可分离(fnl)的一阶方程的一阶方程积分积分(jfn)得得21),(1cxdycy 即得原方程的通解即得原方程的通解一般情况一般情况),()1()()( nknyyyfy特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则第9页/共25页第十页，共25页。,)(2222dydPPdyPdPy ,阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()( nyP

7、求得其解为求得其解为),()(11 nCCyyPdxdy原方程原方程(fngchng)通解通解为为,),(11nnCxCCydy 第10页/共25页第十一页，共25页。例例5 解方程解方程3)(yyy 解解令令py dydppy )1 (2ppdydpp 若若0 p21pdydp 1arctancyp 即即)tan(1cyp dxcydy )tan(1积分积分(jfn)得得21)sin(lncxcy 即即xeccy21)sin( 或或12)arcsin(cecyx 若若0 p则则cy 包含包含(bohn)在通解中在通解中第11页/共25页第十二页，共25页。如一方程如一方程(fngchng)既

8、属于不含既属于不含 x 型型 又属于又属于(shy)不含不含 y 型型则一般而言则一般而言若两边可消去若两边可消去 p 作为作为(zuwi)不含不含 x 型（类型三）来解较简单型（类型三）来解较简单 若两边不可消去若两边不可消去 p 作为不含作为不含 y 型（类型二）来解较简单型（类型二）来解较简单注注 第12页/共25页第十三页，共25页。例例6 解方程解方程 2 yy解解 令令 yz 2 dxdzz42 dxdz)( 412cxz 12cxy 2231)(34ccxy 32251)(158cxccxy 12cxz 第13页/共25页第十四页，共25页。例例 7.02的通解的通解求方程求方程

9、 yyy解一解一),(ypy 设设,dydPpy 则则代入原方程代入原方程(fngchng)得得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可可得得,1yCdxdy 原方程原方程(fngchng)通解通解为为.12xceCy 第14页/共25页第十五页，共25页。解二解二,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而从而(cng r)通解为通解为.12xCeCy 解三解三原方程原方程(fngchng)变变为为,yyyy 两边两边(lingbin)积积分分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1

10、 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy 第15页/共25页第十六页，共25页。四、恰当导数四、恰当导数(do sh)方程方程特点特点(tdin). 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的导数的导数对对左端恰为某一函数左端恰为某一函数解法解法(ji f)：类似于全微分方程可降低一阶类似于全微分方程可降低一阶,),()1(Cyyyxn 再设法求解这个方程再设法求解这个方程.第16页/共25页第十七页，共25页。例例 8.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解将方程将方程(fngchng)写成写成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即积分积分

11、(jfn)后后得通解得通解.212CxCy 注意注意(zh (zh y):y):这一段技巧性较高这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程关键是配导数的方程.第17页/共25页第十八页，共25页。五、齐次方程五、齐次方程(fngchng)(fngchng)特点特点(tdin)：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次齐次函数次齐次函数k解法解法(ji f)： zdxey可通过变换可通过变换).(,xz得新未知函数得新未知函数将其降阶将其降阶, zdxzey,)(2 zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy, zdxke代入原方程并消去代入原方程并消去第18页/共2

12、5页第十九页，共25页。阶方程阶方程的的得新函数得新函数)1()( nxz. 0),()1( nzzzxf例例 9.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey设设代入原方程代入原方程(fngchng),得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解为解其通解为原方程原方程(fngchng)通解通解为为.1212)1(xCdxxCxxeCey 第19页/共25页第二十页，共25页。补充补充(bchng)题题:解解, zdxey设设代入原方程代入原方程(fngchng),得得，zxz , xCz 解其通解为解其通解为原方程原方程(fngchng)通通解为解为.212xCCx

13、dxeCey .2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 例例10第20页/共25页第二十一页，共25页。 六、小结六、小结(xioji)(xioji)解法解法(ji (ji f) f) 通过代换将其化成通过代换将其化成(hu chn)较低阶的方程来求解较低阶的方程来求解.思考题思考题 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解.第21页/共25页第二十二页，共25页。思考题解答思考题解答(jid)321,yyy都是微分方程都是微分方程(wi fn fn chn)

14、的解的解,23xeyy ,212xyy 是对应是对应(duyng)齐次方齐次方程的解程的解,21223xeyyyyx 常数常数所求通解为所求通解为 122231yyCyyCy .221xCeCx 第22页/共25页第二十三页，共25页。练练 习习 题题一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 试求试求xy 的经过点的经过点)1,0(M且在此点与直线且在此点与直线12 xy相切的积