第4章 机械波

1、大学基础物理学大学基础物理学多媒体课件多媒体课件 (Chapter 4(Chapter 4 mechanical wave)mechanical wave)1.1.简谐振动的微分方程：简谐振动的微分方程： 22222dd0dtdtxkxxxm 或或3.3.简谐振动的速度：简谐振动的速度： mdsin( t)cos( t)dt2xuAu 4.4.简谐振动的加速度：简谐振动的加速度： 22m2ddcos( t)dtdtuxaax 2.2.简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征: :cos()xAt2200()uAx5.5.积分常数积分常数A和的确定和的确定 6.6.简谐振动的图像表示法；简谐振动

2、的图像表示法； 7.7.旋转矢量表示法及其应用；旋转矢量表示法及其应用；系统的总能量：系统的总能量：8.8.简谐振动的能量：简谐振动的能量：系统的动能：系统的动能：222211mmsin (t)22KEA系统的势能：系统的势能：22211cos ()22pEkxkAt2221122KPEEEmAkA 恒量9.9.同方向、同频率简谐振动的合成：同方向、同频率简谐振动的合成： 合振动的振幅：合振动的振幅： 初相位：初相位： 221212212cos()AAAA A11221122sinsinarctancoscosAAAA当当 时，则时，则 , 2, 1, 0212kk ，12AAA 当当 时，则

3、时，则 , 2, 1, 01212kk，12AAA 根据给定的初始条件写出波动方程。根据给定的初始条件写出波动方程。 重点重点 本次课本次课 难点难点 根据已知条件求波动方程。根据已知条件求波动方程。 教学要求教学要求 2 2、根据给定的初始条件写出平面简谐波的波动、根据给定的初始条件写出平面简谐波的波动方程。方程。1 1、理解简谐波的波动图像的物理意义以及描述、理解简谐波的波动图像的物理意义以及描述平面简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系；平面简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系；4.1 4.1 机械波机械波(mechanical wave)1.1.波线波面波前波线波面波前 （1）概念）

4、概念（a a）球面波球面波（b b）平面波平面波波线波线: :沿波的传播方向沿波的传播方向画一画一些带箭头的线些带箭头的线, ,称为波线；称为波线；波前波前: :某一时刻某一时刻波所到达的波所到达的最前面最前面各点组成各点组成的波面的波面称为称为波前。波前。 （2 2）特点）特点波线的指向波线的指向表示波的传播方向表示波的传播方向；同一波面上同一波面上各点的相位是相同的各点的相位是相同的；在各向同性介质中在各向同性介质中，波线恒与波面垂直波线恒与波面垂直。波面波面: :不同波线上不同波线上相位相同相位相同的点的点所连成的曲面所连成的曲面，叫做，叫做波面波面或或同相面同相面、波阵面波阵面；（3）

5、分类）分类平面波：平面波：波前为平面；波前为平面；柱面波：柱面波：波前为柱面，波前为柱面， 由线状波源产生；由线状波源产生；球面波：球面波：波前为球面，波前为球面， 由点波源产生。由点波源产生。2.2.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程平面简谐波的概念平面简谐波的概念波源波源作简谐振动作简谐振动，波动所到之处波动所到之处的的各个质点各个质点也在作简谐也在作简谐振动振动，相应的波相应的波称为称为平面简谐波平面简谐波，或称为，或称为简谐波简谐波。平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数coscosPxyAttAt xyOP 设一平面简谐波在设一平面简谐波在无限大、均匀且无限大、均匀且完全无吸收的

6、完全无吸收的理想介质中以速度理想介质中以速度 沿沿 x 轴轴正方向正方向传播传播，设设x 轴与平面简谐波的轴与平面简谐波的一条波线重合一条波线重合,各个质点的平衡位置都在各个质点的平衡位置都在 x轴上，轴上，如图所示。如图所示。以波线上任意一点以波线上任意一点为为坐标原点坐标原点O, ,并令该处质点的振动方程为并令该处质点的振动方程为 0cos()yAt对于轴上任一点对于轴上任一点P（距距O点为点为x）来说，来说，当振动当振动从从O点点传到传到P点时点时，P处质点处质点将重复将重复O点的振动点的振动, ,但是但是在时间上要落后在时间上要落后 ，也就说也就说P处振动的相位处振动的相位要比要比O处

7、的相位落后处的相位落后 ,因此因此在时刻在时刻t，P处质点的相位处质点的相位 ，相应的位移为相应的位移为: : tx ttt考虑考虑P点的任意性点的任意性（x的任意性的任意性），可得），可得平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数为为 cosxyAt 应用和，该方程又可以表示为以下形式：应用和，该方程又可以表示为以下形式： TT22cos 2txyATcos 2xy At 讨论讨论: :（1 1）沿）沿x轴轴负方向负方向传播的平面简谐波传播的平面简谐波的表达式的表达式 cos cos 2 cos 2xyAttxATxAt （2 2）写出平面简谐波的表达式写出平面简谐波的表达式关键是关键是写出波线上

8、写出波线上任一点任一点的振动的振动相位相位比比已知点已知点的振动相位的振动相位是超前还是落后是超前还是落后。已知已知 x0 0 处质处质点的振动表达式点的振动表达式为为: :0(, )cos()y xtAt在在x轴上传播的平面简谐波的波函数轴上传播的平面简谐波的波函数0( , )cos ()xxy x tAtx0 x0 xyOP 该方程表示的是该方程表示的是x1 1处的质点的振动方程处的质点的振动方程，如图所示。如图所示。 当当x一定时一定时，则，则位移仅是时间的函数位移仅是时间的函数，如，如对于对于，则有，则有 1xx12cosxyAt当当t t一定时一定时，则，则位移仅是坐标的函数位移仅是

9、坐标的函数，如，如对于对于 ，则有，则有 1tt12cosxyAt 该方程表示该方程表示t t1 1时刻各质点相对于平衡时刻各质点相对于平衡位置的位移位置的位移。如图所示。由此还可以得到。如图所示。由此还可以得到相位差与波程差的关系相位差与波程差的关系 2122xxx （3 3）波动方程的物理意义）波动方程的物理意义 x和和t都变化时都变化时 实线实线表示表示t时刻的波形时刻的波形，虚线虚线表示表示t+t时刻的波形时刻的波形，从图中可以看，从图中可以看出，出，振动状态振动状态（即相位）（即相位）沿波线沿波线传播的距离为传播的距离为 ，整个波形整个波形也也传播了的距离传播了的距离，因而因而波速波

10、速就是就是波形向前传播的速度波形向前传播的速度，波函数波函数也描也描述了述了波形的传播波形的传播。 xt xyxo t+t t波动表达式表示波动表达式表示波线上波线上所有质点在不同时刻的位移。所有质点在不同时刻的位移。解解: :（1 1）将波动表达式）将波动表达式写成标准形式：写成标准形式： 0.01cos25()20 xytSI因而：因而： A=0.01m 20m T=1/5=0.2s 1201000.2m sT（2 2）将）将x=10=10m代入波动表达式，则有：代入波动表达式，则有： 0.01cos 10()ytSI 该式对时间求导，得该式对时间求导，得 0.1 sin 10dyutdt

11、 将将t =2=2s代入得振动速度代入得振动速度 0u （3 3）x=20=20m，6060m两处质点振动的相位差两处质点振动的相位差为为 21226020420 xx 求求: :（1 1）该波的）该波的波速、波长、周期和振幅波速、波长、周期和振幅; ;（2 2）x=10m10m处质点处质点的的振动方程振动方程及该质点及该质点在在t =2s=2s时的振动速度时的振动速度; ;（3 3）x=20m20m，60m60m两处质点两处质点振动的相位差振动的相位差。 补充题补充题1 1一平面简谐波一平面简谐波的的波动表达式为波动表达式为 0.01cos1010 xyt（SI） 补充题补充题2 2 一平面

12、简谐波沿一平面简谐波沿x轴正向传播，波速轴正向传播，波速=5=5m/ /s。波源位于波源位于y轴原点处，波源的振动曲线如图中所示。求：轴原点处，波源的振动曲线如图中所示。求： (1) (1)波源的振动方程；波源的振动方程； (2) (2)波动方程波动方程 解解:(1):(1)由题给条件由题给条件: :0.02 ,4 ,5/Am Tsm su= 由旋转矢量法可得该质点的初相为由旋转矢量法可得该质点的初相为 。波源位于。波源位于y轴原点处，轴原点处，则波源的振动方程为则波源的振动方程为 20.02cos()( )22ytm(2)(2)将已知量代入简谐波的波动方程的一般形式将已知量代入简谐波的波动方

13、程的一般形式: : cos ()xYAt可得可得: : 22(/ )42rad sT得得 0.02cos()( )252xYtmcosxyAtcos 2txyAT(1)(1)沿沿x轴轴正方向正方向传播的平面简谐波的波动表达式：传播的平面简谐波的波动表达式：cosxyAt+cos 2txyAT+(2)(2)沿沿x轴轴负方向负方向传播的平面简谐波的波动表达式：传播的平面简谐波的波动表达式： 当当x (=(=x1 1) )一定时，则位移仅是时间的函数一定时，则位移仅是时间的函数, ,表示表示: :x1 1处的质点的处的质点的振动方程振动方程. . 当当t(=tt(=t1 1) )一定时，则位移仅是坐

14、标的函数，表示一定时，则位移仅是坐标的函数，表示:t:t1 1时刻各质点时刻各质点相对于平衡位置的位移相对于平衡位置的位移( (即即t t1 1时刻各质点的位移分布时刻各质点的位移分布) )。 当当x和和t t都变化时都变化时 ，表示波线上所有质点在不同时刻的位移。表示波线上所有质点在不同时刻的位移。(3)(3)相位差与波程差的关系：相位差与波程差的关系：2x下节下节看点看点 4.3.1 4.3.1 惠更斯原理惠更斯原理 4.3.2 4.3.2 波的衍射波的衍射 4.3.3 4.3.3 波的叠加原理波的叠加原理 4.3.4 4.3.4 波的干涉波的干涉 本次课本次课 教学要求教学要求 1 1、

15、理解惠更斯原理；、理解惠更斯原理；2 2、理解波的衍射、波的叠加原理、波的干涉。、理解波的衍射、波的叠加原理、波的干涉。 重点重点 1 1、惠更斯原理；、惠更斯原理；2 2、波的相干条件。、波的相干条件。 难点难点 波的相干条件。波的相干条件。 4.3 4.3 波的衍射和干涉波的衍射和干涉 4.3.1 4.3.1 惠更斯原理惠更斯原理(Huygens principle)(Huygens principle) 波所到达的每一点波所到达的每一点都可以看作都可以看作是是发射次级子波发射次级子波的的波波源源，新的波前新的波前就是就是这些这些次级子波次级子波波阵面的包络波阵面的包络，这一论，这一论述称

16、为述称为惠更斯原理。惠更斯原理。 t时刻波阵面时刻波阵面ttt时刻波阵面时刻波阵面 惠更斯原理对惠更斯原理对任何波动过程任何波动过程都是适用的。都是适用的。只要知道只要知道某一时刻的波阵面某一时刻的波阵面，就可就可根据这一原理根据这一原理用几何方法来决定用几何方法来决定任一时刻的波阵面任一时刻的波阵面。但但惠更斯原理惠更斯原理不能说明不能说明波的强、弱分波的强、弱分布；布； 由惠更斯原理可推知，由惠更斯原理可推知，当波在当波在各向同性或均匀介质各向同性或均匀介质中传播时中传播时，波阵面的几何形状不变波阵面的几何形状不变；当波在当波在各向异性或不各向异性或不均匀介质中均匀介质中传播时传播时，由于

17、不同方向上由于不同方向上波速不同波速不同，波阵面的波阵面的几何形状会发生变化。几何形状会发生变化。 注：注：4.3.2 4.3.2 波的衍射波的衍射(diffraction of wave)(diffraction of wave) 波在传播过程中波在传播过程中遇到障碍物时遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘能够绕过障碍物的边缘继续前进继续前进的现象叫做的现象叫做波的衍射现象波的衍射现象。 实验表明实验表明，衍射现象明显与衍射现象明显与否否，和，和障碍物的尺寸障碍物的尺寸有关。有关。当孔当孔或缝的线度与或缝的线度与通过它们的通过它们的波的波波的波长值相差不多时长值相差不多时，衍射现象表现衍射现象

18、表现得比较明显得比较明显；反之，；反之，如果孔及缝如果孔及缝的线度的线度远大于远大于波的波长值波的波长值，衍射衍射现象就表现得不明显。现象就表现得不明显。 4.3.3 4.3.3 波的叠加原理波的叠加原理 (superposition principle of wave) 一列波在传播过程中一列波在传播过程中，它的，它的振幅、频率、波长、振动振幅、频率、波长、振动方向以及传播方向方向以及传播方向等，等，不因其他波的存在不因其他波的存在而有所改变而有所改变，这，这一现象称为一现象称为波的独立传播原理波的独立传播原理。 然而，然而，几列波几列波在传在传播过程中播过程中相遇时相遇时，每一每一列波列波

19、都要引起都要引起相遇点介相遇点介质元的振动质元的振动，因此，该，因此，该介质元的振动位移介质元的振动位移为为各各波引起振动位移的矢量波引起振动位移的矢量和，和，该点将按着该点将按着合振动合振动的规律的规律运动，运动，称为称为波的波的叠加原理。叠加原理。 相干波源的获得相干波源的获得分波阵面：分波阵面：4.3.4 4.3.4 波的干涉波的干涉(interference of wave)(interference of wave) 1 1、相干波、相干波相干波相干波:能够能够产生干涉产生干涉的的两列波两列波；相干波源相干波源:相干波相干波的的波源波源；相干条件相干条件:振动方向相同振动方向相同、频

20、率相同频率相同、相位相同相位相同或或相位差相位差 恒定。恒定。 振动方向相同振动方向相同、频率相同频率相同、相位相同相位相同或或相位差恒定相位差恒定的的两列波两列波，在空间相遇时在空间相遇时，在相遇区域在相遇区域某些位置某些位置振动始终加振动始终加强强，而在另一位置上而在另一位置上振动始终减弱振动始终减弱，从而形成一种从而形成一种稳定的稳定的强弱分布强弱分布，这种现象称为，这种现象称为波的干涉现象波的干涉现象。S1S2S最强最强最强最强最强最强最弱最弱最弱最弱干涉图样的形成干涉图样的形成 如图所示如图所示, ,若若两相干波源两相干波源S1 1和和S2 2发出发出的波在同一的波在同一各向同性均匀

21、介质中各向同性均匀介质中传播传播，设其设其振动表达式振动表达式分别为：分别为： 1011cos()yAt2022cos()yAt 它们分别经过它们分别经过r1 1、r2 2的距离的距离在空间在空间某一点某一点P相遇相遇, ,则则这两列波在点这两列波在点P引起的引起的振动分别为振动分别为 )2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy在在P点的合振动为点的合振动为：12cos()yyyAt其中：其中：2212122cosAAAA A12112212112222sin()sin()arctan22cos()cos()rrAArrAA两相干波在两相干波在P点点引起的相位差引起的相位差为为:

22、 : 21212()()rr干涉相长的条件：干涉相长的条件：21212(2),0,1,2,rrkkmax12AAA振动加强振动加强干涉相消的条件：干涉相消的条件：212120,12, ,12rrkk，当两相干波源为当两相干波源为同相波源同相波源时，时，相干条件写为相干条件写为：相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉, 2 , 1 , 021kkrr，, 2 , 1 , 021221kkrr，min12|AAA振动减弱振动减弱解：解：取取S1 1S2 2连线为连线为x轴轴，S1 1所在处所在处为坐为坐标原点标原点0，在连线上在连线上S1 1左侧各点左侧各点和和S2 2右侧各右侧各点点，两波的波程差均为

23、两波的波程差均为，即半波即半波长的奇数倍长的奇数倍，两波相互抵消，不存在加强两波相互抵消，不存在加强点。点。92在在S1 1和和S2 2之间之间距距S1 1为为x处处取一点取一点P，两波传至两波传至P点的波程差为点的波程差为： 2199222rrxxx则则P点为点为加强时加强时应满足应满足： 929224xkxk 或或4,3,2,1,0, 1, 2, 3, 4k 令令，相应，相应可得两波加强的位置可得两波加强的位置为为 357911131517,4 44444444x补充题补充题3 3S1 1和和S2 2是初相和振幅是初相和振幅均相同均相同的的两相干波源两相干波源，相距相距4.54.5，设两设两波波沿沿S1 1S2 2连线连线传播的强度不随距离变化传播的强度不随距离变化，求在连线上求在连线上两波叠加为加强的两波叠加为加强的位置。位置。 （1 1）惠更斯原理：波所到达的每一点都可以看作是发射次级子波的）惠更