数值计算方法1

1、计算方法主讲 岳国强 哈尔滨工程大学动力与能源工程学院计算机解决科学计算问题时经历的几个过程实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机运行求出解计算方法课的主要基础与内容 计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算1. 数值代数:求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。2. 数值逼近：插值和数值逼近，数值微分和数值积分。3. 方程求解：非线性方程、常微分方程。计算方法特点面向计算机。有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。要有好的计算复杂性（时间、空间）要有数值试验。算法1.计算速度。 例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而

2、用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。2.存储量。 大型问题有必要考虑。3.数值稳定性。 在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。 秦九韶算法 选定合适的算法是整个数值计算中非常重要的一环 对于多项式 12345xxxxxxP秦九韶算法 将多项式改写为 该方法仅需要4次乘法，5次加法 11111xxxxxxP秦九韶算法 对于多项式 直接计算需要n次加法和 次乘法 0111axaxaxaxPnnnn21121nnnn秦九韶算法 将多项式改写为 该方法仅需要n次乘法， n次加法 0121axaxaxaxaxPnnn误差来源在任何科学计算中其解的精确性总是

3、相对的,而误差则是绝对的.我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因. 摆长为L的单摆运动周期22sing:gl2dtdmlmamgfmlT牛顿定律的质量。如图所示：由是质点为自由落体加速度；为摆长；其中摆周期在物理学中我们知道单0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml则有令很小时当即所以：期求解过程的误差情况现在我们来分析单摆周因此，故有解微分方程得，glTtcctctc22)sin(.sincos22212121开方：舍入误差长度秒米观察误差：展式：由截断误差：点处的摩擦力忽略忽略空气阻力模型误差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglo

4、rsin2o10205300lg误差的分类模型误差模型误差 从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差.观测误差观测误差 一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。截断误差截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。舍入误差舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。误差和有效数字。的绝对误差和相对误差为近似数和称的一个近似数为准确数设*)0()()()(,xxxxexxxxx

5、xr精度的好坏更合理。衡量也称百分比误差而用相对误差。但无法衡量精度的好坏比较直观的精度高低绝对误差是做为衡量为盈（强）近似值。称时当为亏（弱）近似值称时当,0)(;,0)(*xxxxx误差估计由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差限就是用于误差估计的。误差估计差限。的绝对误差限和相对误为近似数和则称满足和若有正数的一个近似数是精确数设*r*r*| )(| )(|:,xxxxxxxxxxr 2*22*2*)()(rrrOxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx有效数字在工程上，误差的概念就转化为有效数字。似数。具有五位有效数字的近称

6、则的近似数例如3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*在计算机中表示为：均为有效数。为有效数字，且则若设121321.,1021.,. 010nnnmnmaaaaaaaaxmfa1a2 an位有效数的近似数。的具有为则称的绝对误差满足。如果是整数且和其中有规格化形式设近似数nxxxxxxaaniamaaaaxxnmiinm*1321*1021| )(|90 , 0,.),.,2 , 1(.010绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和

7、相对误差限。4*10215, 1,4142. 1,2的绝对误差限则如xnmxx554*1041044142. 11021rx即而相对误差限估计为解解由于由于,5204 所以所以,41 a由定理有由定理有,%1 . 0102111 na即即,81104 n得得4 n要使要使 的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1% ,要取几位有效数字。要取几位有效数字。20故只要对故只要对 的近似数取的近似数取4 位有效数字位有效数字,20472. 420 因此因此,可取可取其相对误差就可小于其相对误差就可小于0.1%,例题。的绝对误差和相对误差面积试估计观测数据为设例SABC,)02.060(

8、,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb2*57.1018002. 0cos211 . 0sin211 . 0sin21)()()()(sin21mAcbAbAcAeAScecSbebSSeAbcS则由解253*33*10211021| )(|10010. 01010.100:10035. 2sin2157.10|)(| )(|bebAcbsseser则对误差界。如出，则知道绝若数据以规格化形式给注意1.3算法的优化算法优劣的标准从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少.从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数

9、值要稳定.从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现.设计算法时应遵循的原则要有数值要稳定性,即能控制误差的传播.避免大数吃小数,即两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上.避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失.避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出.例题.1)1(.312112ln1.)1(.32)1ln(解2ln例1.3.11132nxnxxxxxTaylornnn有令展式有算法一：由的值。计算慢。显然项数大，收敛速度时，则若要收敛。所以且由级数判别，交错级数55102102111|2ln0limnnann得：并取则令则而由于算法二1031211.)1

10、2.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnnnn差距很大。，计算精度及速度两种算法，同样计算其截断误差为2ln109123112191119123132.)9125191231(32)31(211.3151311 (322ln12101112112042T。则时同理若要算法一：由定积分解的值。计算圆周率例55110210,1021121|.121)1(.513111142 .3 .1nnndxxn141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611

11、)(,2122*22SffffhSsimpsonxxfhn所以公式有的，算法二：取算法二表明,仅用不多的五次函数值的计算,已获得的具有五位有效数字的近似值。,.2 , 11|555,.)1 , 0(5例1.3.310101101110nnnxdxxdxxxxIIndxxxInnnnnnnn解：由于计算定积分计算如下：得递推公式18232155. 056ln,.2 , 15101InInInnn InnIn0 0.1823215590.0170566241 0.088392216100.0147168762 0.058039818110.0173247103 0.04313874212-0.0032902194 0.03430628713-0.0933741725 0.02846856014-0.3954422906 0.024323864152.0438781007 0.02123782016-10.156890008 0.0188108971750.84327600错。的绝对值越大，显然出越大，且时从表中看到，当。且即，所以由于nnnnnnInInIIdxxxxxx0120lim, 10150) 1 , 0(1501041)5(.)(5,.2 ,