振动波动讨论课

1、1讨论课讨论课4振动和波动振动和波动2013.22 1. 1. 如图所示，在光滑水平面上两弹簧和小如图所示，在光滑水平面上两弹簧和小球在球在 y 方向做微振动方向做微振动（ya）。（1 1）这一振动是简谐振动吗？）这一振动是简谐振动吗？（2 2）求恢复力。）求恢复力。a ：自然长度自然长度aa y y 0kmy ：位移位移3解解222p212)( aaykyE 0212d)(d0322202202p2 yyyaykayayakyyE0d)(d0p yyyE这一微振动不是简谐振动！这一微振动不是简谐振动！（1）系统的势能函数：）系统的势能函数：222 aayk2222p22)(2d)(dayya

2、aykyyE 2212ayaky4aa y y 0km（2）求恢复力）求恢复力 2212ayakyyEfpdd 32yak yyEd)(dp 2212ayaky 2)(1112ayky 222112ayky不是简谐振动不是简谐振动5 2. 如图如图(a)所示，把一劲度系数为所示，把一劲度系数为 k 的轻质弹簧的一的轻质弹簧的一端固定，另一端系在质量为端固定，另一端系在质量为 m 的匀质圆柱体的对称轴的匀质圆柱体的对称轴上，圆柱体可绕对称轴自由转动。今沿弹簧长度方向上，圆柱体可绕对称轴自由转动。今沿弹簧长度方向拉开圆柱体然后释放，让圆柱体在水平面上作无滑动拉开圆柱体然后释放，让圆柱体在水平面上作

3、无滑动滚动。滚动。（1）证明系统作简谐振动；（）证明系统作简谐振动；（2）求振动频率；）求振动频率；（3）求相应的线性恢复力；（）求相应的线性恢复力；（4）当弹簧和圆柱体放）当弹簧和圆柱体放在斜面上（图在斜面上（图(b)），情况如何？），情况如何？kmkm（a）（b）6（1）证明系统作简谐振动）证明系统作简谐振动 静摩擦力静摩擦力 f 与弹簧的弹力与弹簧的弹力 F 的方向相反。圆柱体的方向相反。圆柱体质心运动定理：质心运动定理： Cmakxf 取垂直于纸面向里为正方向，设圆柱体的半径为取垂直于纸面向里为正方向，设圆柱体的半径为R，绕过质心轴转动定理：绕过质心轴转动定理：km0 x xFfC22

4、1,mRIC CIRf 无滑动滚动条件：无滑动滚动条件： RaC 7032 xmkaC03222 xmktxdd即即联立解得：联立解得：因此，系统围绕平衡位置作简谐振动。因此，系统围绕平衡位置作简谐振动。（2）振动频率为）振动频率为mk3221 km0 x xFfC8（3）相应的线性恢复力）相应的线性恢复力kkmkmk32,32 线性恢复力：线性恢复力：kxxkF32 用用 代表系统等效劲度系数代表系统等效劲度系数kkm0 x xFfC9（4）当弹簧和圆柱体放在斜面上，只是平衡位置向）当弹簧和圆柱体放在斜面上，只是平衡位置向x 轴正方向移动轴正方向移动 sin0kmgx 其他与水平情况相同。其

5、他与水平情况相同。km10通过能量判通过能量判 据求解：据求解： 静摩擦力不做功，系统机械能量守恒，且势能函静摩擦力不做功，系统机械能量守恒，且势能函数为数为 ，则系统围绕平衡位置作简谐振动。，则系统围绕平衡位置作简谐振动。22kxEmIkxCC 222212121v RC v,能量守恒可表示为能量守恒可表示为即即EmkxC 224321v对时间求导，得对时间求导，得 03222 xmktxdd11kkkmm3. 求耦合双振子系统的固有频率和振动模式（即振求耦合双振子系统的固有频率和振动模式（即振动函数）。动函数）。12解解O1O2x1x2x12122221211122kxkxkxkxkxxm

6、kxkxkxkxkxxm 设：设：ttttAAxAAxi2ii22i1ii11eee,eee210)2(0)2(221212AmkAkAkAmk0222122AAmkkkmkkkkmm130)2(222kmkmkmkba3,解得固有频率：解得固有频率：0222122AAmkkkmk02222mkkkmk把把 代入，解出代入，解出 关系：关系： ba,21,AA14mkAAa，当21mkAAb321，当两种振动模式：两种振动模式：)cos()cos(21aaaatAxtAx)cos()cos(21bbbbtBxtBxmmmm振幅、初相由初始条件确定。振幅、初相由初始条件确定。15 4. 在受迫振

7、动中，振幅出现极大值的现象称为位移在受迫振动中，振幅出现极大值的现象称为位移共振，速度振幅出现极大值的现象称为速度共振。证共振，速度振幅出现极大值的现象称为速度共振。证明：明：（1）位移共振时，位移相位落后于驱动力近似为）位移共振时，位移相位落后于驱动力近似为（2）当驱动力频率恰好等于固有频率时发生速度共振，当驱动力频率恰好等于固有频率时发生速度共振，这时速度与驱动力恰好同相。这时速度与驱动力恰好同相。 216（1）位移共振）位移共振2202 r,2220 hAr:0 0 r2r ,4)(222220 hA2202arctan 2202arctan r17)cos()sin( tVtAv,4)

8、(222220 hAV022 r ,0 r22arctan220 （2）速度共振速度共振1y(1)(1) 1区入射波函数区入射波函数 ；(2)(2) S1面上反射波面上反射波 ， 设其振幅为设其振幅为 A 1；1y (4)(4)如果两列反射波在如果两列反射波在1区叠加后合振幅最小，区叠加后合振幅最小，介质介质2厚度厚度至少应多大至少应多大? ?(3)(3) S2面上反射回面上反射回1区的区的 波波 ，设振幅为设振幅为 ；1y 1A 求：求： 5. 如图所示，余弦波沿如图所示，余弦波沿 x 方向传播，方向传播， a 点振动为点振动为r r1u1 r r3u3 。tAya cos1 ，(5)(5)

9、如果两列反射波在如果两列反射波在1区叠加后合振幅最大区叠加后合振幅最大, ,介质介质2厚度至少应多大厚度至少应多大? ?r r2u2r r1u1ydDlS1S2012a1y1y 1y xx3 3r r3u3解解 ),()1(1txy ),()2(1txy )(cos11uxdtA )(cos11 uxlldtA r r1u1 r r3u3tAya cos1 r r2u2r r1u1ydDlS1S2012a1y1y 1y xx3 3r r3u3 )2(cos11 udlxtA ),()3(1txy )2( 1udlxt )22(21uDudlxt ，k = 0，1，2， )22(cos211uD

10、udlxtA (4) 和和 相消干涉：相消干涉：1y 1y r r2u2r r1u1ydDlS1S2012a1y1y 1y xx3 3r r3u3r r1u1 r r3u3tAya cos1 22uD )12( k)12(22 kuD 22min D2kuD 2222 kku 当第二种介质的厚度等于当第二种介质的厚度等于 2/2时，从它的两个表时，从它的两个表面反射波相消面反射波相消 介质介质 2 可作为可作为 “ “隐形涂层隐形涂层”r r2u2r r1u1ydDlS1S2012a1y1y 1y xx3 3r r3u3取取 k = 1： , 2 , 1 , 0,12412222 kkkuD

11、42min D 当第二种介质的厚度等于当第二种介质的厚度等于 2/4时，从它的两个表时，从它的两个表面反射波加强面反射波加强 介质介质 2 可作为可作为 “增反涂层增反涂层”222kuD r r2u2r r1u1ydDlS1S2012a1y1y 1y xx3 3r r3u3取取 k = 1：(5) 和和 相长干涉：相长干涉：1y 1y 23 6. 由驻波振动的简正模式和德布罗意假设，导出由驻波振动的简正模式和德布罗意假设，导出宽度为宽度为 a 的一维无限深势阱中质量为的一维无限深势阱中质量为 m 的粒子能量的粒子能量的表达式。的表达式。U=0UUU(x)x0 一维无限深方势阱一维无限深方势阱a

12、24UUU(x)x0a解解粒子只能在阱内运动，驻粒子只能在阱内运动，驻波波函数满足边值条件：波波函数满足边值条件：0)()0( a 简正模式对应的波长：简正模式对应的波长：, 2 , 1,2 nnan 德布罗意假设：德布罗意假设：, 2 , 1,2 nanhhpnn 粒子能量：粒子能量：, 2 , 1,28222222222 nnmanmahmpEnn25 7. 湖面上方湖面上方 h=0.50m 处放一电磁波接收器，当处放一电磁波接收器，当某射电星从地平面慢慢升起时，接收器可测到一系某射电星从地平面慢慢升起时，接收器可测到一系列极大值。已知射电星所发射的电磁波的波长列极大值。已知射电星所发射的电磁波的波长=20cm，求出现第一个极大值时射电星的射线与竖，求出现第一个极大值时射电星的射线与竖直线的夹角直线的夹角。把湖面看作是电磁波的反射面。把湖面看作是电磁波的反射面。h26解解入射波和反射波在接收器入射波和反射波在接收器 P 处的波程差：处的波程差：2)2cos1(2 BPAPBPhBPA2入射波反射波,cos,2 hBP 2cos2h, 1 . 05 . 0420. 04cos h 26.84 27 8. 飞机在上空以速度飞机在上空以速度 u=200m/s 水平飞行，发出水平飞行，发出频率为频率为0=2000Hz 的声波。地面上静止的观察