高考二轮复习专题六-第讲-圆锥曲线中的热点问题

1、第 3讲 圆锥曲线中的热点问题主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，般用直接法、代入法

2、、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第往往出现在解答题的第(1)问中问中考情解读主干知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程一个一元二次方程.若若0，则直线与椭圆相交；若，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当时，直线与双曲线相交；当0时，时，直线与双曲线相切；当直线与双曲线相切；当0.x轴是轴是PBQ的角平分线，的角平分线，即即y1(x21

3、)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0 将将代入代入得得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时，此时0，直线直线l的方程为的方程为yk(x1)，即直线，即直线l过定点过定点(1,0).(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向在这类试题中选择消元的方向是非常关键的是非常关键的.(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程

4、的点斜由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：式：yy0k(xx0)，则直线必过定点，则直线必过定点(x0，y0)；若；若得到了直线方程的斜截式：得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过，则直线必过定点定点(0，m).思维升华变式训练2 (1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2)已知点已知点P(2,3)，Q(2，3)在椭圆上，点在椭圆上，点A、B是椭圆是椭圆上不同的两个动点，且满足上不同的两个动点，且满足APQBPQ，试问直，试问直线线AB的斜率是否为定值，请说明理由的斜率是否为定值，请说明理由.解当当APQBPQ时，时，PA、PB的斜率之和为的斜率之和为0，设直线设直线PA的斜率为

5、的斜率为k，则则PB的斜率为的斜率为k，PA的直线方程为的直线方程为y3k(x2)，(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480，同理同理PB的直线方程为的直线方程为y3k(x2)，例3已知椭圆已知椭圆C1、抛物线、抛物线C2的焦点均在的焦点均在x轴上，轴上，C1的中心和的中心和C2的顶点均为原点的顶点均为原点O，从每条曲线上各取，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：两个点，将其坐标记录于下表中：热点三 圆锥曲线中的探索性问题x324y 204(1)求求C1，C2的标准方程；的标准方程；思维启迪 比较椭圆及抛物线方程可知，比较椭圆及抛物线方程可知，C2的方程易求，确定其上的方

6、程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求两点，剩余两点，利用待定系数法求C1方程方程.易求得易求得C2的标准方程为的标准方程为y24x.思维启迪 联立方程，转化已知条件进行求解联立方程，转化已知条件进行求解.解容易验证当直线容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意的斜率不存在时，不满足题意.当直线当直线l的斜率存在时，设其方程为的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与与C1的交点为的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).消去消去y并整理得并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，所以所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1解得解得k2，所以存在直线，所

7、以存在直线l满足条件，满足条件，且直线且直线l的方程为的方程为2xy20或或2xy20.解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型是存在类型的相关题型.解决问题的一般策略是解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于定结论，对于“存在存在”或或“不存在不存在”的问题，的问题，直接用条件证明或采用反证法证明直接用条件证明或采用反证法证明.解答时，不解答时，不思维升华但需要熟练掌握圆锥曲线的概念

8、、性质、方程但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力想分析问题和解决问题的能力.思维升华变式训练3如图，抛物线如图，抛物线C：y22px的焦点为的焦点为F，抛物线上一定点抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线求抛物线C的方程及准线的方程及准线l的方程的方程.解把把Q(1,2)代入代入y22px，得，得2p4，所以抛物线方程为所以抛物线方程为y24x，准线，准线l的方程：的方程：x1.(2)过焦点过焦点F的直

9、线的直线(不经过不经过Q点点)与抛物线交于与抛物线交于A，B两点，两点，与准线与准线l交于点交于点M，记，记QA，QB，QM的斜率分别为的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数，问是否存在常数，使得，使得k1k2k3成立，若成立，若存在存在，求出，求出的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由.解由条件可设直线由条件可设直线AB的方程为的方程为yk(x1)，k0.由抛物线准线由抛物线准线l：x1，可知，可知M(1，2k).即即k3k1.把直线把直线AB的方程的方程yk(x1)，代入抛物线方程，代入抛物线方程y24x，并整理，可得并整理，可得k2x22(k22)xk20.设设A(x1，

10、y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，知，由根与系数的关系，知因为因为A，F，B共线，所以共线，所以kAFkBFk，即即k1k22k2.又又k3k1，可得，可得k1k22k3.即存在常数即存在常数2，使得，使得k1k2k3成立成立.1.圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这

11、个的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：常从以下五个方面考虑：本讲规律总结利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取

12、值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.2.定点、定值问题的处理方法定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明结论后进行一般性证明.对于客观题，通过特殊值法探对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果求定点、定值能达到事半功倍的效果.3.探索性问题的解法探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻

13、探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可再下结论不存在即可. 真题感悟 押题精练真题与押题真题感悟(2014北京北京)已知椭圆已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆求椭圆C的离心率；的离心率；所以所以a24，b22，从而，从而c2a2b22.真题感悟(2)设设O为原点，若点为原点，若点A在椭圆在椭圆C上，点上，点B在直线在直线y2上，上，且且OAOB，试判断直线，试判断直线AB与圆与圆x2y22的位置关系，的位置关系，并证明你的结论并证明你的结论.解直线直线AB与圆与圆x2y22相切相切.证明如下：证明如下：设点设点A，B的坐标分别为的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，