第15章_电磁感应

1、1第第15章电磁感应章电磁感应Electromagnetic Induction主要内容主要内容 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 动生电动势动生电动势 感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场 互感互感 自感自感 磁场的能量磁场的能量 15.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 Faraday Law of Electromagnetic Induction31.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律ddt (1)表达式表达式感应电动势的大小和通过导体回路的感应电动势的大小和通过导体回路的磁通量的变化率成正比。磁通量的变化率成正比。“”是楞次定律的数学表示。是楞次定律的数学表示。4(2

2、)楞次定律楞次定律:感应电动势总具有这样的方向，即使感应电动势总具有这样的方向，即使它产生的感应电流在回路中产生的磁场去它产生的感应电流在回路中产生的磁场去阻碍阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。引起感应电动势的磁通量的变化。图图(a)为为 d0dt ， 与回路与回路L的方向相反，的方向相反，0图图(b)为为 d0dt ， 与回路与回路L的方向相同，的方向相同，05(3)磁链磁链穿过穿过N匝线圈的总磁通量，叫磁链。匝线圈的总磁通量，叫磁链。N单位单位Wb.ddddNtt 则例例15.1 在无限长直载流导线的磁场中在无限长直载流导线的磁场中, , 有一有一运动的导体线框运动的导体线框, , 导体线

3、框与载流导线共面。导体线框与载流导线共面。xbxISBd2dd0解解: :取面积元取面积元, ,通过其磁通量为通过其磁通量为 xbxIalld2d0lalIbln20求求: : 线框中的感应电动势。线框中的感应电动势。xdxIvabl（选顺时针方（选顺时针方向为正）向为正） tddltlaltlIbd/dd/d20)(20allIabvIvabl（选顺时针方（选顺时针方向为正）向为正） 8 15.2 动生电动势动生电动势 Motional EMF 1.动生电动势动生电动势BSBlx 如图如图:方向由方向由ab根据右手定则根据右手定则dddtdxBltBlv9fmBvveba dl B3.非静电

4、性场强非静电性场强:2. 非静电力非静电力洛仑兹力洛仑兹力fqBvnefEBqv10d(dbbabneaaErlv B)4.动生电动势公式动生电动势公式(dLlvB)在磁场中运动的导体在磁场中运动的导体整个在磁场中运动的闭合导体整个在磁场中运动的闭合导体115.感应电动势作功的功率感应电动势作功的功率PI如图如图:ab棒将受到棒将受到磁力磁力mFIlBv若若 为匀速为匀速v必有平衡外力必有平衡外力extmFF 可见，感应电动势的电能是由可见，感应电动势的电能是由外力做功外力做功所消耗的所消耗的机械能转换而来。机械能转换而来。extPIlBPv= I外力作功的功率外力作功的功率:126.洛仑兹力

5、不做功洛仑兹力不做功则则fevBFff电子的合速度电子的合速度V v+v电子还有沿导线运动的电子还有沿导线运动的v() ()F Vff v+vF Vffvv0e Be B v vv v洛伦兹力合力不做功洛伦兹力合力不做功能量的转换与守恒能量的转换与守恒13例例15.2 法拉第曾利用左图的实验来演示感生电法拉第曾利用左图的实验来演示感生电动势的产生。铜盘在磁场中转动时能在连接电动势的产生。铜盘在磁场中转动时能在连接电流计的回路中产生感应电流。为了计算方便，流计的回路中产生感应电流。为了计算方便，我们设想一半径为我们设想一半径为R的铜盘在均匀磁场中转动，的铜盘在均匀磁场中转动，角速度为角速度为 。

6、求盘上沿半径方向上产生的感应。求盘上沿半径方向上产生的感应电动势。电动势。d(dddvB)l = Bv l = B l l解解:上产生的电动势上产生的电动势dl14整杆上产生的电动势整杆上产生的电动势201dd2RBlB R15 15.3 感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场1.感生电动势和感生电场感生电动势和感生电场一静止的导体回路，由于一静止的导体回路，由于磁场随时间变化，穿过它磁场随时间变化，穿过它的磁通量也变化，所产生的磁通量也变化，所产生的电动势称感生电动势。的电动势称感生电动势。 变化磁场引起的电场叫感生电场，变化磁场引起的电场叫感生电场，用用 表示。表示。iEBL, indd

7、diLElt 162.麦克斯韦观点麦克斯韦观点:在变化磁场中，不但会在导体回路，在空间任一在变化磁场中，不但会在导体回路，在空间任一地点都会产生地点都会产生感生电场感生电场, , 感生电场与磁场关系为感生电场与磁场关系为: :drdiLSBESt 感生电场也叫感生电场也叫涡旋电场涡旋电场空间的电场可能既有静电场空间的电场可能既有静电场 ，又有感生电，又有感生电场场 ，则总电场，则总电场 的环路积分的环路积分:sEiEEdrdLSBESt 感生电场与变化磁场相联系感生电场与变化磁场相联系17例例15.3 电子感应加速器电子感应加速器. 电子感应加速器是利用感生电场来加电子感应加速器是利用感生电场

8、来加速电子的一种设备，它的柱形电磁铁在两速电子的一种设备，它的柱形电磁铁在两极间产生磁场，在磁场中安置一个环行真极间产生磁场，在磁场中安置一个环行真空管道作为电子运行的轨道。当磁场发生空管道作为电子运行的轨道。当磁场发生变化时，就会沿着管道方向产生感生电场，变化时，就会沿着管道方向产生感生电场，射入其中的电子就受到这感生电场的持续射入其中的电子就受到这感生电场的持续作用而不断加速。设环行真空管的轴线半作用而不断加速。设环行真空管的轴线半径为径为a，求磁场变化时沿环行真空管道轴线，求磁场变化时沿环行真空管道轴线的感生电场。的感生电场。18解：解：沿真空管轴线的感生沿真空管轴线的感生电场的环路积分

9、为：电场的环路积分为：d2iiLErEa以表示环线轴线所围面以表示环线轴线所围面积上的平均磁感强度积上的平均磁感强度B则此面积的磁通量为：则此面积的磁通量为：2BSBa 2dd2dtdiBEt a=ad2 diBEt a由此得由此得19例例15.4 测铁磁质中的磁感应强度。测铁磁质中的磁感应强度。 在铁磁质试样做的环上绕上两组线圈。在铁磁质试样做的环上绕上两组线圈。一组线圈匝数为一组线圈匝数为N1，与电池相连。另一组，与电池相连。另一组线圈匝数为线圈匝数为N2，与一个，与一个“冲击电流计冲击电流计”(这这种种电流计的最大偏转与通过它的电量成正电流计的最大偏转与通过它的电量成正比比)相连。设铁环

10、原来未磁化。当合上电键相连。设铁环原来未磁化。当合上电键使使N1中电流从零增大到中电流从零增大到I1时，冲击电流计时，冲击电流计测出通过它的电量是测出通过它的电量是q。求与电流。求与电流I1相应的相应的铁环中的磁感应强度是多大铁环中的磁感应强度是多大?20解解:1N 中的电流增加时中的电流增加时,铁环中的磁场也增强铁环中的磁场也增强 中的磁通量增加中的磁通量增加,感生电动势为感生电动势为: 2N22ddddddBNN Sttt 2N 中的电流为中的电流为:2N S dBiRRdt2112002210ddddBN SBqidttRtN SN SBBRR则在则在0 时间内通过时间内通过 回路的电量

11、回路的电量2N由此得由此得:12qRBN S因此根据冲击电流计测出的电量因此根据冲击电流计测出的电量q，可以算，可以算出与电流出与电流I1相应的铁环中的磁感应强度。相应的铁环中的磁感应强度。22 15.4 互感互感1.互感电动势互感电动势 线圈内电流线圈内电流 i1的变化，将引起线的变化，将引起线圈圈 内的互感电动内的互感电动势势1L2L21则通过则通过 的磁通的磁通 也应该和也应该和 成正比成正比 : 2L211i2121 1M iM21线圈线圈1对线圈对线圈2的互感系数的互感系数23 如果回路周围不存在铁磁质，互感如果回路周围不存在铁磁质，互感 M21仅仅取决于回路的匝数、几何形状和大小以

12、及取决于回路的匝数、几何形状和大小以及周围介质的磁导率，是一个与电流周围介质的磁导率，是一个与电流 i无关无关的物理量。的物理量。据法拉第电磁感应定律：据法拉第电磁感应定律：2112121ddddiMtt 同理，若中的变化，则同理，若中的变化，则2L2i1221212ddddiMtt 24可以证明：可以证明：1221MMM就叫做这两个导体回路的互感系数，简就叫做这两个导体回路的互感系数，简称它们的互感。称它们的互感。互感系数的单位名称是亨互感系数的单位名称是亨利利，符号为，则：符号为，则：V1H11Ass 25例例15.5 一长直螺线管，单位长度上的匝数一长直螺线管，单位长度上的匝数为为n。另

13、一半径为。另一半径为r的圆环放在螺线管内，的圆环放在螺线管内，圆环平面与管轴垂直圆环平面与管轴垂直.求螺线管与圆环的互求螺线管与圆环的互感系数。感系数。1i解解: 设螺线管内通有电流设螺线管内通有电流 ，螺线管内，螺线管内 磁场为磁场为 ，则，则1B101Bni通过圆环的全磁通为通过圆环的全磁通为2221101rrBni2212101Mrni26因为因为1221MMM所以它们的互感系数为所以它们的互感系数为20Mrn27 15.5 自感自感1.自感电动势自感电动势 由于回路自身的电流发生由于回路自身的电流发生变化因而回路自身也产生的变化因而回路自身也产生的感生电动势，称为自感电动感生电动势，称

14、为自感电动势。势。2.自感系数自感系数穿过线圈自身全磁通与电流穿过线圈自身全磁通与电流 i成正比成正比LiL为自感系数为自感系数28L 如果回路周围不存在铁磁质，自感如果回路周围不存在铁磁质，自感L L与电与电流无关，仅取决于回路大小、形状、线圈流无关，仅取决于回路大小、形状、线圈的匝数以及它周围的磁介质的分布。的匝数以及它周围的磁介质的分布。L单位：亨利单位：亨利(H)iLddLdtdt 则由电磁感应定律则由电磁感应定律:自感电动势的方向总是反抗回路本身电流自感电动势的方向总是反抗回路本身电流的变化。的变化。29例例15.6 计算一个螺绕环的自感。计算一个螺绕环的自感。 设环的截面积为设环的

15、截面积为 ，轴线半径为，轴线半径为 ,单位单位长度上的匝数为长度上的匝数为 ，环中充满相对磁导率，环中充满相对磁导率为为 的磁介质。的磁介质。SRnr解解: 管内磁场管内磁场0rBni 管内全磁通管内全磁通202rNRn Si 螺绕环的自感为螺绕环的自感为:22LRn Si螺绕环的体积为螺绕环的体积为:2 RSV则则2Ln V30例例15.7一根一根电缆由同轴的两个薄壁金属管电缆由同轴的两个薄壁金属管构成构成.两半径分别为两半径分别为 和和 ,两壁间充以两壁间充以 的电介质的电介质.电流由内管流电流由内管流走走,由外管流回由外管流回.试求试求单位长度的这种电缆单位长度的这种电缆的自感系数。的自

16、感系数。1R2R12()RR1r02IBr解解: : 在在 区间区间12()RrR31通过单位长度纵截面的磁通量为通过单位长度纵截面的磁通量为:2101d12RRIB Sdrr021ln2IRR则则:0121ln2RLIR32例例15.8 如图所示如图所示RLRL电路电路, ,由一自感线圈由一自感线圈L L、电阻电阻R R与电源与电源 组成的电路组成的电路. .当电键当电键K K与与a a端相接触时端相接触时, ,自感线圈和电阻串联而与电源自感线圈和电阻串联而与电源相接相接, ,求接通后电流的变化情况求接通后电流的变化情况. .待电流稳定待电流稳定后后, ,再迅速将电键打向再迅速将电键打向b

17、b端端, ,再求此后的电流再求此后的电流变化情况变化情况. . 33解解:如图如图(a), 当电键当电键K与与a端相接时端相接时自感电动势自感电动势:ddiddLLtt 34LiRdiLiRdt根据初始条件,t=0时,i=0,则上式的解为:(1)RtLieR则miR图(b)画出了上述电路中电流随时间的增长情况.35若电键打向b端,如下图(a):LiR根据初始条件,t=0时, ,则上式的解为:RtLieRiR, 说明电流将随时间按指数规律减少.36 15.6 磁场的能量磁场的能量1.自感现象自感现象图图(a): K闭合闭合,B灯比灯比A灯晚亮灯晚亮图图(b): K打开打开,灯强闪一下再灭灯强闪一

18、下再灭372.磁能磁能(b)情况，回路已无电源，灯闪的能量是由线圈情况，回路已无电源，灯闪的能量是由线圈提供的磁能。提供的磁能。在在 时间内自感电动势做的功为时间内自感电动势做的功为:dtddddddLiAi tLi tLi tt 电流由起始减少到零时电流由起始减少到零时,自感电动势做的总功为自感电动势做的总功为:0212IAdALidiLI这即为线圈提供的磁能这即为线圈提供的磁能:212mWLI383.磁能密度磁能密度nIBVnL2 ,已知已知:2222111222mBWLIn VIV则磁能密度则磁能密度:2122mBBH某磁场的总磁能某磁场的总磁能:dd2mmBHWVV此式的积分应遍及整个磁场分布的空间。此式的积分应遍及整个磁场分布的空间。39例例15.9 求两个相互邻近的电流回路的磁求两个相互邻近的电流回路的磁场能量场能量,这两个回路的电流分别是这两个回路的电流分别是 和和1I2I解解:如图如图:(1)合上合上1K10Ii由由 的过程中的过程中存储到磁场中的能量存储到磁场中的能量:211 112WL I(2)合上合上2K2i调节调节 使使 保持不变保持不变 ,当当 由零增大到由零增大到 1R1I2I40222212WL I存储到磁场中的能量存储到磁场中的能量:注意到在此过程中注意到在此过程中,回