第九章刚体的平面运动

1、第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 9-5 9-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。这种运动称为持相等的距离。这种

2、运动称为平面运动平面运动。一、平面运动一、平面运动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解二、平面运动的简化二、平面运动的简化xyOB1BB2直线直线A1A2作平移作平移点点A可代表直线可代表直线A1A2的运动的运动直线直线B1B2作平移作平移点点B可代表直线可代表直线B1B2的运动的运动于是，平面图形于是，平面图形 S 在自身平面内的运动在自身平面内的运动可代表刚体可代表刚体的平面运动。的平面运动。9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解三、平面运动的方程三、平面运动的方程yOxOMxOyO)(1tfxO)(2tfyO)(3tf

3、平面图形作平面运动的运动方程平面图形作平面运动的运动方程S9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解四、平面运动的分解四、平面运动的分解常数常数常数常数)()(21tfytfxOO常数常数)(3tf1.如如平面图形在平面图形在Oxy内作平移。内作平移。2.如如平面图形绕平面图形绕 O 轴转动。轴转动。yOxOMxOyOyx在点在点O建立一个建立一个平移平移的参的参考系考系Oxyz，点，点O称为基点。称为基点。平面图形的平面运动可分平面图形的平面运动可分解为随基点的平移和绕基点解为随基点的平移和绕基点的转动。的转动。9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平

4、面运动的概述和运动分解例如车轮的运动例如车轮的运动 车轮的平面运动可以车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合动和相对车厢的转动的合成成 车轮对于地面（定系）的平面运动车轮对于地面（定系）的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax y ) 相对定系的平移相对定系的平移 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动分解为随基点的平动 和绕基

5、点的转动和绕基点的转动9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解9-1 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解五、图形平面运动的角速度和角加速度五、图形平面运动的角速度和角加速度BBBAAA取点取点A为基点为基点随点随点A以以vA, ,aA作平移。作平移。绕点绕点A转动，角速度：转动，角速度：tAdd取点取点B为基点为基点随点随点B以以vB, ,aB作平移。作平移。 绕点绕点B转动，角速度：转动，角速度：tBddBABA所以所以由于由于平移与基点的选择有关，转动与基点的选择无关。平移与基点的选择有关，转动与基点的选择无关。9-1 9-1

6、刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法vMvOvMOvOMO平面图形的平面运动可分解为两个运动：平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动牵连运动，即随基点即随基点O的平动；的平动；2.相对运动相对运动，即绕基点，即绕基点O的转动。的转动。已知：已知：vO ，求，求 vM 。 于是，平面图形上点于是，平面图形上点M的运动是两个运动的合成，因的运动是两个运动的合成，因此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为此可用速度合成定理求它的速度，这种方法称为基点法基点法。牵连运动：牵连运动：MOvvMOr相对

7、运动：相对运动：eOvv 点点M的绝对速度：的绝对速度：MOOMvvv取点取点O为基点。为基点。结论：结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。图形绕基点转动速度的矢量和。vBvAvBAvABA取点取点A为动点，则点为动点，则点B的速度为的速度为BAABvvv根据这个结论，平面图形内任根据这个结论，平面图形内任意两点的速度必存在一定的关系。意两点的速度必存在一定的关系。其中其中 ABvBA方向垂直方向垂直AB。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例：例：半径为半径为R的车轮，沿直

8、线轨道作无滑动的滚动。已知的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动。已知轮轴以匀速轮轴以匀速v0前进。求轮缘上前进。求轮缘上A、B、C、D各点的速度。各点的速度。vOvOvOvOvOvAOvDOvBOvCOvDvBvA解：解：取点取点O为基点，则点为基点，则点C的速度的速度COOCvvvRvCO因轮纯滚动，所以因轮纯滚动，所以vC=0，则，则RvO0RvO点点A: :点点D: :点点B: :OAOvRvOAvv2ODOvRvODvv2OBOvRvOBvv29-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例：例：曲柄长曲柄长OA=r=40cm，以匀角速度，以匀角速度= =5rad

9、/s转动。连杆转动。连杆 AB长长l=200cm，求当曲柄与水平线成，求当曲柄与水平线成45角时，滑块角时，滑块B的速的速度及连杆度及连杆AB的角速度。的角速度。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法解：解：杆杆OA作作定轴转动定轴转动cm/s200rvAvAvBAvBvA取点取点A为基点，则点为基点，则点B速度速度BAABvvv作速度图，得作速度图，得)45sin()90sin(45sinBAABvvv45sinsinrl10245sinsinlr1027sin1cos2)45sin(cosABvvlvABABcm/s16245sincos1Avlrad/s

10、714. 09-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例：例：曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度0转动。求在图示瞬时，点转动。求在图示瞬时，点C的的速度。已知：速度。已知：OA=O1O=r，BC=2r。OAB= =45 。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法vAvBvBAvA解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动OOArOAv取点取点A为基点，则点为基点，则点B的速度的速度BAABvvv作速度图，得作速度图，得OABBArvvv2245cosOBABAABCOAvABv212ABC9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形

11、内各点速度的基点法2618135sinarcsinCBvvvCBvCvBvAvBvBAvAABC再取点再取点B为基点，则点为基点，则点C的速度的速度CBBCvvvOBrv22OOABCCBrrBCv21245cos222CBBCBBCvvvvvOr2109-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法vBvAvBAvABA速度投影定理：速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。两点连线上的投影相等。BAABvvv取点取点A为动点，则点为动点，则点B的速度为的速度为将上式两端在直线将上式两端在直线AB上投影，得上投

12、影，得ABBAABAABB)()()(vvv因因 vBAAB，所以（，所以（vBA) )AB=0，则，则ABAABB)()(vv9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例：例：曲柄曲柄OA长长100mm，以角速度，以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮，并拖动轮E沿水平面滚动。已知沿水平面滚动。已知CD= =3CB，图示位置时图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且三点恰在一水平线上，且CDED。求此瞬时点求此瞬时点E的速度。的速度。9-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法vDvBvAvE3

13、0解：解：杆杆OA绕绕O轴轴转动转动OAvA由速度投影定理，得由速度投影定理，得ABvv30cosm/s34 . 032ABvv摇杆摇杆CD绕绕C轴转动，有轴转动，有CDCBvvBD由速度投影定理，得由速度投影定理，得DEvv30cosm/s8 . 0EvBv3m/s32 . 1m/s2 . 09-2 9-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法点点C称为称为瞬时速度中心瞬时速度中心，简称，简称速度瞬心速度瞬心。9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法一、定理一、定理一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一一般情况，在每一瞬时，平面图形

14、上都唯一地存在一个速度为零的点。个速度为零的点。vAAMCvAvAvMAvCA证明：过点证明：过点A作作vA的垂线的垂线AN。NMAAMvvvAMvvAM随着点随着点M在在AN上的位置不同，上的位置不同，vM的大的大小也不同。因此可找到一点小也不同。因此可找到一点C, 该点的该点的瞬时速度等于零。如令瞬时速度等于零。如令AvAC 0ACvvAC取点取点A为基点，则为基点，则AN上点上点M的速度为的速度为二、平面图形内各点速度及其分布二、平面图形内各点速度及其分布DACB点点C为速度瞬心，即为速度瞬心，即 vC=0。取点取点C为基点，则为基点，则A, B, D各点的速度各点的速度ACACCAvv

15、vvBCBCCBvvvvDCDCCDvvvv由此的结论：由此的结论：平面图形内任一点的速度等于该点随图平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度形绕瞬时速度中心转动的速度。ACvvACABCvvBCBDCvvDCDvAvBvD9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法三、确定速度瞬心位置的方法三、确定速度瞬心位置的方法1. 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动。平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动。CCABvAvB2. 已知图形内任意两点已知图形内任意两点A和和B的速度方向。的速度方向。9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度

16、的瞬心法3. 已知图形上两点已知图形上两点A和和B的速度相互平行，并且速度的方的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线向垂直于两点的连线AB。ABvAvBCABvAvBCABvAvB4. 某瞬时，图形上某瞬时，图形上A，B两点的速度相等，即两点的速度相等，即 vA=vB。瞬时平动瞬时平动9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：行星轮半径为行星轮半径为r，在半径为，在半径为R的固定轮上作无滑动的滚的固定轮上作无滑动的滚动。已知曲柄动。已知曲柄OA以匀角速度以匀角速度0 转动。求在图示位置，行转动。求在图示位置，行星轮上星轮上M1、M2、M3的速度。的

17、速度。9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法vM1vM2vM3C解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动00)(RrOAvA点点C为行星轮的速度瞬心为行星轮的速度瞬心vArvA0rRr 01)(21RrCMvM03)(23RrCMvM02)(22RrCMvM9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：图示机构：图示机构：OA=0.15m，n=300 rpm，BC=BF=0.53m。 AB=0.76m，图示位置时图示位置时, , AB水平。求：该位置时的水平。求：该位置时的BC、AB 及及 vC。9-3 9-3 求平面图形内各点速度

18、的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法C1C2vAvBvC解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动30nOAOAvAm/s5 . 1点点C1为杆为杆AB的速度瞬心的速度瞬心m/s72. 21ABBBCv点点C2为杆为杆BC的速度瞬心的速度瞬心rad/s13. 52BCvBBCm/s72. 213. 553. 02BCCCCvrad/s16. 71ACvAABABBC9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：平面机构中平面机构中, 楔块楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘盘: r = 4cm , 与楔块间无滑动。求圆盘的与楔块间无滑动。求圆盘的 及轴及轴O的

19、速度和的速度和B点速度。点速度。9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法vAvOvBCA解：解：圆盘无滑动圆盘无滑动vvA点点C为圆盘的速度瞬心为圆盘的速度瞬心30cosrvACvArad/s3230cos412cm/s34OCvOcm72120cos222OBOCOBOCBCcm/s33.182143272BCvB9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：平面机构图示瞬时平面机构图示瞬时, O点在点在AB中点中点, =60,BCAB, 已已知知O、C在同一水平线上在同一水平线上, AB=20cm, vA=16cm/s ,

20、试求该瞬试求该瞬时时AB杆杆, BC杆的角速度及滑块杆的角速度及滑块C的速度。的速度。9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法C1C2vOvBvC解：解：点点C1为为AB杆的速度瞬心杆的速度瞬心3/20161ACvAABABBC38 . 03201ABBBCvrad/s38 . 0cm/s16点点C2为为BC杆的速度瞬心杆的速度瞬心rad/s336 . 1310162BCvBBCcm/s16336 . 13102BCCCCv9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：导槽滑块机构，曲柄导槽滑块机构，曲柄OA= r, , 匀角速

21、度匀角速度 转动转动, , 连杆连杆AB的中点的中点C处连接一滑块处连接一滑块C可沿导槽可沿导槽O1D滑动滑动, , AB=l，图，图示瞬时示瞬时O，A，O1三点在同一水平线上，三点在同一水平线上，AO1C= =30。OAAB，求：该瞬时求：该瞬时O1D的角速度。的角速度。9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动vAvBrOAvA因为因为vA平行平行vB，杆，杆AB瞬时平动瞬时平动rvvvCBA取杆取杆AB上点上点C为动点，动系固为动点，动系固连于杆连于杆O1D上。上。CvrvaveO1Drvv23cosaelrCOvDO231

22、e19-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法例：例：已知：已知：OA=0.1m，BD=0.1m，DE=0.1m，EF=0.1 m；曲柄曲柄OA的角速度的角速度=4rad/s。在图示位置时，曲柄。在图示位置时，曲柄OA与水与水平线平线OB垂直；且垂直；且B, D和和F在同一铅直线上在同一铅直线上, 又又DE垂直于垂直于EF。求杆求杆EF的角速度和点的角速度和点F的速度。的速度。39-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法m/s462. 011FCECvvEFrad/s333. 11ECvEEF解：解：杆杆OA绕绕O轴转动轴转动vAvB

23、vCvEvFC1m/s4 . 0OAvA杆杆AB作瞬时平动作瞬时平动m/s4 . 0ABvv点点D为杆为杆BC的速度瞬心的速度瞬心m/s4DCDCBDvvBC三角块绕三角块绕D轴转动轴转动m/s4 . 0DEDCvvCE点点C1为杆为杆EF的速度瞬心的速度瞬心EF9-3 9-3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 atBAaAaBaABAanBAaBA平面图形的平面运动可分解为两个运动：平面图形的平面运动可分解为两个运动：1.牵连运动牵连运动，即随基点即随基点A的平动；的平动；2.相对运动相对

24、运动，即绕基点，即绕基点A的转动。的转动。已知：已知：aA ，, ,求求 aB。 于是，平面图形上点于是，平面图形上点B的运动是两个运动的合成，因的运动是两个运动的合成，因此可用加速度合成定理求它的加速度。（此可用加速度合成定理求它的加速度。（基点法基点法）取点取点A为基点。为基点。牵连运动：牵连运动：相对运动：相对运动：点点B的绝对加速度：的绝对加速度：tnrBABABAaaaaAaa etnBABAABaaaaatBAaAaBaABAanBAaBA点点B的绝对加速度：的绝对加速度：tnBABAABaaaa平面图形内任一点的加速度等于基点平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕

25、基点转动的的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。切向加速度和法向加速度的矢量和。 ABaBAt2n ABaBAatBA为点为点B绕基点绕基点A转动的切向加速度，方向与转动的切向加速度，方向与AB垂直，垂直，大小为大小为anBA为点为点B绕基点绕基点A转动的法向加速度，指向基点转动的法向加速度，指向基点A，大，大小为小为9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 例：例：在椭圆规机构中，曲柄在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度以匀角速度绕绕O轴转动，轴转动，OD=AD=BD=l。求当。求当= =60时，时，AB的角加速度和点的角加速度

26、和点A的加的加速度。速度。9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 aDaDatADanADaAC解：解：杆杆OD绕绕O匀速转动匀速转动2laD取点取点D为基点，求点为基点，求点A的加速度的加速度tnADADDAaaaa其中其中ADaABAD2n(1)将将(1)式分别在式分别在和和轴上投影轴上投影n)2cos(cosADDAaaasincossin0ntADADDaaa2nlaADvAvDABDCODDCvDAB9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 0cossin)(cossinsin22ntllaaaADDA

27、D0tADaADABn)2cos(cosADDAaaasincossin0ntADADDaaa222n60cos60coscos)2cos(lllaaaADDA9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 例：例：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心，中心O的速度为的速度为 vo, 加速度加速度ao，设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速，设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。度瞬心的加速度。vOaOOC9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 vOaOOC解：解：只滚不

28、滑时，车轮的角速度只滚不滑时，车轮的角速度RvO车轮的角加速度为车轮的角加速度为t dd取点取点O为基点，求点为基点，求点C的加速度的加速度tnCOCOOCaaaa atCOanCOaO其中其中OCOaRatRvRaOCO22n由于由于 与与 的大小相等，方向相反，于是有的大小相等，方向相反，于是有nCOCaa OatCOa)(ddRvtOtvROdd1RaO9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 例：例：曲柄曲柄OA=15cm，以，以n=60rpm转动，滚轮只滚不滑，半转动，滚轮只滚不滑，半径径R=15cm。求：。求：= =60时时( (OAAB)

29、)，滚轮的角速度和角，滚轮的角速度和角加速度。加速度。9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 vAvBC解：解：杆杆OA绕绕O转动转动306015 OAvAcm/s30点点C为杆为杆AB的速度瞬心的速度瞬心ABC1轮rad/s324530ACvAAB32330ABBBCvcm/s320点点C1为轮的速度瞬心为轮的速度瞬心rad/s26. 715320RvB轮9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 aAaA 轮aBatBAanBA取点取点A为基点，则点为基点，则点B的加速度的加速度tnBABAABaaaa（1）其

30、中其中222cm/s60 OAaA22n)32(315ABBAABa22cm/s320将将( (1) )式式在在AB上投影，得上投影，得n30cosBABaa22cm/s340Ba22rad/s77. 898RaB轮9-4 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 例：例：杆杆AB以不变的速度以不变的速度v沿水平方向运动，套筒沿水平方向运动，套筒B与杆与杆AB的的端点铰接，并套在绕端点铰接，并套在绕O轴转动的杆轴转动的杆OC上上, ,可沿该杆滑动。已可沿该杆滑动。已知知AB和和OE两平行线间的距离为两平行线间的距离为b。求在图示位置。求在图示位置( (=60，=30，OD=BD)时，杆时，杆OC的角速度和角加速度、滑块的角速度和角加速度、滑块E的的速度和加速度。速度和加速度。解：速度分析解：速度分析vevDDEvavrvEC取杆取杆AB上的点上的点B为动点，为动点，动系固连于杆动系固连于杆OC上。上。OCvvv2360sinaevvv2160cosarbvOBvOC43e点点C为杆为杆DE