不定积分的概念与性质实用教案

1、一、不定积分(b dn j fn)的概念（一）原函数概念（二）不定积分(b dn j fn)概念（三）不定积分(b dn j fn)几何意义第1页/共12页第一页，共13页。定义(dngy)u例(sin )cosxx sin x是cosx的一个原函数()xx 323x3是x23的一个原函数问题(wnt)1. 在什么(shn me)条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 是否唯一 ?3. 若原函数不唯一,其结构如何?如果在区间I上，可导函数(x)的导函数为f(x),xI 那么函数F(x)就称为f (x)(或f(x)dx)在区间I上的( )( )F xf x 都有d ( )( )d

2、 ,F xf xx 或一个原函数即对任一（一）原函数概念第2页/共12页第二页，共13页。存在(cnzi)性唯一性结构(jigu)f (x)的原函数若函数(hnsh)f(x)在区间I上存在原函数(hnsh)，则原函数(hnsh)不唯一( ( )( )F xf x ( ( )( )F xCf x F(x)+CF(x)的一个原函数任意常数设)(x 是f (x)的另一个原函数,则CxFx )()(定理 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI ( )( )F xf x 都有（一）原函数概念第3页/共12页第三页，共13页。存在(cnzi)性唯一性结构(jigu

3、)f (x)的原函数若函数f(x)在区间(q jin)I上存在原函数，则原函数不唯一( ( )( )F xf x ( ( )( )F xCf x F(x)+C定理 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI ( )( )F xf x 都有（一）原函数概念第4页/共12页第四页，共13页。l f (x)在区间(q jin)I上的原函数全体( )df xx 其中(qzhng)： 积分(jfn)号;)(xf 被积函数;xxfd )( 被积表达式.x 积分变量;若, )()(xfxF则CxFxxf)(d)( C 为任意常数)u例xexdCexxxdsinCx co

4、s定义l 在区间 I 上, f (x)的带有任意常数项的原函数记号表示f (x) (或f (x)dx)在区间I上的不定积分l注在不定积分的表达式中,千万不要漏掉任意常数C!（二）不定积分概念第5页/共12页第五页，共13页。f(x)的原函数的图形(txng)称为f(x)的积分曲线xxfd)(的图形f(x)的所有积分曲线组成(z chn)的平行曲线族yxo0 x（三）不定积分几何(j h)意义第6页/共12页第六页，共13页。 dd xxxfd )()(xfdxxfd )(xxfd)(或d xC)(xF)(xF或Cd)(xF)(xF性质(xngzh)1性质(xngzh)2性质(xngzh)3(

5、)dk f xx ( )( )df xg xx xxfkd)(xxgxxfd)(d )()0( k性质4互逆性质线性性质二、不定积分的性质第7页/共12页第七页，共13页。基本(jbn)积分表xkd) 1 ( k 为常数(chngsh)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln) 1(21d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sin或Cxcotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cos三、直接(zhji)积分法举例第8页/共12页第八页，共13页。xx2cosd)8(xxdsec2Cx tanxx2sind)9(xxd

6、csc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(CaaxlnCx chxxdsh)14(xxdch)15(Cx sh三、直接(zhji)积分法举例第9页/共12页第九页，共13页。求.d3xxx直接(zhji)积分法利用基本(jbn)积分表与积分的性质直接计算函数的不定积分u例1u例2求xexxd2 u例3求xxxd)1(23 u例4求xxdtan2 u例5求xxd2sin2 u例6求xxxd2cos2sin122 u例7求xxxd124 三、直接(zhji)积分法举例第10页/共12页第十页，共13页。 小结(xioji)一、不定积分的概念（原函数、不定积分的定义及几何意义）二、不定积分的性质(xngzh)（互逆性质(xngzh)、线性性质(xngzh)）三、直接积分法第11页/共12页第十一页，共13页。谢谢(xi xie)大家观赏！第12页/共12页第十二页，共13页。NoImage内容(nirng)总结一、不定积分的概念。1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在(cnzi)。2. 若原函数存在(cnzi), 是否唯一。如果在区间I上，可导函数(x)的导函数为f(x),。那么函数F(x)就称为f (x)(或f(x)dx)在区间I上的。若函数f(x)在区间I上存在