第三章(1)- 转动动能

1、第三章第三章刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体刚体：就是有一定的形状和大小就是有一定的形状和大小，但形状和大小（，但形状和大小（被看成被看成）都）都 不发生变化的物体不发生变化的物体刚体是一种理想模型刚体是一种理想模型.-物体内任意两点的距离不变物体内任意两点的距离不变s刚体可以看成是由许多质点构成，每一个质点称为刚体刚体可以看成是由许多质点构成，每一个质点称为刚体的一个的一个质元质元. .刚体是一个刚体是一个特殊的质点组特殊的质点组，其，其特殊性特殊性在于在于在外力作用下各质元之间的在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变相对位置保持不变。 F刚体的一般运动刚体的一般运动 = = 平动平动 +

2、 + 转动转动3-1 刚体刚体定轴转动定轴转动的动能定理和转动定律的动能定理和转动定律3-2 定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律一、描述刚体定轴转动的一、描述刚体定轴转动的运动学运动学方法方法二、刚体定轴转动的二、刚体定轴转动的动能定理动能定理三、刚体定轴转动的三、刚体定轴转动的转动定律转动定律定轴转动定轴转动: 相对于某一惯相对于某一惯性参照系性参照系（例如地面例如地面）固定不动的直线的转固定不动的直线的转动称之为刚体的动称之为刚体的定轴定轴转动转动. . 垂直于固定轴的垂直于固定轴的平面称之为平面称之为转动平面转动平面. . 固定轴固定轴转动平面转动平

3、面ivim ir质元质元 一、描述刚体定轴转动的运动学方法一、描述刚体定轴转动的运动学方法问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有力的作用点的位置对物体的运动有影响吗影响吗？力矩力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响. .圆盘静止不动圆盘静止不动圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动FFFF补充：矢量的矢积（叉积、外积）补

4、充：矢量的矢积（叉积、外积）大小：平行四边形面积大小：平行四边形面积) 0(sin ABBACABCCBA二、刚体定轴转动的动能定理二、刚体定轴转动的动能定理ABCBABAAB ABCAB刚体绕刚体绕Oz轴旋转轴旋转, ,力力 作用在刚体上点作用在刚体上点P, ,且在转动平面内且在转动平面内, , 由点由点O 到力的作用点到力的作用点P的径矢为的径矢为 FrzOPFrsinMFr: : 力臂力臂ddM对转轴对转轴z的力矩的力矩 FMrFFd大小大小1 力矩力矩2 力矩的功力矩的功zPrdrFddWF drcosFdsdWMd力矩的功力矩的功F力力 对质元对质元P所做的元功：所做的元功：F21d

5、WMoyxrdPdrFsinMFr又又cossindsrdsindWFrd 3 转动动能转动动能动能：动能：F在刚体上取一质元在刚体上取一质元 ：ip212kiiiEmv2212i imrF对刚体上所有质元的动能求和：对刚体上所有质元的动能求和：2212ki iEmr2212i iimr2i iiJmr- - 对对转转轴的轴的转动惯量转动惯量则刚体的转动动能则刚体的转动动能212kEJirimiv4 转动动能定理转动动能定理F基本方法：基本方法：质点组动能定理质点组动能定理刚体特性刚体特性刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理int21extkkWWEE质点间无相对位移质点间无相对位移i

6、nt0W21extkkWEEF刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：2122211122MdJJ合外力矩合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量F 对质量连续分布的刚体：对质量连续分布的刚体：2i iiJmrF 影响转动惯量的三个要素影响转动惯量的三个要素: :(1)(1)总质量总质量 (2)(2)转轴的位置转轴的位置 (3)(3)质量分布质量分布 2r dm5 转动惯量的计算转动惯量的计算F 对分立的质点组：对分立的质点组：2i iiJmrxOLAB(1) (1) J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和

7、细铁棒绕端点轴的转动惯量例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量2220013LLmJx dmxdxmLL木铁JJ(2) (2) J与转轴的位置有关与转轴的位置有关dxdmx213JmL2112JmLmLABAB2L2LmloR(3) (3) J与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量2222mmrrdrldrR lR20mJR dm2mRdmdV232020122mRmJr dmr drRmRrdr20mRdmOmRdmJ = mR2+m1R2思考思考1. . 环上加一质量为环上

8、加一质量为m1的质点的质点, , J=? 思考思考2. . 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口，J=?222mJmRxRR xROOmRm1mg一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀的均匀细棒细棒, , 棒的一端可绕通过棒的一端可绕通过O点点并垂直于纸面的轴转动并垂直于纸面的轴转动, , 棒的棒的另一端有质量为另一端有质量为m 的小球。的小球。开始时，棒静止地处于水平位开始时，棒静止地处于水平位置置A。当棒转过。当棒转过 角到达位角到达位置置B，棒的角速度为多少，棒的角速度为多少? ?取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统, , 在棒转动过程中机械能守在棒转动过程中机械能守恒

9、恒, , 设设A位置为重力势能零点位置为重力势能零点. .oAB例例解解: :,m lmmg1sin2lkApAkBpBEEEE0kAPAEEkApAkBpBEEEE212kBEJ12JJJ2221433Jmlmlml(sinsin )2pBlEmgmgl 3sin2mgl 22230sin32mlmgl1 23sin()2glmgoAB,m lmmg1sin2l作业：在作业：在1985年初，实验设备公司（年初，实验设备公司（)做了一个质量做了一个质量M=272Kg和半径和半径R=38cm的实心钢转子（一圆盘）的实心钢转子（一圆盘）样品的旋转实验。当样品达到样品的旋转实验。当样品达到14000rev/min的角速率时：的角速率时： 实验工程师们听到从安置在低一层楼并隔开一个房间的实验系实验工程师们听到从安置在低一层楼并隔开一个房间的实验系统发出一声重击的闷响。经过检查，他们发现铅砖已被