杨辉三角与二项式系数的性质20101103

1、制制 作作 胡胡 海海 权权011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角杨辉三角观察观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？为特殊值时，二项式系数有什么特点？45453510C (a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明

2、显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？）上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? ?每行两端都是每行两端都是1 C1 Cn n0 0= C= Cn nn n=1=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1 1以外的每一个数都等于它肩以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+mnmnmnCCC11 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是

3、以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n（1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两的两个二项式系数相等个二项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴图象的对称轴：2nr （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnnknkkkk由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn2

4、1nk 可知，当可知，当 时，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1abn

5、nnnnn2CCCC210这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于：()nabn2 （1 1） 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下基本性质：有如下基本性质：nba)( nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2）mnmnmnCCC11（4 4）nnnnnCCC210 （3 3）当当n n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）（对称性）第第0 0行行1第第1 1行行 1 1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3 3 1第第4 4行

6、行 1 4 6 1第第5 5行行 1 5 1第第6 6行行 1 6 15 6 1第第n-1n-1行行 111 nC121 nC11 rnCrnC1 21 nnC 第第n n行行 11nC12nCrnC1 nnC 第第7 7行行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜线和斜线和”=1rnC2nC3nC4nC rnrrrCCC1r2r1rC 125第第5 5行行 1 5 10 10 5 1第第6 6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7 7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1 1行行 1 1第第0 0行行1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3

7、 3 1第第4 4行行 1 4 6 4 1138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8 8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1斐波那契数列斐波那契数列斐波那契斐波那契 （11701170 12501250） 意大利商人兼意大利商人兼数学数学家家, ,他他的的著作算著作算盘书盘书中中, ,首首先引入阿拉伯先引入阿拉伯数字，数字，将将“十十进制进制”介介绍给欧洲绍给欧洲人人认识认识，对欧洲的对欧洲的数学数学发展发展有深有深远的影远的影响。响。例例1 证明：在证明：在(a+b)(a+b)n n展开式中，奇数项的二项式系数展

8、开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC已知已知求求:(1):(1) ； (2) (2) ； (3) (3) ; ; (4) (4)7270127(1 2 )xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa 73110932 1094 218741844454

9、1183413060.TTCxxx求第五项项系数最大的展开式中只有第已知练,101243nxx：为偶数依题意 n,18,1012nn且解题型题型: :求展开求展开式中的特定项式中的特定项例例2.2.试判断在试判断在 的展开式中有无常数项？的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由. .8312xx 解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则： 8824 43188311122rrrrrrrrxTCCxx 由题意可知，由题意可知，244063rr 故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项

10、 8 6660781172TCx 常数项即常数项即 x0项项练习：练习： Tk 1kkkxxc)()(31122112xckk656120k12, kZ0k12, kZ当当k=0k=0、6 6时，时，x x的幂为正整数的幂为正整数含含x x的正整数次幂的项共有的正整数次幂的项共有2 2项项的展开式中，含的展开式中，含x x的正整数次幂的项的正整数次幂的项 共有多少项？共有多少项？123)1(xx 例例4:4:求求(x+2)(x+2)1010 （x x2 2-1-1）展开式中含）展开式中含 x x 10 10 项的系数项的系数为为. . 179变式：求变式：求(1+x+x(1+x+x2 2)(1

11、-x)(1-x)1010展开式中含展开式中含x x项的系数项的系数. .求两个求两个( (多个多个) )二项式乘积的展开式的特定项方法：二项式乘积的展开式的特定项方法：（1 1）先化简，化成一个二项式的展开式）先化简，化成一个二项式的展开式; ;（2 2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数, ,利用找利用找伙伴伙伴的方式解决的方式解决. .例例3 3：求：求 展开式中的常数项展开式中的常数项. .1010 x11x1）（）（项的展开式中系数最大的求例10215x：类型：求展开式中系数最大的项类型：求展开式中系数最大的项方法方法: :利用通项公式建立不等式组利用通项公式建立不等式组在在(3x - -2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式系数最大的项二项式系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项. .解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项. .则则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC812812892032TCx y 即即 3(r+1)2(20-r) 3(r+1)2(20-