2025年北京市西城区高考数学二模试卷

第54页（共54页）2025年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）（2025•西城区二模）已知集合A＝{x|x2+2x＝0}，集合B＝{x|x+1＞0}，那么（）A．A∩B＝∅ B．A⊆B C．B⊆A D．（∁RA）∩B≠∅2．（4分）（2025•西城区二模）设i为虚数单位，则在复平面内，复数3-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）（2025•西城区二模）设a＝lg2，b＝lg3，则lg15＝（）A．（1﹣a）b B．1﹣a+b C．（1+a）b D．1+a﹣b4．（4分）（2025•西城区二模）若（x2+1）4＝a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（）A．0 B．1 C．4 D．85．（4分）（2025•西城区二模）设圆x2+y2+4x﹣6y+5＝0的圆心为M，直线y＝﹣x+t与该圆相交于两点A，B．若MA→⋅MBA．1 B．3或1 C．3 D．3或﹣16．（4分）（2025•西城区二模）设F（c，0）为双曲线E：x2a2-y2b2=1(A．23 B．53 C．32 7．（4分）（2025•西城区二模）设平面向量a→与b→不共线，k，s∈R，则“a→+kb→与sa→+2b→A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）（2025•西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm9．（4分）（2025•西城区二模）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等．记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）A．32 B．22+π C．610．（4分）（2025•西城区二模）已知函数f(x)=4x-4a，x≤1，x2-2A．[﹣4，4] B．[﹣4，2] C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（2025•西城区二模）函数f(x)=x+1+12．（5分）（2025•西城区二模）一个金属模具的形状、大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分．那么该模具的体积为．13．（5分）（2025•西城区二模）设函数f(x)=2sin(2x+2π3)，则使得函数f14．（5分）（2025•西城区二模）在数列{an}中，a1＝4，a5＝﹣3，且任意连续三项的和均为7，则a2025＝；记数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn≤100成立的最大整数n＝．15．（5分）（2025•西城区二模）数学中有许多形状优美、应用广泛的曲线．双纽线C：（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2）就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点A（﹣a，0）和B（a，0）（a＞0）的距离之积为常数a2的点的轨迹．设P（x0，y0）（y0≠0）为C上一点，给出下列四个结论：①|x0|≤2a②|y0|≤a③若点P在第一象限，则|OP|＜2④△PAB的周长可以等于5a．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）（2025•西城区二模）已知△ABC中，3sinA（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）设D为AB的中点，且sin∠ADC=217，AC＝17．（14分）（2025•西城区二模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，平面DAB⊥平面ABC，AB⊥AC，E，F分别为DA，DC的中点．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面DAB；（Ⅱ）设AB＝AC＝2，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面BEF与平面ABC夹角的余弦值．条件①：AD＝2；条件②：BD＝BC；条件③：AB⊥CD．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）（2025•西城区二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段．为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号13号14号15号搜索量6.25.16.17.26.17.46.26.36.46.37.16.37.37.67.9时间16号17号18号19号20号21号22号23号24号25号26号27号28号29号30号搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48.211.512.112.813.6用频率估计概率．（Ⅰ）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；（Ⅱ）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的．在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；（Ⅲ）记表中30天的搜索量的平均数为x1，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为x2，试给出x1与x2的大小关系．（结论不要求证明）19．（15分）（2025•西城区二模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率；（Ⅱ）设过点G（0，s）（s＞0）且斜率不为0的直线交椭圆E于C，D两点，直线BC，BD与直线y＝t的交点分别为P，Q，线段CD，PQ的中点分别为M，N．若直线MN经过坐标原点，求s+t的取值范围．20．（15分）（2025•西城区二模）已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex﹣lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，2），求a的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值．21．（15分）（2025•西城区二模）已知N（N≥3）项数列A：a1，a2，…，aN，对于给定i（i＝1，2，…，N），定义变换fi：将数列A中的项ai替换为t，其余项均保持不变，记得到的新数列为fi（A）．其中，当i＝1时，t=a1+a22；当2≤i≤N﹣1时，t=ai若将数列fi（A）再进行上述变换fj（j＝1，2，…，N），记得到的新数列为fjfi（A），…，重复操作，得到数列fk…fjfi（A）（k＝1，2，…，N），并称fi为第一次f变换，fj为第二次f变换，…．（Ⅰ）若数列A：1，﹣1，3，﹣4，求数列f2（A）和f1f2f2（A）；（Ⅱ）设A为递增数列，对A进行有限次f变换后得到数列B．证明：B为递增数列；（Ⅲ）当第m（m∈N*）次f变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令ωm＝1；否则ωm＝0．对于给定的N项数列A，进行2025次f变换，证明：ω1+ω2+…+ω2025≤N﹣1．

2025年北京市西城区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DDBADBCADB一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）（2025•西城区二模）已知集合A＝{x|x2+2x＝0}，集合B＝{x|x+1＞0}，那么（）A．A∩B＝∅ B．A⊆B C．B⊆A D．（∁RA）∩B≠∅【考点】集合的交并补混合运算．【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．【答案】D【分析】先求出集合A，B，然后结合集合的基本关系检验各选项即可判断．【解答】解：集合A＝{x|x2+2x＝0}＝{0，﹣2}，集合B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，所以A∩B＝{0}，A错误；A⊈B，B⊈A，选项BC错误；∁RA＝{x|x≠0且x≠﹣2}，（∁RA）∩B＝{x|x＞﹣1且x≠0}，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了集合运算及集合基本关系的判断，属于基础题．2．（4分）（2025•西城区二模）设i为虚数单位，则在复平面内，复数3-iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用除法运算化简复数，再根据复数的几何意义求解．【解答】解：3-i1+i=(3-i)(1-i)故选：D．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．3．（4分）（2025•西城区二模）设a＝lg2，b＝lg3，则lg15＝（）A．（1﹣a）b B．1﹣a+b C．（1+a）b D．1+a﹣b【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据对数的运算法则进行求解．【解答】解：由已知，lg15＝lg3+lg5＝lg3+1﹣lg2＝b+1﹣a．故选：B．【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题．4．（4分）（2025•西城区二模）若（x2+1）4＝a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（）A．0 B．1 C．4 D．8【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．【答案】A【分析】由二项式定理的应用，结合赋值法求解即可．【解答】解：用t替换x2，则(t令t＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝0．故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属基础题．5．（4分）（2025•西城区二模）设圆x2+y2+4x﹣6y+5＝0的圆心为M，直线y＝﹣x+t与该圆相交于两点A，B．若MA→⋅MBA．1 B．3或1 C．3 D．3或﹣1【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】联立直线圆的方程，结合向量数量积的坐标表示，列出等式求解即可．【解答】解：设A（x1，﹣x1+t），B（x2，﹣x2+t），联立方程组y=-化简得：2x2+（10﹣2t）x+t2﹣6t+5＝0，则Δ＝（10﹣2t）2﹣8（t2﹣6t+5）＞0，即﹣3＜t＜5，所以x1+x2＝t﹣5，x1又M（﹣2，3），则MA→=(所以MA→⋅MB→=（x1+2，﹣x1+t﹣3）•（x2+2，﹣x2+t﹣3）＝（x1+2）（x2+2）+（﹣x1+t﹣3）（﹣x2＝（5﹣t）（x1+x2）+2x1x2+（t﹣3）2+4＝﹣（5﹣t）2+t2﹣6t+5+（t﹣3）2+4＝﹣4，化简得：t2﹣2t﹣3＝0，解得：t＝3或t＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了平面向量与圆的方程的综合应用，属于中档题．6．（4分）（2025•西城区二模）设F（c，0）为双曲线E：x2a2-y2b2=1(A．23 B．53 C．32 【考点】求双曲线的离心率．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】由题意，根据等差数列的性质以及双曲线的定义求解即可．【解答】解：因为a，b，c成等差数列，所以（2b）2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝a2+2ac+c2，整理得3c2﹣2ac﹣5a2＝0，即3e2﹣2e﹣5＝0，整理得（e+1）（3e﹣5）＝0，解得e＝﹣1（舍去）或e=5故选：B．【点评】本题考查求双曲线的离心率，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．7．（4分）（2025•西城区二模）设平面向量a→与b→不共线，k，s∈R，则“a→+kb→与sa→+2b→A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；充分不必要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维．【答案】C【分析】根据向量平行的充要条件进行分析．【解答】解：平面向量a→与b→不共线，所以a→+kb→与根据向量共线定理，“a→+kb→与sa→+2b→共线”⇔使得a→+kb→=λ（sa→+2b→）⇔1=λsk=2λ⇔则“a→+kb→与sa→+2b→共线”故选：C．【点评】本题主要考查平行向量、充分必要条件的判断，属于中档题．8．（4分）（2025•西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm【考点】实际推断原理和假设检验；归纳推理．【专题】对应思想；归纳法；推理和证明；逻辑思维．【答案】A【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果．【解答】解：A4纸的宽为210mm，设其长为xmm，若两张A4纸的宽拼在一起，则A3纸的宽为210mm，长为2xmm，且210x若两张A4纸的长拼在一起，即A3纸的宽为xmm，长为420mm，A2纸的宽为420mm，长为2xmm，A1纸的宽为2xmm，长为840mm，由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，可得210x=x420，解得x≈297，则所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm．故选：A．【点评】本题考查利用归纳推理求解实际问题，属中档题．9．（4分）（2025•西城区二模）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线AA1的距离与它到平面ABCD的距离相等．记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）A．32 B．22+π C．6【考点】轨迹方程．【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，得点P的坐标满足（x﹣2）2+y2＝z2，由题意分六种情况讨论即可求解．【解答】解：因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，所以建系如图：显然点P到平面ABCD的距离为|z|，设点P（x，y，z），在AA1上取一点A2（2，0，z），又A（2，0，0），A1（2，0，2），所以A2P→所以A2所以点P到直线AA1的距离为|A所以（x﹣2）2+y2＝z2，①令z＝0，得x＝2，y＝0，此时点P的轨迹就是一个点，此时点P的轨迹长度是0；②令z＝2，得（x﹣2）2+y2＝4，x，y∈[0，2]，此时点P在以A1为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点P的轨迹长度是14③令x＝0，得4+y2＝z2，z，y∈[0，2]，即y＝0，z＝2，此时点P的轨迹长度是0；④令x＝2，得y2＝z2，z，y∈[0，2]，即y＝z，z，y∈[0，2]，此时点P在线段AB1上运动，轨迹长度是22⑤令y＝0，（x﹣2）2＝z2，z，x∈[0，2]，即2﹣x＝z，z，x∈[0，2]，此时点P在线段AD1上运动，轨迹长度为22⑥令y＝2得，（x﹣2）2+4＝z2，z，x∈[0，2]，即x＝2，z＝2，此时点P的轨迹长度是0，综上所述，所求为42故选：D．【点评】本题考查动点轨迹问题，立体几何的综合应用，属中档题．10．（4分）（2025•西城区二模）已知函数f(x)=4x-4a，x≤1，x2-2A．[﹣4，4] B．[﹣4，2] C．（﹣∞，4） D．（﹣∞，2]【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据题意，结合分段函数f（x）的解析式，对x＞1时、x≤﹣1时以及﹣1＜x≤1时f（x+2）＞f（x）恒成立时a的范围进行求解，再取交集，可得a的取值范围．【解答】解：由已知，对于任意的x∈R，都有f（x+2）＞f（x），①当x＞1时，f（x+2）＝（x+2）2﹣2a（x+2）+3，f（x）＝x2﹣2ax+3，不等式化为（x+2）2﹣2a（x+2）+3＞x2﹣2ax+3，整理得4x+4﹣4a＞0，即4x+4﹣4a＞0在x＞1时恒成立，所以8﹣4a≥0，解得a≤2；②当x≤﹣1时，f（x+2）＝4（x+2）﹣4a，f（x）＝4x﹣4a，则无论a取何值，此时恒有f（x+2）＞f（x）；③当﹣1＜x≤1时，1＜x+2，所以f（x+2）＝（x+2）2﹣2a（x+2）+3，f（x）＝4x﹣4a，不等式化为（x+2）2﹣2a（x+2）+3＞4x﹣4a，整理得x2﹣2ax+7＞0，若a≥1，则y＝x2﹣2ax+7在x∈（﹣1，1]上递减，故8﹣2a＞0，解得1≤a＜4，若﹣1＜a＜1，则y＝x2﹣2ax+7在x∈（﹣1，a]上递减，（a，1]上递增，故7﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜1，若a≤﹣1，则y＝x2﹣2ax+7在x∈（﹣1，1]上递增，故8+2a≥0，解得﹣4≤a≤﹣1，所以当﹣1＜x≤1时，解得﹣4≤a＜4；综上，a的取值范围为[﹣4，2]．故选：B．【点评】本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（2025•西城区二模）函数f(x)=x+1+3x2的定义域为{x|x【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】{x|x≥﹣1且x≠0}．【分析】列出使函数有意义的不等式组，即可求解．【解答】解：函数f(则x+1≥0x2≠0，解得x≥﹣1故函数f（x）的定义域为{x|x≥﹣1且x≠0}．故答案为：{x|x≥﹣1且x≠0}．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．12．（5分）（2025•西城区二模）一个金属模具的形状、大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分．那么该模具的体积为8π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．【答案】8π．【分析】该模具的体积为V＝V圆柱﹣V圆锥，由此求解即可．【解答】解：根据题意知，该模具的体积为V＝V圆柱﹣V圆锥＝π×22×3-13π×22×3＝8故答案为：8π．【点评】本题考查了空间几何体的体积计算问题，是基础题．13．（5分）（2025•西城区二模）设函数f(x)=2sin(2x+2π3)，则使得函数f(x【考点】正弦函数的图象．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】-π4（答案【分析】由已知结合正弦函数取得最值的条件即可求解．【解答】解：因为f(则f（x+φ）＝2sin（2x+2φ+由2x+2φ+2π3=π2+2kπ，k∈Z，则x=-π因为|φ|＜π当φ=-π4时，x=π6时，函数在（则满足题意的一个φ为-π4（答案故答案为：-π4（答案【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．14．（5分）（2025•西城区二模）在数列{an}中，a1＝4，a5＝﹣3，且任意连续三项的和均为7，则a2025＝6；记数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn≤100成立的最大整数n＝44．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．【答案】6；44．【分析】由题意推得数列{an}的最小正周期为3，且一个周期的和为4﹣3+6＝7，即可得到a2025；考虑数列{an}前42项和，前43，44，45项和，可得结论．【解答】解：在数列{an}中，a1＝4，a5＝﹣3，且任意连续三项的和均为7，可得a1+a2+a3＝7，a2+a3＝3，a2+a3+a4＝7，a3+a4+a5＝7，解得a4＝4，a3＝6，a2＝﹣3，即有数列{an}的最小正周期为3，且一个周期的和为7，而a2025＝a3×675＝a3＝6；数列{an}的前n项和为Sn，可得前42项和和为7×14＝98，由98+4＝102＞100，98+4﹣3＝99＜100，98+4﹣3+6＝105＞100，可得使得Sn≤100成立的最大整数n为44．故答案为：6；44．【点评】本题考查数列的周期性和数列的求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15．（5分）（2025•西城区二模）数学中有许多形状优美、应用广泛的曲线．双纽线C：（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2）就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点A（﹣a，0）和B（a，0）（a＞0）的距离之积为常数a2的点的轨迹．设P（x0，y0）（y0≠0）为C上一点，给出下列四个结论：①|x0|≤2a②|y0|≤a③若点P在第一象限，则|OP|＜2④△PAB的周长可以等于5a．其中，所有正确结论的序号是①②③．【考点】曲线与方程．【专题】计算题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】①②③．【分析】令y＝0，求得x=±2a可判定①正确；设∠APB＝θ，12|PA||PB|sin∠APB=12|AB||y0|，结合|PA||PB|＝a2得到|y0|=a2sin∠APB可判定②正确；由2a2（x2﹣y2）＞0得到y02＜x0【解答】解：对于①中，由双纽线C：（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2）令y＝0，可得（x2）2＝2a2x2，解得x＝0或x=±2a，所以|对于②中，设∠APB＝θ，其中θ∈（0，π），且P（x0，y0），由12|PA||PB|sin∠APB=可得12a2sin∠APB=对于③中，若点P位于第一象限，要证|OP|＜2x由双纽线（x2+y2）2＝2a2（x2﹣y2）＞0，可得y02＜对于④中，设|PA|＝m，PB|＝n，则△PAB的周长为L＝m+n+2a，在△PAB中，由余弦定理得|AB|2＝|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|cos∠APB，即4a2＝m2+n2﹣2a2cos∠APB＝（m+n）2﹣2a2（1+cos∠APB），即（m+n）2＝6a2+2a2cos∠APB，所以（m+n）2∈（4a2，8a2），即m+n∈(2a，22故答案为：①②③．【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）（2025•西城区二模）已知△ABC中，3sinA（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）设D为AB的中点，且sin∠ADC=217，AC＝【考点】三角形中的几何计算．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（Ⅰ）π3（Ⅱ）33．【分析】（Ⅰ）由半角公式及辅助角公式可得sin（A-π6）=12，再由角（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得可得CD的大小，再由余弦定理可得AD的值，进而可得AB的大小，代入三角形的面积公式，可得△ABC的面积的大小．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，3sinA即3sinA+1﹣cosA＝2，整理可得sin（A-π6）在△ABC中，A∈（0，π），可得A-π可得A=π（Ⅱ）因为D为AB的中点，且sin∠ADC=217在△ADC中，由正弦定理可得：ACsin即2217=CD再由余弦定理可得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•ACcosA，即7＝AD2+4﹣2×AD×2×1整理可得AD2﹣2AD﹣3＝0，解得AD＝3（负值已舍），所以AB＝2AD＝6，所以S△ABC=12AB×AC×sinA=12×【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，半角公式的应用，属于中档题．17．（14分）（2025•西城区二模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，平面DAB⊥平面ABC，AB⊥AC，E，F分别为DA，DC的中点．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面DAB；（Ⅱ）设AB＝AC＝2，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面BEF与平面ABC夹角的余弦值．条件①：AD＝2；条件②：BD＝BC；条件③：AB⊥CD．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面与平面垂直．【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）25【分析】（Ⅰ）利用面面垂直得出EF⊥平面DAB，进而得证结论；（Ⅱ）根据选择的条件先证明AC，AD，AB两两垂直，建系，利用法向量可求答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AC⊥AB，平面DAB⊥平面ABC，平面DAB∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面DAB，由E，F分别为DA，DC中点，得EF∥AC，所以EF⊥平面DAB，又因为EF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面DAB．（Ⅱ）选择条件①②：因为AD＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，BD＝BC，所以BD=22，则AB2+AD2＝BD所以AB⊥AD，由AC⊥平面DAB，得AC⊥AD，故AC，AD，AB两两垂直，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），EF→=(0，1，0)，BE→设平面BEF的法向量为m→则m→⋅令x＝1，则z＝2，于是m→=（1，0，易知平面ABC的一个法向量n→设平面BEF与平面ABC夹角为θ，则cosθ=|所以平面BEF与平面ABC夹角的余弦值为25选择条件①③；由AC⊥平面DAB，得AC⊥AD，因为AB⊥CD，AB⊥AC，AC∩CD＝C，所以AB⊥平面DAC，所以AB⊥AD，故AC，AD，AB两两垂直，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），EF→=(0，1，0)，BE→设平面BEF的法向量为m→则m→⋅令x＝1，则z＝2，于是m→=（1，0，易知平面ABC的一个法向量n→设平面BEF与平面ABC夹角为θ，则cosθ=|所以平面BEF与平面ABC夹角的余弦值为25选择条件②③；由AC⊥平面DAB，得AC⊥AD，因为AB⊥CD，AB⊥AC，AC∩CD＝C，所以AB⊥平面DAC，所以AB⊥AD，故AC，AD，AB两两垂直，又因为AB＝AC＝2，BD＝BC，所以BC2＝AB2+AC2＝8，AD=B如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），EF→=(0，1，0)，BE→设平面BEF的法向量为m→则m→⋅令x＝1，则z＝2，于是m→=（1，0，易知平面ABC的一个法向量n→设平面BEF与平面ABC夹角为θ，则cosθ=|所以平面BEF与平面ABC夹角的余弦值为25【点评】本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．18．（13分）（2025•西城区二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段．为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：时间1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号11号12号13号14号15号搜索量6.25.16.17.26.17.46.26.36.46.37.16.37.37.67.9时间16号17号18号19号20号21号22号23号24号25号26号27号28号29号30号搜索量8.511.210.39.19.610.110.610.98.810.48.211.512.112.813.6用频率估计概率．（Ⅰ）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；（Ⅱ）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的．在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；（Ⅲ）记表中30天的搜索量的平均数为x1，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为x2，试给出x1与x2的大小关系．（结论不要求证明）【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的均值（数学期望）；频率分布直方图的应用．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（Ⅰ）513；（Ⅱ）712；（Ⅲ）x1＞x【分析】（Ⅰ）找出2号至14号中该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的数据，再运用古典概型的概率计算即可；（Ⅱ）求出未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率，低于8万的概率，再求满足题意的概率的即可；（Ⅲ）分别计算x1，x2即可比较大小．【解答】解：（Ⅰ）记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”，根据数据知仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低，所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率P(（Ⅱ）记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”，根据数据知在未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为1030且低于8万的概率可估计为1530所以P(所以在未来的日子里任取3天，估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为712（Ⅲ）x1最大的三个数为：13.6，12.8，12.1，最小的三个数为：5.1，6.1，6.1，这6个数之和为13.6+12.8+…+6.1＝55.8，故x2故x1＞x2．【点评】本题考查概率的求解，平均数的求解，属中档题．19．（15分）（2025•西城区二模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(（Ⅰ）求椭圆E的方程和离心率；（Ⅱ）设过点G（0，s）（s＞0）且斜率不为0的直线交椭圆E于C，D两点，直线BC，BD与直线y＝t的交点分别为P，Q，线段CD，PQ的中点分别为M，N．若直线MN经过坐标原点，求s+t的取值范围．【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程；求椭圆的离心率．【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）x28+（2）[4，+∞）．【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；（2）设出直线CD的方程，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到N的坐标为（﹣2kt，t），再由直线BC，BD的方程得到点P，Q的坐标，根据线段PQ的中点为N，得(t+2)x1y【解答】解：（1）因为直线x+2y+22=0与坐标轴交点为A(-2所以a=2又a2＝b2+c2，解得c＝2，所以椭圆E的方程为x28+y（2）易知直线CD的斜率存在，设直线CD的方程为y＝kx+s（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联立y=kx+sx28+y24=1，消去y并整理得（2k2+1）此时Δ＝16k2s2﹣4（2k2+1）（2s2﹣8）＞0，由韦达定理得x1+x所以xM=x因为直线MN过坐标原点，所以直线MN的方程为x+2ky＝0，令y＝t，解得x＝﹣2kt，即N（﹣2kt，t），当s≠2时，显然点C，D不在y轴上，此时直线BC的方程为y=y1+2x令y＝t，可得P((t因为线段PQ的中点为N，所以(t整理得(4k即k（s+2）（st﹣4）＝0，因为k≠0，s＞0，所以st＝4，当s＝2时，点C，D中有一个与点G重合，不妨设点D与点G重合，取O为BD中点，且O（0，t），在△BCD中，OM∥BC，所以直线BC的方程为y=-因为FQ的中点为N，所以﹣k（t+2）＝﹣2kt，解得t＝2，此时st＝4，则s+当且仅当s＝t＝2时，等号成立．综上所述，s+t的取值范围为[4，+∞）．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．20．（15分）（2025•西城区二模）已知函数f（x）＝a（x﹣1）ex﹣lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（2，2），求a的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）存在极小值；（Ⅲ）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程；利用导数求解函数的极值．【专题】函数思想；定义法；导数的综合应用；逻辑思维．【答案】（Ⅰ）a=（Ⅱ）证明见解答．（Ⅲ）0．【分析】（Ⅰ）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解；（Ⅱ）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到g(a)=【解答】解：（Ⅰ）求导，得f'(所以f（1）＝0，f'（1）＝ae﹣1，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（ae﹣1）（x﹣1），将点（2，2）代入切线方程，得a=（Ⅱ）证明：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'(设函数m（x）＝ax2ex﹣1，则m'（x）＝a（x2+2x）ex，由x＞0，得m′（x）＞0，所以函数m（x）在（0，+∞）上单调递增，因为m（0）＝﹣1＜0，m(所以存在唯一的x0∈(0，1a)，使得m（x0）＝0，即f'当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：x（0，x0）x0（x0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↓极小值↑所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故函数f（x）存在极小值f（x0）．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数f（x）有最小值f（x）min＝f（x0）＝g（a），由f'(x0所以g(设函数h(x)=x-1x2-lnx，则h'(x)=-(x当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）h′（x）+0﹣h（x）↑极大值↓所以函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．所以当x＝1时，h（x）max＝h（1）＝0，即当x0＝1时，f（x0）max＝0．结合a=1ex0x02由函数y=1exx2(故当且仅当a=1e时，x0所以当a=1e时，g（a【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．21．（15分）（2025•西城区二模）已知N（N≥3）项数列A：a1，a2，…，aN，对于给定i（i＝1，2，…，N），定义变换fi：将数列A中的项ai替换为t，其余项均保持不变，记得到的新数列为fi（A）．其中，当i＝1时，t=a1+a22；当2≤i≤N﹣1时，t=ai若将数列fi（A）再进行上述变换fj（j＝1，2，…，N），记得到的新数列为fjfi（A），…，重复操作，得到数列fk…fjfi（A）（k＝1，2，…，N），并称fi为第一次f变换，fj为第二次f变换，…．（Ⅰ）若数列A：1，﹣1，3，﹣4，求数列f2（A）和f1f2f2（A）；（Ⅱ）设A为递增数列，对A进行有限次f变换后得到数列B．证明：B为递增数列；（Ⅲ）当第m（m∈N*）次f变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令ωm＝1；否则ωm＝0．对于给定的N项数列A，进行2025次f变换，证明：ω1+ω2+…+ω2025≤N﹣1．【考点】数列的应用．【专题】应用题；整体思想；等差数列与等比数列；运算求解．【答案】（I）f（A）：1，1，3，﹣4，f1f2f2（II）证明见解析；（III）证明见解析．【分析】（I）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案；（II）根据题设中新的变换，得到f1（A）仍为递增数列，进而得到fi（A）仍为递增数列，证得fN（A）仍为递增数列，以此类推，对A进行有限次f变换后，所得的数列B为递增数列；（III）设A中相邻两项乘积为负数的有S对，f'i（A）中相邻两项乘积为负数的有S'对，得到0≤S≤N﹣1，得到数列f'i（A）中相邻两项乘积为数的仍有S对，分情况讨论，即可得证．【解答】解：（I）由题意得，数列f2（A）：1，1，3，﹣4，数列f2f2(A故数列f1（II）证明：若对A：a1，a2，⋯，aN（N≥3）进行fi变换，即将a1替换为a1由a1＜a2，得a1+a22＜若对A进行．fi（i＝2，3，⋯，N﹣1）变换，即将ai替换为ai由ai﹣1+ai+ai+1，很ai故fi（A）仍为递增数列：若对A进行fN变换，即将aN替换为aN由aN﹣1＜aN，得aN-1＜aN综上，对于任意i＝1，2，…，N，对A进行f变换后fi（A）仍为递增数列．以此类推，知对A进行有限次f变换后，所得的数列B为递增数列．（III）证明：记数列A：a1，a2，⋯，aN中去除等于0的项后得到的数列为A（其余项相对位置不变，下同），fi（A）中去除为0的项后得到的数列为f'i（A），设A中相邻两项乘积为负数的有S对，f'i（A）中相邻两项乘积为负数的有S'对，则0≤S≤N﹣1．如果对A进行f1变换，即将a1替换为a1+a22此时若a则数列f'i（A）中相邻两项乘积为负数的仍有S对，即S′＝S；若a1与a2异号，则S′＝S或S′＝S﹣1；若a1与a2中有0，则a1+a2故S'＝S如果对A进行f（i＝2，3，…，N﹣1）变换，即将ai替换为ai此时若ai与ai-1+ai+ai+13有以下三种情况：①若ai﹣1与ai+1同号，显然ai也与ai﹣1异号，则S＝S﹣2；②若ai﹣1与ai+1异号，则S'＝S；③若ai﹣1与ai+1中有0，只有一个0，不妨设ai﹣1＝0，则ai与ai+1异号，故S'＝S或S′＝S﹣1，或S＝S﹣2．若ai与ai-1+ai+a若ai=0ai-1+ai+ai+13则ai-1+ai+ai+13与aiai-1+ai+ai+13=0，不妨设|ai﹣1|≥|a故S'＝S或S＝S﹣2；对A进行fN变换与进行f1变换类似．综上，对A进行一次f变换后，0≤S′≤S≤N﹣1．以此类推，对A进行2025次f变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数S“比变换前的并不会增大，且S''≤N﹣1，在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，则该变换一定是f1变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对．所以对A进行2025次f变换时，其第一项的正负号最多发生N﹣1次改变，即ω1+ω2+⋯+ω2025≤N﹣1．【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．

考点卡片1．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）∁U（A∩B）；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅲ）A∩（∁UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．2．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．【命题方向】充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．故选：BD．3．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．4．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．5．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n6．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；递减区间：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ7．数列的应用【知识点的认识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．8．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求数列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即数列{bn}的前n项和Tn=n点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．9．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．解：f（x）的定义域为（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在极小值为f(10．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．11．利用导数求解曲线在某点上的切线方程【知识点的认识】曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．【命题方向】常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．曲线y=2xx2+1在点（2解：由题意得y'=则曲线在点（2，45）处的切线斜率k＝y'|x＝2=故曲线y=2xx2+1在（2，45）处的切线方程为y-45=-625（x故答案为：6x+25y﹣32＝0．12．平面向量的平行向量（共线向量）【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，所以图中与AE→平行的向量有EB→，DF→，FC13．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b（3）分配律：（a→⋅b→）•c平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=a→2-【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．14．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S=12a•ha（ha表示边②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．【解题方法点拨】几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．15．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=016．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥=1317．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．18．空间向量法求解二面角及两平面的夹角【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为u→和v→，若两个平面的夹角为（1）当0≤＜u→，v→＞≤此时cosθ＝cos＜u→，（2）当π2＜＜u→，v→＞＜π时，θcosθ＝﹣cos＜u→，【解题方法点拨】﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．【命题方向】﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．19．根据椭圆的几何特征求标准方程【知识点的认识】椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点(±c【解题方法点拨】1．提取几何特征：从题目中得到长轴、短轴或焦距．2．代入标准方程：使用几何特征计算a和b，代入标准方程：x2【命题方向】﹣由椭圆的几何特征（如长轴、短轴）求标准方程．﹣根据焦点位置和长短轴所在位置推导标准方程．20．求椭圆的离心率【知识点的认识】椭圆的离心率e由公式e=ca【解题方法点拨】1．计算离心率：使用公式e=【命题方向】﹣给定a和b，求椭圆的离心率．﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义．21．直线与椭圆的综合【知识点的认识】直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：直线与椭圆相交⇔Δ＞0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ＜0；【解题方法点拨】（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；②借助直线和椭圆的几何性质来判断．根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．（2）弦长的求法设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=(1+k2注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（3）中点弦、弦中点常见问题①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；②平行弦中点的轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹．解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．（4）椭圆切线问题①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；③过椭圆上一点只能作一条切线．（5）最值与范围问题的解决思路①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．【命题方向】1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；2．由已知条件求直线的方程；3．中点弦或弦的中点问题；4．弦长问题；5．与向量结合求参变量的取值．22．求双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的离心率e是e=ca【解题方法点拨】1．计算离心率：利用公式e=2．求解参数：从双曲线方程中提取参数．【命题方向】﹣给定双曲线的参数，求离心率．﹣根据离心率计算双曲线的标准方程．23．曲线与方程【知识点的认识】在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【解题方法点拨】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（）A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③若定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以12④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．故选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．【命题方向】这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．24．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤（直接法）（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化简