Chap7 FIR数字滤波器的设计

1、第七章第七章 有限脉冲响应（有限脉冲响应（FIR）数字滤波器的设计数字滤波器的设计IIRIIR滤波器：具有优良的幅度特性滤波器：具有优良的幅度特性FIRFIR滤波器的特点：滤波器的特点：稳定稳定和和线性相位线性相位系统传输函数系统传输函数H(ej ) H(ej )= |H(ej )| ej ( ) 幅度特性幅度特性 |H(ej )| 相位特性：相位特性： ( )1、线性相位、线性相位FIR数字滤波器数字滤波器 线性相位特性：线性相位特性： 第一类线性相位：第一类线性相位： ( ) 第二类线性相位第二类线性相位: ( ) + 0 ( 0是初始相位是初始相位)一、线性相位滤波器中输入与输出的关系一

2、、线性相位滤波器中输入与输出的关系 推导：推导：得到：得到：y(n)=x(n- )表明：表明：线性相位滤波器不会改变输入信号的形状，线性相位滤波器不会改变输入信号的形状， 只是将输入信号在时域上延迟了只是将输入信号在时域上延迟了 个采样点。个采样点。二、线性相位滤波器的特点：二、线性相位滤波器的特点：1、线性相位滤波器的时域特性（条件）：、线性相位滤波器的时域特性（条件）：P.197h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2偶对称或奇对称偶对称或奇对称 第一类线性相位：第一类线性相位： h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2偶对称偶对称 第二类线性相位：第二类线性相位： h(n)是

3、实序列且对是实序列且对(N-1)/2奇对称奇对称结论：结论： 对于任意对于任意N1阶的线性相位滤波器，阶的线性相位滤波器，均获得相位延迟均获得相位延迟 (N-1)/2的线性相位特性。的线性相位特性。2、线性相位、线性相位FIR滤波器的频域特性：滤波器的频域特性：H(ej )= |H(ej )| e j （+ ）2021或N三、线性相位三、线性相位FIR滤波器的分类滤波器的分类根据两类线性相位、根据两类线性相位、h(n)长度长度N的的奇偶分为四类奇偶分为四类：1) h(n)=h(N-n-1)，N为奇数为奇数 （书上推导）（书上推导）2) h(n)=h(N-n-1)，N为偶数为偶数 （推导：（推导

4、：）3) h(n)=-h(N-n-1)，N为奇数为奇数4) h(n)=-h(N-n-1)，N为偶数为偶数总结：见总结：见P.198表表7.1.1线性相位滤波器时域特性图例线性相位滤波器时域特性图例1、N为奇数的偶对称：为奇数的偶对称：例如例如 N=11，对称中心为，对称中心为2111)10()(nhnhn0 12345 6789102、N为偶数的偶对称：为偶数的偶对称：例如例如 N=10，对称中心为，对称中心为2110)9()(nhnhn012 34567 893、N为奇数的奇对称：为奇数的奇对称：例如例如 N=11，对称中心为，对称中心为2111)10()(nhnhn0 12 345 67

5、89 104、N为偶数的奇对称：为偶数的奇对称：例如例如 N=10，对称中心为，对称中心为2110)9()(nhnhn012 3456789以以Type2为例：为例：N为偶数，为偶数，h(n)偶对称偶对称10)()(NnnznhzH12220)()(NNnnNnnznhznh220)1(220)()(1NmmNNnnzmhznhnNm令)()1(220nNNnnzznh)()()1(220njNjNnnjjeenheH)()21(220)21(21NnjNnNnjNjeenhe )21()(222021NnNjNnCosnhe)21()(222121NmNjmCosmhenNm令频域特性表频域

6、特性表)(jeH21)()1()(NnNhnh)(2)()()0(2121nhnahaNN，其中，21021)()()(NnNjjnCosnaeeH2)()1()(21NnNhnhTypeh(n)NI 第一类第一类N为奇数II 第二类第二类N为偶数III 第三第三类类N为奇数IV 第四类第四类N为偶数211221)()(nCosnbeeHNNnjj)(2)(2nhnbN其中，nSinnceeHNNnjj212211)()()()(2)(21nhncN其中，)(2)(2nhndN其中，211)(2221)()(nSinndeeHNNnjj表表7.1.1线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位

7、特性一览表滤波器的幅度特性与相位特性一览表第一类：第一类：对于对于 0、 、2 皆为偶对称皆为偶对称第二类：第二类：对于对于 呈奇对称且幅度为呈奇对称且幅度为0，不适用于高通和带阻不适用于高通和带阻第三类：第三类：对于对于 0、 、2 皆为奇对称且幅值为皆为奇对称且幅值为0，带通可以用带通可以用第四类：第四类：对于对于 0、2 呈奇对称且幅度为呈奇对称且幅度为0， 处呈偶对称，处呈偶对称，低通、带阻不能用低通、带阻不能用四、线性相位滤波器的零点位置四、线性相位滤波器的零点位置推导：推导：10)()(NnnznhzH10)1()1(1NmmNzmNhnNm令10)1()()(NmmNzmhzzH

8、)(1)1(zHzN10)()(NnnznhzH10)1()1(1NmmNzmNhnNm令10)1()()(NmmNzmhzzH)(1)1(zHzN当当h(n)偶对称偶对称，所以， 当当h(n)奇对称奇对称，所以，所以， 综合两种情况，得综合两种情况，得)()(1)1(zHzzHN推导：推导：结论：结论：1. Zi是零点，那它的倒数是零点，那它的倒数1/Zi也是也是H(z)的零点；的零点；2. 另外，当另外，当h(n)是实数时，是实数时，H(z)的零点成共轭对出现。的零点成共轭对出现。线性相位滤波器的零点位置分布图线性相位滤波器的零点位置分布图一般位置上：. 1*1*1iizizizz，但不在

9、实轴上：单位圆上，. 2*1*1iizizizz不在单位圆上：实轴上，但. 3*11*iizziizz且在实轴上：单位圆上，. 4*1*1iizizizz 设设N为偶数，则有为偶数，则有五、线性相位五、线性相位FIR滤波器网络结构滤波器网络结构(5.5.2)(5.5.3)10)1(2)()(NnnNnzznhzH 设设N为奇数，则有为奇数，则有2121)()()(2110)1(NNzhzznhzHNnnNnx(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数P.135图

10、图5.5.1 第一类线性相位网络结构第一类线性相位网络结构x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111图图5.5.2 第二类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构2、利用窗函数法设计、利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器一、窗函数设计法：一、窗函数设计法：1、基本原理：、基本原理： 寻求系统单位脉冲响应寻求系统单位脉冲响应h(n)，使，使h(n)逼近理想的单位脉逼近理想的单位脉冲响应冲响应Hd(n)。deeHnhenheHnjjddnnjdjd)

11、(21)()()(理想的：10cc)(jdeHn)(nhd且非因果的。是一无限长序列，)(nhd因果系统有限长而我们所要求设计的是)2() 1 (，并移位，断最简单的方法就是：截)(nhdn010)()(其它，得：Nnnhnhd)()()(nwnhnhd即：（线性相位）其中：21N窗函数：在这里是矩形窗。窗函数：在这里是矩形窗。逼近。应的频域上也有一定的时域上的逼近，导致对)()(21)() (deWeHeHjjdj应为：所设计滤波器的幅频响的乘积。”和一个有限长“窗序列是无限长序列窗函数设计法：)()()(nwnhnhd2、理想低通加窗后对幅频特性的影响：、理想低通加窗后对幅频特性的影响：

12、（图示）(1)理想幅频特性的陡直边沿被加宽，形成过渡带；理想幅频特性的陡直边沿被加宽，形成过渡带；过渡带：过渡带：是由窗函数的主瓣宽度引起的。是由窗函数的主瓣宽度引起的。 N越大越大 窗函数的主瓣宽度越小窗函数的主瓣宽度越小 过渡带带宽越小过渡带带宽越小(2) 过渡带两侧附近产生起伏的肩峰和纹波；过渡带两侧附近产生起伏的肩峰和纹波；肩峰和纹波：肩峰和纹波：是由窗函数的旁瓣引起的。是由窗函数的旁瓣引起的。 旁旁瓣相对值越大瓣相对值越大 纹波起伏就越大纹波起伏就越大旁旁瓣相对值：瓣相对值：完全取决与窗函数的形状，与完全取决与窗函数的形状，与N无关。（吉布斯效应）无关。（吉布斯效应）结论：结论： 为

13、了提高滤波器的性能，尽可能要求窗函数：为了提高滤波器的性能，尽可能要求窗函数：i.主瓣宽度尽量窄主瓣宽度尽量窄 获得较陡的过渡带获得较陡的过渡带ii.旁瓣相对值尽量小旁瓣相对值尽量小 改善通带的平稳度和增大阻带的衰减改善通带的平稳度和增大阻带的衰减二、常用的二、常用的几种窗函数几种窗函数及其性能及其性能P.2071、Rectangular window：2、Hanning window：)()()(nwnRnwRN)2sin(/ )2sin()(NWR10)1/(2(1 )(21NnNnCosnwHan，)12(41)12(41)(21)(NWNWWWRRRHan（升余弦窗）（升余弦窗）3、H

14、amming ：4、 Blackman ：10)1/(2(46. 05 . 0)(NnNnCosnwHam，)12(23. 0)12(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRRHam)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwNB)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0NWNWNWNWWWRRRRRB（改进升余弦窗）（改进升余弦窗）（二阶余弦窗）（二阶余弦窗）窗函数图续窗函数图续窗函数图RectangularHanningHammingBlackman几种窗函数图比较几种窗函数图比较窗函数频域特性图窗函数频域特性图1窗函数频域

15、特性图窗函数频域特性图2性能比较表性能比较表： 由图比较由图比较： （结论见（结论见P.211表格表格7.2. 2）窗函数频域特性窗函数频域特性1窗函数频域特性窗函数频域特性2 见见P.207图图7.2.510cc)(jdeH0N2N2)(RW0)(H幅频特性加窗后的影响图示窗函数窗函数的主瓣的主瓣旁瓣旁瓣三、三、 窗函数法设计窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤1. 根据技术要求确定窗函数根据技术要求确定窗函数w(n)的形式；的形式；2. 根据根据过渡带宽过渡带宽确定加窗的宽度确定加窗的宽度N； = 2- 1 N 4 P/ 3. 确定脉冲响应移位系数确定脉冲响应移位系数 (N-1)/2

16、 h(n) 4. 根据根据h(n)的特性及的特性及N的奇偶性的奇偶性 H( )；5. 审核验证技术指标是否满足：审核验证技术指标是否满足：如不，则重取较大如不，则重取较大N进行，重复步骤进行，重复步骤3、4如有余，则选取较小如有余，则选取较小N，重复，重复3、4重新计算。重新计算。)()()()(nwnnSinnhc例例 题：题：根据下列技术指标，设计一个根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器：低通滤波器： 通带截止频率通带截止频率p=0.2，通带允许波动，通带允许波动 p=0.25dB； 阻带截止频率阻带截止频率s=0.3，阻带衰减，阻带衰减 s =50dB。 例例7.2.1（P.212

17、） 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，低通滤波器，设设N=11,c=0.2rad。解：解： 用理想低通作为逼近滤波器，按照用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有式，有sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn 用汉宁窗设计：用汉宁窗设计：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布莱克曼窗设计：用布莱克曼窗设计： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh n

18、nnnnRn图7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性0.3n0hd (n)20406000.1020406080h(n)(c)0.20020406080w (n)(a)nn(b)50050100150(d)20 lg|H(ej)| / |H(ej0)| /dB8000/2窗口法设计的主要优点：窗口法设计的主要优点：简单，使用方便；简单，使用方便；窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都窗口函数大多有封闭的公式可循，性能、参数都已有表格、资料可供参考；已有表格、资料可供参考； 计算程序简便，计算程序简便， 所以很实用。所以很实用。缺点是：

19、通带和阻带的截止频率不易控制。缺点是：通带和阻带的截止频率不易控制。 3、频率取样法设计、频率取样法设计FIR滤波器滤波器 一、频率取样法设计思想：一、频率取样法设计思想：1、基本原理：、基本原理： （频域采样理论）（频域采样理论） 一个有限长序列，可以通过其频谱的等间隔采样值准确地恢复一个有限长序列，可以通过其频谱的等间隔采样值准确地恢复出原有序列。出原有序列。2、设计过程：、设计过程：在频域中，对理想的频率响应等间隔采样；在频域中，对理想的频率响应等间隔采样；以以Hd(k)作为实际滤波器频率特性的采样值作为实际滤波器频率特性的采样值H(k)，(k=0,1,，N-1)由由H(k)通过通过ID

20、FT变换可求出有限长序列变换可求出有限长序列 h(n)、H(z)、H()kjddNeHkH2)()()()(kHIDFTnh11011)(1)(ZWZkHNzHkNNNk)()()(10jkNkjekHeH图例（N23）：3、优缺点：、优缺点：优点：理论上能设计任意频率响应的优点：理论上能设计任意频率响应的FIR滤波器；滤波器；缺点：缺点： 抽样频率只能等于抽样频率只能等于2/N的整数倍；的整数倍； 用用Hd(k)直接来代替直接来代替H(k)，由于在通带边缘处抽样值的陡然变化而引，由于在通带边缘处抽样值的陡然变化而引起起伏振荡。起起伏振荡。二、优化设计二、优化设计1.误差分析：误差分析：由采样

21、点的值通过内插函数延伸叠加而成，会产生误差。由采样点的值通过内插函数延伸叠加而成，会产生误差。2.改进措施：改进措施：（1）在频率响应不连续点的边缘处）在频率响应不连续点的边缘处增加一些过渡采样点增加一些过渡采样点；图例图例结果：结果：可以增加阻带的衰减（即减少阻带的起伏振荡），可以增加阻带的衰减（即减少阻带的起伏振荡）， 但是拓宽了过渡带。但是拓宽了过渡带。结论：一般最多安插三个过渡采样点结论：一般最多安插三个过渡采样点（2）将采样点数增加一倍：）将采样点数增加一倍：图例：图例：结果：结果：能保持过渡带带宽不变，只增大阻带的衰减能保持过渡带带宽不变，只增大阻带的衰减； 但是运算量增加量相当可

22、观。但是运算量增加量相当可观。过渡带增加采样点图例过渡带增加采样点图例整个采样点数增加一倍图例整个采样点数增加一倍图例三、设计步骤：三、设计步骤：、根据技术要求：1Nc21长度临界频率阻带容差通带容差);()(20kHeHjd进行取样，得）区间内对理想）或（在（；、由)()(2jeHkH指标计算，看是否满足技术取样点上的离散频率、审核验证：取一组非3i阻带内，通带内，21)()()()(iiiijdjjdjeHeHeHeH，直至满意为止；、，重复步骤附近的取样值如不满足，则改变32)(cckH。，得系统的点的作、对所确定的)(N)(4nhIDFTkH7.4 FIR滤波器和滤波器和IIR滤波器的

23、比较滤波器的比较1、性能上、性能上IIR滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率高。但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来高。但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来的。的。 选择性越好，非线性越严重。选择性越好，非线性越严重。FIR滤波器可以得到严格的线性相位。滤波器可以得到严格的线性相位。 但是，如果但是，如果需要获得一定的选择性，则要用较多的存储器和较需要获得一定的选择性，则要用较多的存储器和较多的运算，多的运算， 成本比较高，成本比较高， 信号延时也较大

24、。信号延时也较大。2、结构上：、结构上：IIR必须采用递归型结构必须采用递归型结构 极点位置必须在单位圆内极点位置必须在单位圆内 系统稳定性。系统稳定性。 运算过程中对序列的四舍五入处理运算过程中对序列的四舍五入处理有时会引有时会引起微弱的寄生振荡。起微弱的寄生振荡。FIR滤波器主要采用非递归结构，滤波器主要采用非递归结构， 不存在稳定性问题，运算误差也较小。不存在稳定性问题，运算误差也较小。 FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。 3、设计工作：、设计工作：IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。又有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。又有许多数据和表格可查，许多数据和表格可查， 设计计算的工作量比较小，设计计算的工作量比较小， 对计算工具的要求不高。对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭函数的