新课标版中考数学总复习 第二部分热点题型攻略题型四图形动态问题

1、第二部分第二部分 热点题型攻略热点题型攻略题型四题型四 图形动态问题图形动态问题类型一类型一 图形变换问题图形变换问题典例精讲典例精讲例例（13岳阳岳阳）某数学兴趣开展了一次课外活某数学兴趣开展了一次课外活动，过程如下，如图动，过程如下，如图，正方形，正方形ABCD中，中，AB6，将三角板放在正方形，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板上，使三角板的直角顶点与的直角顶点与D点重合点重合.三角板的一边交三角板的一边交AB于点于点P，另一边交，另一边交BC的延长线于点的延长线于点Q.（1）求证：）求证：DP=DQ；（2）如图）如图，小明在图，小明在图的基础上作的基础上作PDQ的的平分线平分线DE

2、交交BC于点于点E，连接，连接PE，他发现，他发现PE和和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；以证明；例例1题图题图（3）如图）如图，固定三角板直角顶点在，固定三角板直角顶点在D点不动，点不动，转动三角板，使三角板的一边交转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于的延长线于点点P，另一边交，另一边交BC的延长线于点的延长线于点Q，仍作，仍作PDQ的平分线的平分线DE交交BC延长线于点延长线于点E，连接，连接PE，若，若AB AP=3 4，请帮小明算出，请帮小明算出DEP的面积的面积.（1）【思路分析思路分析】正方形正方形ABCD PDQ90A

3、DP=CDQ ADP CDQ(ASA) DP=DQ;证明证明：在正方形在正方形ABCD中，中，AD=CD，A=ADC=DCQ90，PDQ90，ADP+PDC=QDC+PDC90，ADP=CDQ,ADP CDQ(ASA),DP=DQ;（2）【思路分析思路分析】PDE QDE PE=QE；证明证明:由（由（1）知）知DP=DQ.PDE=QDE=45，DE=DE，PDE QDE(SAS),PE=QE；（3）【思路分析思路分析】PDE QDE SDEP =SDEQ = CDEQ AB=6, AB AP=3 4 AP=8,CQ=8. SDEP 12解解：AB AP=3 4，AB6， AP=8,BP2.与

4、（与（1）同理，可以证明）同理，可以证明ADP CDQ, CQ=AP=8.与（与（2）同理，可以证明）同理，可以证明DEP DEQ, PE=QE，设设QEPEx,则则BE=BC+CQ-QE14-x, 在在RtBPE中，由勾股定理得：中，由勾股定理得： BP2+BE2=PE2,即即22+(14-x)2=x2, 解得解得x= ，即，即QE .507507SDEQ= QECD= 6= ,DEP DEQ,SDEP =SDEQ = .507150712121507与图形有关的计算题一般涉及到以下几种问题：与图形有关的计算题一般涉及到以下几种问题：1.探究两线段的数量关系探究两线段的数量关系.具体方法如下

5、：具体方法如下：（1）要证明的线段（角）在某一四边形中，）要证明的线段（角）在某一四边形中，可以考虑直接利用特殊四边形的性质，通过量可以考虑直接利用特殊四边形的性质，通过量的转换、等量代换进行求证；的转换、等量代换进行求证；（2）如果所要证明的线段（角）在某一三角）如果所要证明的线段（角）在某一三角形中，可以考虑直接利用等腰、直角三角形的形中，可以考虑直接利用等腰、直角三角形的性质进行求证；性质进行求证；（3）如果所要证明的线段（角）在两个三角形）如果所要证明的线段（角）在两个三角形中，可以考虑通过三角形全等的判定及性质进中，可以考虑通过三角形全等的判定及性质进行证明行证明. 出现直角三角形，

6、则利用斜边的中线等于出现直角三角形，则利用斜边的中线等于斜边的一半或斜边的一半或30角所对的直角边为斜边的一角所对的直角边为斜边的一半进行等量代换；出现等腰三角形，则利用等半进行等量代换；出现等腰三角形，则利用等腰三角形的性质两腰相等、两底角相等、底边腰三角形的性质两腰相等、两底角相等、底边上的高垂直于底边等进行求解上的高垂直于底边等进行求解.在等腰三角形中在等腰三角形中出现出现60角，则可以转化为等边三角形和含角，则可以转化为等边三角形和含30角的特殊直角三角形进行求解角的特殊直角三角形进行求解.2.两线段的位置关系通常为平行或垂直两线段的位置关系通常为平行或垂直.先观先观察图形，根据图形先

7、推测两线段的位置关系察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直是平行或垂直.若平行，则常通过以下方法进行证解若平行，则常通过以下方法进行证解：（1）平行线判定的定理；）平行线判定的定理；（2）平行四边形对边平行；）平行四边形对边平行；（3）三角形中位线性质等）三角形中位线性质等.若垂直，则常通过以下方法进行证解若垂直，则常通过以下方法进行证解:（1）证明两线段所在直线夹角为）证明两线段所在直线夹角为90；（；（2）两线段是矩形的邻边；两线段是矩形的邻边；（3）两线段是菱形的对角线；）两线段是菱形的对角线；（4）勾股定理的逆定理；）勾股定理的逆定理；（5）利用等腰三角形三线合一的性质等方

8、式）利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明证明. 3.求线段长度、比值时一般多涉及三角形全求线段长度、比值时一般多涉及三角形全等和相似的相关证明和性质的运用，具体方等和相似的相关证明和性质的运用，具体方法如下：要计算线段比、面积比时，可考虑法如下：要计算线段比、面积比时，可考虑从下列两方面思考：从下列两方面思考：直接利用特殊图形的性质先求出对应线段、直接利用特殊图形的性质先求出对应线段、面积的值，再求比值；面积的值，再求比值；通过寻找相似三角形，利用三角形相似的通过寻找相似三角形，利用三角形相似的性质求相应的比值性质求相应的比值.类型二类型二 图形中动点问题图形中动点问题典例精讲典例精讲例例1

9、（13郴州郴州）如图，如图，ABC中中, AB=BC,AC=8，tanA=k, P为为AC边上一动点，设边上一动点，设PCx，作，作PEAB交交BC于于E，PFBC交交AB于于F.（1）证明：）证明：PCE是等腰三角形；是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是分别是PEC、AFP、ABC的高，用含的高，用含x和和k的代数式表示的代数式表示EM、FN，并探究并探究EM、FN、BH之间的数量关系之间的数量关系；（3）当当k=4时，求四边形时，求四边形PEBF的面积的面积S与与x的函的函数关系式，数关系式，x为何值时，为何值时，S有最大值？并求出有最大值？并求出S的的最大值最大值.例例1题图题图（

10、1）【思路分析思路分析】根据等边对等角可得】根据等边对等角可得A=C,然后根据两直线平行，同位角相等求然后根据两直线平行，同位角相等求出出CPEA，从而得出，从而得出CPE=C，即可，即可得证得证.证明证明：PEAB,CPE=A, AB=BC,A=C, C=CPE,CE=PE, 即即PCE是等腰三角形；是等腰三角形；（2）【思路分析思路分析】根据等腰三角形三线合一】根据等腰三角形三线合一的性质求出的性质求出CM= CP，然后求出，然后求出EM，同理，同理求出求出FN、BH的长，再结合整理可得的长，再结合整理可得EM+FNBH.解解：AB=BC, BHAC,AC=8， AH=CH= AC=4,

11、在在RtABH中，中，tanA= =k, BH=4k,12BHAH12EM、FN、BH分别是分别是PEC、AFP、ABC的高，的高，CMECHB,ANFAHB, ， ，即即 = , = ,EM= k x, FN= ，EM+FN=BH;EMCMBHCH FNANBHAH 124x124EMk4FNk 82kx 124x（3）【思路分析思路分析】分别求出】分别求出EM、FN、BH，然后，然后根据根据SPCE, SAPF , SABC的关系，即的关系，即S= S ABC - S CPE - S APF，整理即可得到，整理即可得到S与与x的关系式，然的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答后利用二次函

12、数的最值问题解答.12解解： 当当k=4时，时，EM=2x，FN16-2x,BH=16,S=SABC -SAFP -SCPE ACBH- APFN- CPEM = 816- (8-x)(16-2x)- x2x =64-(x2-16x+64)-x2 =-2x2+16x+64-64 =-2(x-4)2+32,当当x=4时，时，S有最大值，且为有最大值，且为32.1212121212例例2(14常德常德)如图如图、，已知四边形，已知四边形ABCD为为正方形，在射线正方形，在射线AC上有一动点上有一动点P，作，作PEAD（或延长线）于或延长线）于E，作，作PFDC（或延长线）于（或延长线）于F，作射线

13、作射线BP交交EF于于G.（1）在图）在图中，设正方形中，设正方形ABCD的边长为的边长为2，四，四边形边形ABFE的面积为的面积为y，APx，求，求y关于关于x的函数的函数表达式；表达式；（2）结论：）结论：GBEF对图对图、图、图都是成立的，都是成立的，请任选一图形给出证明；请任选一图形给出证明；（3）请根据图）请根据图,证明：证明：FGCPFB.例例2题图题图(1)【思路分析思路分析】在等腰直角三角形】在等腰直角三角形AEP中中, AP=x,由勾股定理得由勾股定理得AE=EP= x，于是可分别用含，于是可分别用含x的的式子表示式子表示RtDEF、 RtBFC的两直角边的两直角边,根据根据

14、S四边形四边形ABFE=S正方形正方形ABCD-SDEF -SBFC求得求得y关于关于x的的函数表达式函数表达式.解解：EPAD，PFDC，四边形四边形EPFD是矩形，是矩形，AP=x，AE=EP=DF= x，DE=PF=FC=2- x，222222S四边形四边形ABFE =4- DFED- BCFC 4- x(2- x)- 2（2- x） = x2+2；1212121222221422(2)【思路分析思路分析】如解图】如解图，先证明，先证明RtFPE RtBHP, 然后证明然后证明FPGBPH,根据相似三角形的对应角相等得出结果，图根据相似三角形的对应角相等得出结果，图的的证法相同证法相同.

15、解解：如解图：如解图,证明证明:GBEF延长延长FP交交AB于于H，PFDC，PEAD，PFPE，PHHB,即即BHP=90,四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，在在Rt FPE与与Rt BHP中中, PF=FC=HB，EPF=PHB=90，EP=PH,Rt FPE Rt BHP（SAS）,PFE=PBH，又又FPG=BPH， FPGBPH， FGP=BHP=90，即，即GBEF；例例2题解图题解图H（3）【思路分析思路分析】欲证】欲证FGCPFB,首先根首先根据据GBEF得到得到BPFCFG.有一角对应相等，有一角对应相等，再找来这个角的两边对应成比例即可，需连接再找来这个角的两边对应成

16、比例即可，需连接PD，易证易证DPCBPC，PGFFPE，则，则PD=PB=EF，PF2=FGEF,问题解决问题解决.证明：证法一：证明：证法一：GBEF，BPF=CFG 如解图如解图，连接，连接PD，在，在DPC和和BPC中，中， DC=BC, DCP=BCP=135,PC=PC, DPC BPC（SAS），）， PD=PB 而而PD=EF, EF=PB 又又GBEF，PF2=FGEF，PF2=FGPB,而而PF=FC, PFFCFGPB， ,由由得得PFBFGC.PFFGPBPB 例例2题解图题解图证明：证法二证明：证法二: GBEF， BPF=CFG .又又BGFG,BCCF，如解图，如

17、解图，取，取BF的中的中点点M,则则 MG=MF=MB, MC=MF=MB, B,C,G,F四点在以四点在以M为圆心为圆心, MB为半径的圆为半径的圆上，上， PBF=FCG , 由由得得FGCPFB.面积与变量之间函数关系和最值问题具体方法面积与变量之间函数关系和最值问题具体方法如下：如下：(1)根据题意，用题设中已知量设出自变量根据题意，用题设中已知量设出自变量（时间（时间t或线段长或线段长x）表示出所求图形中的线段）表示出所求图形中的线段长；长；（2）观察所求图形的面积能不能直接利用面）观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得积公式求出，若能，根据几何图

18、形面积公式得到自变量（时间到自变量（时间t或线段长或线段长x）关于面积的二次）关于面积的二次函数关系式（注意自变量的取值范围），若所函数关系式（注意自变量的取值范围），若所求图形的面积不能直接利用求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；行求解；（3）结合已知条件和函数图象性质求出面）结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大时的自变量的值积取最大时的自变量的值.类型三类型三 图形中动点存在、探究问题图形中动点存在、探究问题典例精讲典例精讲例例1（14郴州郴州）如

19、图，在如图，在RtABC中，中，BAC90，B60，BC16 cm，AD是斜边是斜边BC上的高，垂足为上的高，垂足为D，BE1 cm，点，点M从点从点B出出发沿发沿BC方向以方向以1 cm/s的速度运动，点的速度运动，点N从点从点E出出发，与点发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在为边在BC的上方作正方形的上方作正方形MNGH.点点M到达到达点点D时停止运动，点时停止运动，点N到达点到达点C时停止运动，设时停止运动，设运动时间为运动时间为t（s）.（1）当）当t为何值时，点为何值时，点G刚好落在线段刚好落在线段AD上？上？（2）设正方形）设正方形MNG

20、H与与RtABC重叠部分的重叠部分的图形的面积为图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形，当重叠部分的图形是正方形时，求出时，求出S关于关于t的函数关系式并写出自变量的函数关系式并写出自变量t的取值范围的取值范围.（3）设正方形）设正方形MNGH的边的边NG所在直线与线段所在直线与线段AC交于点交于点P，连接，连接DP，当，当t为何值时，为何值时，CPD是是等腰三角形？等腰三角形？（1）【思路分析思路分析】（】（1）点）点G刚好落在线段刚好落在线段AD上，此时点上，此时点N运动到运动到D点，点，DM=1 cm，故只要求，故只要求出出EN的长问题得以解决的长问题得以解决.例例1题图题图解解：在：

21、在 RtABC中，中，B=60,BC=16 cm， cos 60= ，即，即AB=8 cm, 同理同理 ，BD=4 cm， EN=3 cm，即，即t=3 s ；（2）【思路分析思路分析】先用含】先用含t的代数式表示出重叠的代数式表示出重叠部分的图形是正方形时的边长，再求它的面积，部分的图形是正方形时的边长，再求它的面积，分情况讨论分情况讨论.16ABABBC 解解：当：当M运动如解图运动如解图所示时，所示时，MH没有到达没有到达AD，此时正方形，此时正方形MNGH是边长为是边长为1的正方形的正方形.令令H点在点在AB上，上，在在RtBMH中，中，HM=MN=1, B=60，tan60= ，HM

22、= t1，t= ,此时，正方形此时，正方形MNGH恰好完全在恰好完全在ABC内且边内且边长为长为1，S=1.当当N运动到如解图运动到如解图所示时，所示时，N点继续向前移动，点继续向前移动，当当M运动到运动到D点时停止运动，此时点时停止运动，此时t=4,HMHMBMt 333D点、点、M点重合，点重合，N点继续向前移动，此后正方点继续向前移动，此后正方形形MNGH面积与前面不同面积与前面不同.令令G点在点在AC上上,由（由（1）中可知，）中可知，BD4 cm，AB8 cm，BC16 cm，AC= cm，可得可得MNt-(4-1)=t-3，CN15-t，CGNCBA, ,即即 ,t= -3，面积，

23、面积S=MN2（t-3）2=t2-6t+9，可得可得 S=1 t4 t2-6t+9 4t -3 ；GNCNABAC 31588 3tt 6 3336 38 3例例1题解图题解图【难点突破难点突破】此题关键是抓住重叠部分的图形是此题关键是抓住重叠部分的图形是正方形正方形. .（3）【思路分析思路分析】由于运动，需要分三种情况由于运动，需要分三种情况讨论，当讨论，当CP=CD，DP=CP，DP=CD，转化为方，转化为方程即可解决程即可解决.解解：当当CP=CD=12时，时， CN=15t， cos30= ，t=15 ；153122CNtCP 6 3例例1 1题解图题解图当当DP=CP时，有时，有C

24、N=DN=6，即，即15t=6，t=9；当当DP=CD=12，而，而0DP ，故无解，故无解.综上，当综上，当t=15- 或或t=9时，时，CPD是等腰三角形是等腰三角形.6 34 3例例2(13怀化怀化)如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，AB=12 cm，AD=16 cm，动点，动点E、F分别从分别从A点、点、C点同时出发，点同时出发，均以均以2 cm/s的速度分别沿的速度分别沿AD向向D点和沿点和沿CB向向B点点运动运动. （1）经过几秒首次可使）经过几秒首次可使EFAC？ 例例2题图题图（2）若）若EFAC，在线段，在线段AC上，是否存在一点上，是否存在一点P，使，使2EPAE=EFA

25、P？若存在，请？若存在，请说明说明P点的位置点的位置(1)【思路分析思路分析】设经过设经过x秒首次使秒首次使EFAC，AC与与EF交于点交于点O，EFAC，易证，易证AOE COF,所以所以AO=OC，由勾股定理可得，由勾股定理可得AC，从而可得，从而可得OC，在在RtOFC中，可用中，可用x表示表示OF，作，作EHBC于于H，在在RtEFH中，根据勾股定理可得关于中，根据勾股定理可得关于x的方程，的方程，解方程即可解方程即可.解解：设经过：设经过x秒首次可使秒首次可使EFAC与与EF的交点为的交点为O，则，则AE=2x，CF=2x,AE=CF,四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，EAO=FC

26、O,AOE=COF,AOE COF(AAS),AO=OC,OE=OF，AB=12 cm, AD=16 cm,AC=20 cm, OC=10 cm.在在RtOFC中，中，OF2+OC2=FC2，OF= ,24100 x 如解图，过点如解图，过点E作作EHBC交交BC于点于点H，在在RtEFH中，中，FH2+EH2=EF2，即即2x-(16-2x)2+122=(2 )2,解得解得x= ,故经过故经过 秒首次可使秒首次可使EFAC；24100 x 254254例例2题解图题解图(2)【思路分析思路分析】当】当EPAD时，根据时，根据AEPAOE可得可得2EPAE=EFAP，EP与与AC的交点即为所求

27、的交点即为所求P点点.解解：如解图过点：如解图过点E作作EPAD交交AC于点于点P，则，则P就就是所求的点是所求的点.证明如下：由作法可知证明如下：由作法可知AEP90，又，又EFAC，AEPAOE， ，即，即EPAE=EOAP EFAP,2EPAE=EFAP.EPAPEOAE 12图形中动点存在、探究问题一般涉及到以下几图形中动点存在、探究问题一般涉及到以下几种问题：种问题：1.解答三角形相似的存在问题具体方法如下：解答三角形相似的存在问题具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；下一步；若为探究问题，则

28、直接进行下一步；（2）分情况讨论，剔除不符情况）分情况讨论，剔除不符情况.探究三角形探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，根据三角形的对应关系，可以确角、对应边，根据三角形的对应关系，可以确定出三种不同的对应形式，根据题意或实际情定出三种不同的对应形式，根据题意或实际情况，剔除不符合的对应形式；况，剔除不符合的对应形式；（3）求边长）求边长.在每种情况下，用题设中已设出在每种情况下，用题设中已设出自变量（时间自变量（时间t或线段长或线段长x）表示出所求三角形）表示出所求三角形的边长；的边长； ( 4 )建立关系式并计算建立关系式并计算