概率论与数理统计复习

1、 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念1 随机试验、样本空间和随机事件一、随机现象 在个体试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果具有一定的规律性的现象，称之为。二、随机试验若某种试验具有以下的特点： （1）可以在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并在 事先知道所有可能的结果； （3）进行一次试验之前不能确定其结果； 则称这种试验为。例如： ： 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数；1E ： 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正反面的情况；2E ： 抛一颗骰子，观察其出现的点数； 3E ： 在一个袋子中放有4黑2白6个球，反复从袋中摸 一个球，观察其颜色

2、后，再放回袋中，记录第一 次摸到白球时已进行的摸球次数。4E三、样本空间 我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，样本空间，记为S，称样本空间的元素为样本点样本点。 ：0，1，2，3； 1S： 。, 2 , 14S2S：TTT，TTH，THT，HTT，HHT，HTH， THH，HHH；3S：1，2，3，4，5，6;四、随机事件1、定义在每一次试验中，若某个随机事件中的一个样本点出现时，则称这一。 称随机试验E的样本空间S的子集为E的。(注：不是S的所有子集都是随机事件)。将由一个样本点组成的单点集称为，将样本空间S称为，记作 ；将空集称为记作。S2、事件间的运算和关系（1）和运算

3、 ， |BxAxxBA或类似可定义 和 ； nkkA11kkA（2）积运算 ， 也可记作为 ，|BxAxxBA且BAAB 类似可定义 和 ；nkkA11kkA（3）差运算 ； |BxAxxBA且(4) 若 ，则称事件B包含事件A；BA(5) ，则称事件A等于事件B， 记作 A=B ；ABBA,（6） 若 ，则称A，B是的 （的）；AB（7）若 且 ，则称A，B 互为（），A的对立事件 记作为 ；ABSBAA3、事件运算定律（1）交换律 ABBA BAAB （2）结合律 CBACBA)()(CABBCA)()()()(CABABCA（3）分配律 )()()(ACABCBABABA（4）德摩根律

4、BAAB要学会利用已知的事件来表示另外的事件要学会利用已知的事件来表示另外的事件例如假设A、B、C是三个事件，试表示以下事件：（1） A、B、C都发生；（2） A、B、C都不发生；（3） A、B、C中至少有一个发生；2 概率的定义及其性质一、概率的定义设S是随机试验E的样本空间， 是一个定义在由E的所有事件组成的集合上的集合函数，即对E的每一个事件A，都有一个实数 和它对应，并且 满足以下条件：)(P)(AP)(P(1) 非负性 对每一个事件A，都有 ；(2) 规范性 ；(3) 可列可加性 设 是可列个两两互不相 容事件，则有 0)(AP1)(SP11)()(kkkkAPAP 则称 是样本空间

5、S的一个,并称 是。)(P)(AP,21AA二、概率的性质 (1) ； 0)(P (2) 有限可加性有限可加性 设 是有限个两两互不相容 事件，则 ;nAAA,21nkknkkAPAP11)()(3) 设A，B是两个事件，若 ，则 , 并且 ;BA)()()(APBPABP)()(APBP(4) 对于任一事件A，都有 ；1)(AP(5) 对于任一事件A，有 ；)(1)(APAP)(ABBABA)()()(ABBPAPBAP)()()(ABPBPAP)(ABBABAB 因为所以(6) 加法公式加法公式 对于任意两个事件A、B，有 )()()()(ABPBPAPBAP性质(6) 还可以作以下进一步

6、的推广：)()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAPnkjinnkjinjijiniinAAPAAAPAAPAPAAAP1111121)() 1()()()()(由P（A）=0，不能就得出A为不可能事件的结论！注意 ：由由 不能推出，同样由不能推出，同样由 也不得出也不得出 。 0)(APA1)(APSA )()()()(ABPAPBAPBAP)(1)()(BAPBAPBAP)(1)()(ABPABPBAP)()()(BPAPBAP当A、B不相容时，三、几个常用的概率公式古典概型与几何概型一、古典概型定义我们将满足以下条件的试验称

7、为：(1) 试验的样本空间只包含有限个元素；(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同；例如1 中的第 、 个试验都是等可能概型。2E3E设试验的样本空间为，若事件中包含个基本事件，即 ，则有。,21neeeSk21kiiieeeA中基本事件的总数所包含的基本事件数SAnkePAPklil1)()(例1：将一枚硬币抛掷三次，（1）设事件 为 “恰有一次出现正面”；（2）设事件 为“至少 有一次出现正面”，求 。1A2A)(),(21APAP二、举例例2：将 只球随机地放入 个盒子中， 试求每个盒子至多有一只球的概率。)(nNNnnnNnNnNPAPPAnNSn)(,)(,)(（）注：求任意 个

8、人有同一天生日的概率。rrrrrAPPAnSn365)1365(3643651)(,)(,365)(365例3： 设袋中有只白球，只红球，按无放回方式从中随机地抽取只球，求其中恰有 只白球的概率。nab)(akk ()nbaknbkaknbkanbaCCCAPCCAnCSn)(,)(,)(有件产品，其中有件次品，从中任取件，问其中恰有 件次品的概率为多少？NDn)(Dkk注意：这里我们是按组合的方式来考虑样本空间，也 可以以排列的方式来考虑样本空间。nNknDNkDknDNkDnNCCCAPCCAnCSn)(,)(,)(例： 袋中有只白球， 只红球，现有 个人依次在袋中取一只球，作不放回抽取,

9、 求第 人取到白球的概 率。ab), 2 , 1(kiik11)(,)(kbakbaAAnAn例5：在 的整数中随机地取一个数，问取到 的整数不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？200011、用古典概型来求事件A的概率时，首先要根据实际问题的需要，一定要使得该样本空间满足古典概型的两个条件；然后计算和。2、特别要注意放回抽样和不放回抽样两种抽样方式的 样本空间的确立。3、另外，在计算某一事件的概率时，可先求其它事件的概率，然后利用事件的和来求得所要求的事件的概率。三、小结4 随机事件的条件概率一、条件概率的定义样本空间为 ， ， ，由此可知在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率为 ，即

10、 。,TTTHHTHHS ,THHTHHA,TTHHB 31)()(APABP举例：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件 为“至少有一次为正面”，事件 为“两次掷出同一面”。求已知事件 已经发生的条件下事件 发生的概率。ABAB例如：在一个袋子中有5个黑球，3个白球，连续两次 摸球（不放回），（1）求第一次摸到白球，第 二次再摸到白球的概率；（2）已知第一次摸到 白球，求第二次摸到白球的概率。注意: 条件概率与积事件的不同含义。定义1： 设 是两个事件，且 ，称 为在事件 已经发生的条件下事件 B 发生的，记作 。0)(AP)()(APABP)|(ABPABA、条件概率符合概率定

11、义中的三个条件：(1) 非负性 ：对于每一事件B，都有 ；0)|(ABP(2) 规范性： ；1)|(ASP(3) 可列可加性： 设是 两两互 不相容的事件，则有 。,321BBB11)|()|(iiiiABPABP注：一般概率所具有的性质，条件概率也具有，例如：)|()|()|(),|(1)|(ABCPABPACBPABPABP二、 乘法定理（1）设 ，则有 ；0)(AP)()|()(APABPABP（2）设 ，则有 0)(ABP)()|()|()(APABPABCPABCP（3）设 ，则有0)(121nAAAP)()|()|()|()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPA

12、AAPnnnnn三、举例例1：设袋中装有 只红球， 只白球，每次从袋中任意取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。rta四、全概率公式和贝叶斯（Bayes）公式定义1： 设S为试验的E样本空间， 为 E的一组事件，若满足 （1） ；（2） ； 则称 为样本空间S的一个划分划分。nBBB,21jiBBnjiji, 2 , 1,SBnii1nBBB,21定理1： 设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件， 为S的一个划分,且 ， 则 。 nBBB,21), 2 , 1(0)(niBPi)()|()(

13、)|()()|()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP通常，称上为。定理2：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件， 为S的一个划分，且 ， ，则 称上式为。nBBB,210)(AP), 2 , 1(0)(niBPinkkkiiiBPBAPBPBAPABP1)()|()()|()|(五、举例例1： 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？注：注：这里有两个机器调整良好的概率，前一个机器调整良好的概率是

14、由以往的数据分析得到的，往往称这个概率为；而第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是得到信息之后再重新加以修正的概率，往往称它为。注：应用全概率公式和贝叶斯公式时，要确定好哪一组事件作为样本空间的划分。5 随机事件的独立性一、随机事件的独立性定义 若 ，一般情况下，A的发生对B发生的概率是有影响的。如果B的发生概率不受A发生的影响，这也就意味着 ， 因此 。这时就说A、B是独立的，所以采用以下的定义来定义两个事件的独立性。 0)(AP)()|(BPABP)()()()|()(BPAPAPABPABP 定义1： 设 是两个事件，如果满足 则称事件 相互独立（相互独立（简称独立）独立）。)()

15、()(BPAPABPBA、BA、 定义2：设是A、B、C三个事件，如果满足 则称A、B、C事件，若满足前三个条件,则称A、B、C。)()()(BPAPABP)()()(CPAPACP)()()(CPBPBCP)()()()(CPBPAPABCP可以将独立性的概念推广到三个事件独立性是指一个事件的发生不影响另一个实件的发生独立性是指一个事件的发生不影响另一个实件的发生。同样，可将独立性的概念推广到 个事件的情况。n定理1：设A、B是两个事件，且 ，若A、B相互 独立的，则 ，反之也成立 。0)(AP)()|(BPABP定理2：若事件A、B相互独立，则 与 ， 与 ， 与 各对事件也相互独立。AB

16、ABAB注： （1） ，若 ， 则 A、B独立；反之也成立；1)(0AP|ABPABP（2）要注意独立和不相容是两个不同的概念 不相容（或互斥）独立意味着 独立是意味着 AB)()()(BPAPABP例1、一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如下图所示，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第 个元件的可靠性为 ，试求系统的可靠性。i)4 , 3 , 2 , 1( ipi例2： 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 （ ）。问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利？p21p例3： 在某通信信道中，传送的字符为AAAA ，B

17、BBB，CCCC三者之一，假定传送这三组字符的概率分别0.3, 0.4, 0.3。由于信道噪声的干扰，每个字母被正确接收到的概率为0.6，而接收到其他两个字母的概率为0.2，假定前后字母是否被误传送不受影响，若接收到的字母为ABBC，求被传送的字母为AAAA的概率。一、随机变量的定义定义1：设随机试验E的样本空间为S，在S上定义一单值实函数 ， ， 称为。)(eXX Se)(eXX1 随机变量第二章 随机变量及其分布 为了能用数学分析的方法来研究随机现象的统计规律，将样本空间S中的每一个样本点对应到一个实数。有的随机试验，它的结果本身是一个数，即样本点 本身就是一个数，例如某工厂一天的耗电量，

18、这时，令 ，那么 就是一个随机变量。eeeXX)(X例如： 将一枚硬币抛掷三次，观察出现正反面的情况； 它的样本空间为 S：TTT，TTH，THT，HTT，HHT， HTH，THH，HHH；二、用随机变量表示随机事件设随机试验E的样本空间为S， 为定义在S上的，则 是一个随机事件，该事件表示为 。aX )(|aeXeSeeX),(同样，用 表示随机事件 ，用 表示随机事件 ，等等 。 )(|beXaebXaaX)(|aeXe一、离散型随机变量的定义定义1 若随机变量 的所有可能取值为有限或可列无限多个，则称 为。XX虽然可以用分布函数来描述一个随机变量的统计规律，但对于离散型随机变量来说，如果

19、知道它的所有可能 取值及其每一个可能值的概率，即知道 就可以知道它的统计规律性，所以我们可以用上式描述离散型随机变量的统计规律，通常我们称该式为离散型离散型随机变量的分布律随机变量的分布律，分布律也可以用以下表格的形式来表示： kkpxXP, 2 , 1k2 离散型随机变量及其分布律 由概率的定义， 满足如下条件： （1） ; （2） 。 kp, 2 , 1, 01kpk11kkp二、常见的离散型随机变量及其分布律 1、(0-1) 分布分布 如果 只能取0，1两个值，取1的概率为 ，则称 服从(0-1)分布，它的分布律为 XXpkkppkXP1)1 (1, 0k2 2、二项分布、二项分布 如果

20、一个试验 中只考虑两个事件 和 的发生，则称 为伯努利伯努利(Bernoulli) 试试验，将 独立地进行 次，则称这一串重复的独立试验为 重伯努利重伯努利(Bernoulli) 试试验。 EAAEnnE 例如，掷一颗骰子， 表示事件“掷出的点数大于3”，在试验中只考虑事件 和 的发生，这就是一个伯努利试验；将这个试验重复地做10次，这就是10重伯努利试验。 AAA在 重伯努利试验中，事件 发生的概率为 ，以 表示 重伯努利试验中 发生的次数，则称 服从参数为 ， 的二项分布。其分布律为 记作),(pnbXnApXnAknkknppCkXP)1 (nk, 3 , 2 , 1 , 0Xnp设 件

21、产品中有 件次品，从中有放回取出 件产品，设取出的件产品中的次品数为 ，则 的分布律为NMnXXMk, 2 , 1 , 0knkknNMNNMCkXP例2：假设某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为 ，现在从中随机地抽查20只，问(1) 20只元件中恰有只为一级品的概率是多少；(2) 20只元件中至少有2只为一级品的概率是多少？2 . 0例3： 有一批数量非常大的产品，次品率为 ，现从中抽出 件样品进行检验，如果全部合格，则这批产品被接收。但检验过程可能会出差错：一件次品被误认为是合格品的概率为 ，而一件合格品被认为是次品的概率为 ，假设各件产品的检

22、验是独立的，（1）求这批产品被接收的概率；（2）如果这批产品经检验被接收，求这 件样品确实都是合格品的概率。 apnnb3 3、泊松（、泊松（Possion）分布分布 !kekXPk, 2 , 1 , 0k记作 或)(PX)0()(X当 充分大时， ，即近似服从 。 !)(),(kenppnbnpkn)(np例5：某一医院在一天内的急诊病人数 服从参数为4的泊松分布，求一天有6个病人的概率，并求病人人数超过3的概率。X一、分布函数的定义由此可见， 是一个关于 的重要函数，它能反映随机现象的规律性，因此把它定义为分布函数。xxXP在实际中，一个随机事件 往往可用 ， 或 来表示。这样 的概率为

23、。 bX aX bXa,1,aXPbXPaXPbXPAA3 随机变量的分布函数二、分布函数的性质1、 是一个不减函数，对于任意实数 ， 有 。)(xF)(,2121xxxx0)()(2112xXxPxFxF2、 ，且 1)(0 xF1)(lim, 0)(limxFxFxx3、 是右连续的， 即 。)(xF)()(lim0 xFuFxu随机变量的分布函数是用来描述随机变量的规律性的函数。定义2：设 为一个随机变量，是任意实数 ，我们称函数 为 的分布函数。x)(xXPxFXX例1： 设 的分布函数为 求 。0.41.3, 1.5, 1.72PXP XPXX00/201( )1/2 11.511.

24、5xxxF xxxx 若离散型随机变量 的分布律为 X则它的分布函数为 。 xxiipxF)(三、离散型随机变量的分布函数例2： 设随机变量 的分布律为X求 的分布函数，并求X32,2/52/3,2/1XPXPXP32/3 XP。，4 连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量的定义 定义1：如果对于随机变量 的分布函数 ， 存在非负函数 ，使对于任意实数 有 则称 为连续型随机变量连续型随机变量，称函数 为 的概率密度函数概率密度函数(简称概概 率密度率密度) )。 )(xFX)(xfxxdttfxF)()(XX)(xf注：连续型随机变量的分布函数是连续函数连续型随机变量的分布函数是连续

25、函数。 二、概率密度函数 （1） ；0)(xf（2） ；1)(dxxf（3）对于任意实数 ，有)(,2121xxxx21)()()(1221xxdxxfxFxFxxxP（4）若 在 点处连续，则有 )(xfx)()(xfxF像离散型随机变量的规律性可用分布律来描述一样，连续型随机变量可用概率密度来描述其规律性。 对于连续型随机变量 来说，它取任一指定实数 值的概率均为0，即 Xa0 aXPbadxxfbXaPbXaPbXaP)(bdxxfbFbXPbXP)()(bdxxfbXPbXPbXP)(111因此，有这也就说明概率为零的事件不一定是不可能事件。 )0()()0()0(aFaFaFaFaX

26、P注意：在一般情况下有三、几种常见的连续型随机变量 1、均匀分布 定义2：若连续型随机变量 的概率密度为 X其它01)(bxaabxf则称 在区间 上服从均匀分布，记为 。 X),(ba),(baUX均匀分布的分布函数为 bxbxaabaxaxxF10)(2、 指数分布 定义3：若连续型随机变量 的概率密度为 X其它001)(/xexfx0称 服从参数为 的指数分布。 X指数分布的分布函数为 其它001)(/xexFx服从指数分布的随机变量具有无记忆性无记忆性，即 |tXPsXtsXP3、 正态分布 X定义4：若连续型随机变量 的概率密度为 X222)(21)(xexfx其中 为常数，则称服从

27、参数为 的正态分布正态分布（或高斯分布）高斯分布）记为 。 )0(,),(2NX2/221)(xexxtdtex2/221)()(1)(xx21)0(注：定理定理1 若 ，则 。),(2NX) 1 , 0( NXZ当 时，称 服从，它的概率密度和分布函数分别用 表示，即 1, 0)(),(xx X若 ， 则它的分布函数为 ),(2NXxxXPxXPxF)(abbXaP因此对于一般正态分布事件的概率，可以通过标准正态分布的分布函数 来求，而 的值可以查表得到（见课本附录）。 )(x)(x1) 1 (2) 1() 1 (1|XPXP注：注： 若随机变量若随机变量 ，则，则 概率概率 并不随并不随

28、的变化而变化的变化而变化。 ),(2NX|XP,定义5：设 ，若 满足 ， ，则 称为标准正态分布的 上上 分位点分位点。 ) 1 , 0( NXzXP10zz1)(2)()(aaaaXP(注意：怎样通过查表求得上注意：怎样通过查表求得上 分位点！分位点！) 注意 : 。zz1 X0.2 0.3 0.1 0.4例1：设随机变量 具有以下的分布律 试求 的分布律。 X2) 1( XY -1 0 1 2kp5 随机变量的函数的分布一、离散的情形二、连续的情形 例2、设随机变量 具有概率密度 ， ，求 的概率密度。 X)(xfXx2XY 特别地，若 ，则 （这是自由度为1的 分布）。 ) 1 , 0

29、( NX00021)(2/2/ 1yyeyyfyY2 定理：设随机变量 具有概率密度 ， 又设 处处可导且恒有 （或 ）， 则随机变量 的概率密度为 其中 是 的反函数，且 X)(xfXx)(xgy 0)( xg0)( xg)(XgY 其它0| )(|)()(yyhyhfyfXY)(),(mingg)(),(maxgg)(yhx )(xgy 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量及其分布一、二维随机变量定义定义定义1 1： 设 是随机试验E的样本空间，设 和 是定义在 上的随机 变量，由它们构成的一个向量 叫作 二维随机向量二维随机向量或二维随机变量。二维随机变

30、量。eS )(eXX )(eYY S）（YX,例如 S=某地区的全部学龄前儿童，对于S中每一个样本点 表示一个学龄前儿童， 和 分别表示这个这个儿童的身高和体重，则 就是一个二维随机变量。e)(eH)(eW),(WH二、二维随机变量分布函数的定义定义定义2 2：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数 ，称二元函数 为二维随机变量(X,Y)的，或称为随 机变量X和Y的。yx、,)()(),(yYxXPyYxXPyxF记成三、二维随机变量的分布函数的性质(1)1),(0yxFyx,（2） 是 或 的单调不减函数，),(yxFxy且对任意固定的 ，y0),( yF对任意固定的 ，x0),(xF0)

31、,(F1),(F，(3) 关于 (或 )是右连续的；),(yxFxy),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP(4)四、二维离散型随机变量定义3：如果二维随机变量 全部可能取到 的不相同的值是有限对或可列无限对，则称 是二维离散型随机变量二维离散型随机变量。),(YX),(YX二维离散型随机变量 的统计规律可以用),(YXijjipyYxXP),(, 2 , 1,ji来描述，我们称它为二维离散型随机变量的分分布律（布律（或称为随机变量和的联合分布律）联合分布律）。通常也可用以下表格来表示 和 的联合分布律XY这里的 满足 ，0ijp111ijijp

32、ijp五、二维连续型随机变量1、定义定义4：对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 ，如果存在非负函数 使得则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称函数 为二维型随机变量(X,Y)的概率密度概率密度（或称为随机变量X和Y的联合概率密度联合概率密度）。),(yxF),(yxf),(yxf xydudvvufyxF),(),(2、联合概率密度的性质0),(yxf(1) 1),(dxdyyxf(2)（3）设G是平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为GdxdyyxfGYXP),(),(4) 若 在点 连续，则有 ),(yxf),(yx),(),(2yxfyxyxF3、两个重要的二维连续型随机变量(1)

33、 二维均匀分布设 是平面上的有界区域，其面积为 ，若二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为其它0),(/1),(DyxAyxf则称 (X,Y) 服从。DDA(2) 二维正态分布 22222112112)(2121221121),(yyxxeyxf),(yx若二维随机变量 的联合概率密度为),(YX其中 为常数，且 ，则称 服从，记为 ,21211| , 0, 021),(),(222121NYX),(YX六、 维随机变量n 维随机变量的定义为n,),(221121nnnxXxXxXPxxxF若存在非负函数 ,使对于任意实数 有 则称 为 的概率密度函数概率密度函数。),(21nxxxfnxxx

34、,21 nnxxxnnndxdxdxxxxfxxxF11212121),(),(),(21nxxxf),(21nXXX七、边缘分布定义定义1 1：设 是一个二维随机变量，它的分布 函数为 ，通常我们可以分别将 和 看作是一维的随机变量，并将一维随 机变量 和 所对应的分布函数 分别称为二维随机变量 关于X 和关于Y的。),(YX),(yxFXYXY、)(xFX)(yFY),(YX),(,)(xFYxXPxXPxFX),(,)(yFyYXPyYPyFY1、二维离散型随机变量的边缘分布对于二维离散型随机变量，它的分布律为ijjipyYxXP),(, 2 , 1,ji则X和Y的分布函数为xxjijX

35、ipxFxF1),()(yyiijYjpyFyF1),()(X和Y的分布律为1)(jijipxXP, 2 , 1i1iijjpyYP, 2 , 1j, 2 , 1i, 2 , 1j定义定义2 2：记 1jiijixXPpp1ijijjyYPpp则称 和 为(X,Y) 关于X和关于Y的。), 2 , 1(ipi), 2 , 1(jpj例1： 一个整数N等可能地在 十个值 中取一个值，设 是能整除N的正整 数的个数， 是能整除N的素数的个数。 试求 和 的联合分布律，并求它们的边缘 分布律。 10, 3 , 2 , 1)(NDD )(NFF DF2、二维连续型随机变量的边缘分布dyyxfxfX),

36、()(定义3：对于连续型随机变量(X,Y)，设它的概率密度为 ，则X和Y的分布函数为),(yxfxXdudvvufxFxF),(),()(yYdvduvufyFyF),(),()(令 ，dxyxfyfY),()(我们称 为(X,Y)关于X和关于Y的边缘边缘概率密度概率密度。)(),(yfxfYX二维正态分布的边缘概率密度为21212)(121)(xXexf)(x22222)(221)(yYeyf)(y注意：在一般情况下，由关于注意：在一般情况下，由关于X X和关于和关于Y Y的边缘分布是的边缘分布是 不能确定随机变量不能确定随机变量X X和和Y Y的联合分布的的联合分布的。一、条件分布1、二维

37、离散型随机变量的条件分布定义4：设(X，Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 ，若 ，则称j0jyYPjijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(,|, 2 , 1i为在 条件下随机变量 的；jyY X对于固定的 ，若 ，则称i0ixXP为在 条件下随机变量 的；ixX YiijijiijppxXPyYxXPxXyYP)(,|, 2 , 1j2 条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性2、二维连续型随机变量的条件分布yyYxyydyyfdxdyyxfyYyxXP)(),(|xYYxdxyfyxfyfdxyxf)(),()(),(定义定义3 3： 设二维随机变量 的概率密度为

38、， 关于Y的边缘概率密度为 ，若对 于固定的 ， ，则称 为在 的条件下X的，记为 ；同时称 为在 的条 件下的，记为 或 。),(yxf)(yfYy0)(yfY)(),(yfyxfYyY )|(|yxfYXxydxyfyxf)(),(yY )|(|yxFYX)|(yYxXP),(YX),(YX类似地可定义在 的条件下Y的条件概率密度 和条件分布函数)(),()|(|xfyxfxyfXXYxX yXXYdyxfyxfxyF)(),()|(|注：这里 意味着在 的条件下， 的概率，即 yx|YPXyY aX aYXdxyxfyYaXP)|(|二、二、二维随机变量的独立性例如：人的身高和体重这两个

39、随机变量不是独立的， 但身高与视力是独立的两个随机变量。注意：注意：随机变量的独立性与随机事件的独立性的随机变量的独立性与随机事件的独立性的 关系关系。定义定义4:4: 设 和 分别是二维随机变量 的分布函数和边缘分布函数，若对于所有 都有则称随机变量X 和Y是独立的。),(yxF)(),(yFxFYXyx,),(),()()(),(yFxFyFxFyxFYX),(YX1、离散型随机变量的独立性对于离散型随机变量(X,Y)来说，X与Y相互独立等价于对所有可能的取值( )都有jiyx ,jijiyYPxXPyYxXP2、连续型随机变量的独立性对于连续型随机变量(X,Y)来说，X与Y相互独立等价于

40、几乎处处成立。),()()(yxfyfxfYX对于二维正态分布（对于二维正态分布（X，Y）来说，来说，X和和Y 相互独相互独立的充要条件是参数立的充要条件是参数 。0若 的分布函数为 ，则关于 的边缘分布函数为),(21nXXX),(21nxxxF), 2 , 1(niXi),()(iiXxFxFini, 2 , 1三、 维随机变量的独立性n若对于所有的 ，有nxxx,21)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn则称 是。nXXX,21若对于所有的 有nmyyyxxx,;,2121),(),(),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF则称随机矢量 与

41、 是。),(21mXXX),(21nYYY定理定理1 1：设随机矢量 与 相互独立，则 和 相互独立；若 是连续函数，则 和 相互独立。),(21mXXX),(21nYYY), 2 , 1(miXi), 2 , 1(njYjgh,),(21mXXXh),(21nYYYg3 两维随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、 的分布YXZ1、连续的情况设 的概率密度为 ，则的分布函数为),(yxfYXZdydxyxfdxdyyxfzZPzFyzzyxZ),(),()( zzyuxdudyyyufdudyyyuf),(),(),(YX所以 的概率密度为 或dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzf

42、Z),()(Z当 和 相互独立时，可得dxxzfxfzfYXZ)()()(XY)(*)()()(yfxfdyyfyzfYXYX同时，若 ，且相互独立相互独立，则), 2 , 1)(,(2niNXiii),(12121niiniinNXXX当当 和和 相互独立相互独立且且 ，则，则),(),(222211NYNX),(222121NYXZ)()( ,(222121babaNbYaXXY若 服从二维正态分布，则 服从正态分布;若 服从二维正态分布，则 都服从正态分布;若 都服从正态分布且相互独立，则 服从正态分布。),(YXbYaX ),(YXYX,YX,),(YX若 都服从 (0-1) 分布,且

43、相互独立,则 iX), 2 , 1(ni),(21pnbXXXn2、离散的情况若 相互独立，且则 的概率分布律为, 2 , 1,kbkYPakXPkkYX,YXZririiribairYiXPrYXPrZP00,若 且相互独立，则 。 )(),(21YX)(21YX若 且相互独立，则 ),(),(21pnbYpnbX),(21pnnbYX二、 和 的分布),max(YXM ),min(YXN 设 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数为 和 ，则 的分布函数为YX,)(xFX)(yFY),max( YXM )()(,),max()(maxzFzFzYzXPzYXPzFYX 的分布函数为),m

44、in(YXN ,1),min(1),min()(minzPzXPzYXPzYXPzF)(1)(1 11zFzFzYPzXPYX 和 的分布函数为设 是相互独立的随机变量，则nXXX,21),max(21nXXXM),min(21nXXXN)()()()(21maxzFzFzFzFnXXX)(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征我们知道随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量我们知道随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但有时不需要去全面考察随机变量的变化的统计特性，但有时不需要去全面考察随机变量的变化情况，而

45、只需知道随机变量的某些特征。与随机变量有情况，而只需知道随机变量的某些特征。与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。述随机变量在某些方面的重要特征。 1 1 数学期望数学期望一、数学期望的定义一、数学期望的定义定义定义1： 设离散型随机变量设离散型随机变量 的分布律为的分布律为 若级数若级数 绝对收敛，则称级数绝对收敛，则称级数 为为 随机变量随机变量 的的数学期望数学期望，记为，记为 。kkpxXP, 2 , 1k1kkkpx1kkkpx)(XEXX注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在

46、，注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在， 例如习题例如习题4 4。数学期望简称为数学期望简称为期望期望，又称为，又称为均值均值。定义定义2：设连续型随机变量：设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 ， 若积分若积分 绝对收敛，则称该积分绝对收敛，则称该积分 为随机变量为随机变量 的的数学期望数学期望，记为，记为 。)(xfdxxxf)()(XEXX二、数学期望的性质二、数学期望的性质ccE)(1)(2)()(XcEcXE(3)()()(YEXEYXE其中性质（其中性质（3）（）（4）可推广到有限个随机变量的情形。）可推广到有限个随机变量的情形。(4) 若随机变量若随机变量 和和 相

47、互独立相互独立，则有，则有)()()(YEXEXYEXY三、六种常见的分布的数学期望三、六种常见的分布的数学期望1、（、（0-1）分布）分布 pXE)(2、 二项分布二项分布nkinpXEXE0)()(3、 泊松分布泊松分布011)!1(!)(kkkkeekekekXE4、 均匀分布均匀分布babadxabxXE2)(5、指数分布、指数分布000/0/|1)(dxexexdedxexXExxxx0/|xe若若 ，则，则 6、正态分布、正态分布),(2NX)(XEXZ0)(2/2dtteZEt)()()(ZEZEXE四、随机变量函数的数学期望四、随机变量函数的数学期望1、一个随机变量的函数的数学

48、期望、一个随机变量的函数的数学期望注：这个定理告诉我们，求注：这个定理告诉我们，求 时，不需要算出时，不需要算出 的的 分布律或概率密度函数，只需利用分布律或概率密度函数，只需利用 的分布律或概的分布律或概 率密度函数。率密度函数。)(ZEZX定理定理1 1：(1) 当当 为离散型随机变量时，则为离散型随机变量时，则 的数学的数学 期望为期望为 ； (2)当当 为连续型随机变量时，则为连续型随机变量时，则 的数学的数学 期望为期望为 。 )(XgZ 1)(iiipxg)(XgZ dxxfxg)()(XX2、二个随机变量的函数的数学期望、二个随机变量的函数的数学期望定理定理2： (1) 当当 为

49、离散型随机变量时，则为离散型随机变量时，则 的数学期望为的数学期望为 ； (2) 当当 为连续型随机变量时，则为连续型随机变量时，则 的数学期望为的数学期望为 。),(YX),(YXgZ 11),(ijijjipyxg),(YX),(YXgZ dydxyxfyxg ),(),( 2 2 方方 差差一、方差的定义一、方差的定义定义：定义： 设设 是一个随机变量，若是一个随机变量，若 存在，则称存在，则称 为为 的的， 记作记作 （或（或 ），同时称），同时称 为为(或或) ，记作，记作 。X)(2XEXE)(2XEXEX)(XD)(XVar)(XD)(X注：随机变量的方差反映了它的取值与其数学期

50、望的偏注：随机变量的方差反映了它的取值与其数学期望的偏 离程度，它是衡量取值分散程度的一个尺度。离程度，它是衡量取值分散程度的一个尺度。对于离散型随机变量对于离散型随机变量12)()(kkkpXExXD对于连续型随机变量对于连续型随机变量dxxfXExXD)()()(222)()()(XEXEXD二、方差的性质二、方差的性质（1 1） 0)(cD（2 2） )()(2XDccXD（3 3） )()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD若若 独立独立，则，则 YX,)()()(YDXDYXD（4 4） 的充要条件是的充要条件是 以概率以概率1 1取常数取常数 ，即即0)(XDXc1 cXP

51、注：注：1 1、 不一定成立不一定成立。)()()(YDXDXYD2 2、 )()()()()(YEXEXYEYEYXEXE3、 若若 独立，则独立，则YX,)()()(222121YDkXDkYkXkD三、三、六种六种常见分布的方差常见分布的方差1 1、（、（0-10-1）分布）分布)1 ()(ppXD2 2、 二项分布二项分布)1 ()()(1pnpXDXDnkk3 3、 泊松分布泊松分布)(XD02!) 1()()1() 1()(kkkekkXEXXEXXXEXE2222)!2(kkke4 4、均匀分布、均匀分布12)(21)(222abbadxabxXDba5 5、指数分布、指数分布0

52、2/0/200/2/2222|)(1)(dxxeexedxdxexXExxxx222)()()(XEXEXD6 6、正态分布、正态分布),(2NXXZ0)(ZE121|2121)(2/2/2/22222dtetedtetZEttt22)()()(ZDZDXD1)()()(22ZEZEZD 3 3 协方差与相关系数协方差与相关系数 一、协方差与相关系数的定义一、协方差与相关系数的定义定义定义1 1：我们称：我们称 为随机变量为随机变量 与与 的的协方差协方差，记作，记作 ，同时，同时 称称 为随机变量为随机变量 与与 的的相关系数相关系数。)()(YEYXEXEX),(YXCov)()(),(Y

53、DXDYXCovXYXYY协方差、数学期望与方差有以下关系：协方差、数学期望与方差有以下关系：)()()(),(YEXEXYEYXCov),(2)()()(YXCovYDXDYXD二、协方差的性质二、协方差的性质0),(cXCov( 1 )( 2 )(),(XDXXCov( 3 ),(),(XYCovYXCov( 4 ),(),(YXabCovbYaXCov( 5 ),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov三、相关系数的性质及其含义三、相关系数的性质及其含义1|XY（1）（2） 的充要条件是存在常数的充要条件是存在常数 使使 , ,并且当并且当 时时, , ,当当 时时 。1|

54、XYba,1YbaXP0a1XY0a1XY相关系数相关系数 是反映是反映 之间线性关系紧密程度的量，之间线性关系紧密程度的量，当当 较大时，说明较大时，说明 之间线性关系的程度较好，之间线性关系的程度较好，反之，说明它们之间线性关系的程度较差反之，说明它们之间线性关系的程度较差。XYYX,|XYYX,若若 ，则称，则称 和和 不相关不相关，若，若 和和 相互独立，相互独立，则则 和和 不相关，反过来，若不相关，反过来，若 与与 不相关，不相关， 和和 却不一定相互独立。却不一定相互独立。0XYXYXYYXXYYX例如例如 设设 的分布律为的分布律为),(YX对于二维正态分布来说，对于二维正态分布来说， , ,而而 ， 相互独立相互独立的充要条件是的充要条件是 ，所以对于二维正态分布不相关，所以对于二维正态分布不相关与独立是等价的。与独立是等价的。XYXY0注：注： 成立的充要条件是成立的充要条件是 不不 相关，并不要求相关，并不要求 相互独立相互独立。)()()(YDXDYXDYX,YX,定义定义1 1：设：设 和和 是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在， 则称它为则称它为 的的 阶原点矩阶原点