D7-1基本概念D7-2可分离变量微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 第七章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程

2、 .目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2. 列车在平直路上以sm20的速度行驶, 获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .制动时目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数

3、导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或目录 上页 下页 返回 结束 ,00ts 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解21xy200ddtts引例24 . 022ddtsxxy2dd引例1 Cxy22122 . 0CtCts通

4、解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 初始条件初始条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 目录 上页 下页

5、 返回 结束 求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 QPQxyOx解解: 如图所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量一阶微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程( (适用于一阶微分方程适用于一阶微分方程) ) )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 特点：等式

6、的每一边仅是一个变量的函数与这个特点：等式的每一边仅是一个变量的函数与这个变量的微分之积变量的微分之积.目录 上页 下页 返回 结束 可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :1.分离变量，的形式；把方程化为xxyyd)(d)(;d)(d)(Cxxyy2.上式两端积分其中其中C为任意常数为任意常数.由上式确定的函数由上式确定的函数),(Cxyy 就是方程的通解（隐式通解）就是方程的通解（隐式通解）这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为变量分离法目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd

7、3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即x

8、uuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分离变量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有uue1积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,

9、 MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO目录 上页 下页 返回 结束 例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)e1 (tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的

10、函数关系. kgmv t 足够大时足够大时目录 上页 下页 返回 结束 m1例例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 tr解解: 由力学知, 水从孔口流出的流量为tVQddhgSk2即thgSkVd2d小孔横截面积为1cm2（如图）,的变化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhhO目录 上页 下页 返回 结束 对应流出的体积hrVdd222)1 (1hr22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解问题:22d(2)dkSgh thh

11、h 10th将方程分离变量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO目录 上页 下页 返回 结束 两端积分, 得2tk Sg 2334( h)5225Ch 利用初始条件, 得,1514C则得容10th器内水面高度 h 与时间 t 的关系:(s)737101(10068. 125234hht可见水流完所需时间为(s)10068. 14tm1rhhdhhO 因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSk目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P301 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊