第三章空间分布的测度(修改1)

1、2022-5-191第三章第三章 空间分布的测度空间分布的测度2022-5-192空间分布的测度 空间分布的类型空间分布的类型 点状分布的测度点状分布的测度 线状分布线状分布网络网络 面状分布的测度面状分布的测度32022-5-19一一 空间分布的类型空间分布的类型1.1.点状分布类型点状分布类型2.2.线状分布类型线状分布类型3.3.面状分布类型面状分布类型 城市城市河流河流行政区行政区42022-5-192022-5-1952022-5-196二二 点状分布的测度点状分布的测度（一）点状分布的测度方法（一）点状分布的测度方法 1.最邻近平均距离的测度 2.2.对中心位置的测度对中心位置的测

2、度 3.离散程度的测度（二）中心位置及其测度（二）中心位置及其测度 1.中项中心 2.平均中心2022-5-197 共有10个村庄，其位置见下表，试求其平均中心。地点地点12345678910X3.587.453.216.475.326.547.819.656.788.92Y6.896.414.234.586.312.976.357.435.984.47 2022-5-1983 3、重心、重心 借鉴力学原理，可以引入区域重心的概念：假设某一个借鉴力学原理，可以引入区域重心的概念：假设某一个区域由几个小区单元构成，其中第个小区单元的中心坐标区域由几个小区单元构成，其中第个小区单元的中心坐标为（为

3、（Xi，yi),Mi为该小区单元某种属性意义下的为该小区单元某种属性意义下的“重量重量”，则该属性意义下的区域重心的坐标为：则该属性意义下的区域重心的坐标为：niiniiiniiniiiMYMyMXMx1111/,/ 显然，若属性值为各个小区单元的面积，则空间均显然，若属性值为各个小区单元的面积，则空间均值就是区域的几何中心。当某一空间现象的空间均值显著值就是区域的几何中心。当某一空间现象的空间均值显著区别于区域几何中心，就指示了这一空间现象的不均衡分区别于区域几何中心，就指示了这一空间现象的不均衡分布，或称布，或称“重心偏离重心偏离”。偏离方向指示了空间现象的偏离方向指示了空间现象的“高高密

4、度密度”部位，偏离的距离则指示了均衡程度。部位，偏离的距离则指示了均衡程度。 2022-5-1992004年1982年36.1036.1136.1236.1336.14117.99118.00118.01118.02118.03118.04118.05118.06118.07118.08经 度 （ 单 位 ： 度 ）纬度（单位：度）山东省人口重心轨迹山东省人口重心轨迹 山东省几何中心（山东省几何中心（1189E，3614N） 2022-5-1910山东省山东省GDPGDP重心轨迹重心轨迹 36.236.2536.336.35118.2118.3118.4118.5118.6118.7118.8

5、经度（单位：度）纬度（单位：度）2022-5-1911山东省一产重心轨迹山东省一产重心轨迹 36.1536.236.2536.3118118.1118.2118.3118.4118.5经度（单位：度）纬度（单位：度）2022-5-1912山东省二产重心轨迹山东省二产重心轨迹 36.336.3536.436.4536.5118.45118.5118.55118.6118.65118.7118.75118.8经度（单位：度）纬度（单位：度）2022-5-1913山东省三产重心轨迹山东省三产重心轨迹 35.635.735.835.93636.136.236.336.4118.2118.4118.61

6、18.8119119.2119.4经度（单位：度）纬度（单位：度）2022-5-1914山东省社会消费品重心轨迹山东省社会消费品重心轨迹 36.236.2536.336.35118.3118.4118.5118.6118.7经度（单位：度）纬度（单位：度）2022-5-1915 以县市区为单元，利用以县市区为单元，利用Arcinfo求出每个单元的几何中求出每个单元的几何中心的横纵坐标，心的横纵坐标，M分别为人口和分别为人口和GDP，分别求出，分别求出1985年以年以来长江三角洲地区人口与来长江三角洲地区人口与GDP的重心，计算结果见图的重心，计算结果见图。120.3120.35120.4120

7、.45120.5120.55120.6120.651985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001人口、经济重心（经度）人口经济长江三角洲地区人口、长江三角洲地区人口、GDPGDP经度变化情况经度变化情况2022-5-191631.1831.231.2231.2431.2631.2831.331.3231.3431.3631.3819851986198719881989199019911992199319941995199619971998199920002001人口、经济重

8、心（纬度）人口经济长江三角洲地区人口、长江三角洲地区人口、GDPGDP纬度变化情况纬度变化情况2022-5-1917经度纬度济南117.3136.67青岛120.3636.09淄博118.0636.00枣庄117.5734.84东营118.0737.42烟台121.3536.54潍坊119.1136.70济宁116.3935.40泰安117.1336.18威海122.1237.47日照119.5435.39莱芜117.6736.20临沂118.3435.05德州116.3037.44聊城115.9836.44滨州118.0337.37菏泽115.4735.25分别求出分别求出1949-2007

9、1949-2007年山东省人口、年山东省人口、GDPGDP的重心的重心2022-5-1918三三 线状分布线状分布地理网络分析地理网络分析 网络分析，是运筹学的一个重要分支，它主网络分析，是运筹学的一个重要分支，它主要运用图论方法研究各类网络的结构及其优化问要运用图论方法研究各类网络的结构及其优化问题。题。 网络分析方法是计量地理学必不可少的重要网络分析方法是计量地理学必不可少的重要方法之一。方法之一。 对于许多现实的地理问题，譬如，城镇对于许多现实的地理问题，譬如，城镇体系问题体系问题、城市地域结构问题、交通问题、城市地域结构问题、交通问题、商业网点布局问题、物流问题、管道运输问商业网点布局

10、问题、物流问题、管道运输问题题、供电与通讯线路问题等等，都可以运用供电与通讯线路问题等等，都可以运用网络分析方法进行研究。网络分析方法进行研究。 2022-5-1919地理网络分析的主要内容地理网络分析的主要内容（一）地理网络的图论描述（一）地理网络的图论描述 （二）最短路径与选址问题（二）最短路径与选址问题（三）最大流与最小费用流（三）最大流与最小费用流2022-5-1920( (一一) ) 地理网络的图论描述地理网络的图论描述1 1、地理网络的图论描述、地理网络的图论描述2 2、地理网络的测度、地理网络的测度2022-5-1921 通俗意义上的通俗意义上的“图图”，主要是指各种各样，主要是

11、指各种各样的地图、遥感影像图，或者是由各种符号、文的地图、遥感影像图，或者是由各种符号、文字代表的示意图，或者是由各种地理数据绘制字代表的示意图，或者是由各种地理数据绘制而成的曲线图、直方图等等。而成的曲线图、直方图等等。 图论中的图论中的“图图”，是一个数学概念，这种，是一个数学概念，这种“图图”能从数学本质上揭示地理实体与地理事物空间分布能从数学本质上揭示地理实体与地理事物空间分布格局，地理要素之间的相互联系以及它们在地域空格局，地理要素之间的相互联系以及它们在地域空间上的运动形式、地理事件发生的先后顺序等。间上的运动形式、地理事件发生的先后顺序等。2022-5-1922 1）图：）图：

12、设设V是一个由是一个由n个点个点vi (i=1，2，n)所组成的集合，即所组成的集合，即V=v1，v2，vn，E是是一个由一个由m条线条线ei（i=1，2，m）所组成的集）所组成的集合，即合，即E=e1，e2，em，而且，而且E中任意一条中任意一条线，都是以线，都是以V中的点为端点；任意两条线除了中的点为端点；任意两条线除了端点外没有其他的公共点。端点外没有其他的公共点。 1 1、地理网络的图论描述、地理网络的图论描述（1）图的定义）图的定义 那么，把那么，把V与与E结合在一起就构成了一个图结合在一起就构成了一个图G，记，记作作G（V，E）。）。2022-5-1923 3）边：）边：E中每一条

13、线称为图中每一条线称为图G 的边（或弧）；若一的边（或弧）；若一条边条边e连接连接u，v两个顶点，则记为两个顶点，则记为e（u，v）。）。 2）顶点：）顶点： V中的每一个点中的每一个点vi（i=1，2，n）称为）称为图图G的顶点。的顶点。 4）在图）在图G（V，E）中，）中，V不允许是空集，但不允许是空集，但E可以可以是空集。是空集。 5）从以上定义可以看出，图包含两个方面的基本要素：）从以上定义可以看出，图包含两个方面的基本要素： 点集（或称顶点集）；边集（或称弧集）。点集（或称顶点集）；边集（或称弧集）。2022-5-1924例：在如下图所示的图中，例：在如下图所示的图中，顶点集为顶点集

14、为 Vv1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，v8，边集为，边集为Ee1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11 。2022-5-1925 6 6）在现实地理系统中，对于地理位置、地理实体、地）在现实地理系统中，对于地理位置、地理实体、地理区域以及它们之间的相互联系，可以经过一定的简化与理区域以及它们之间的相互联系，可以经过一定的简化与抽象，将它们描述为图论意义下的地理网络，即图。抽象，将它们描述为图论意义下的地理网络，即图。 地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、河流汇聚点、车站、码头、村庄、城镇等汇聚点、车站、码头

15、、村庄、城镇等点。点。 它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、交通线、供电与通讯线路、人口流、物质流、资金流、信息流、技供电与通讯线路、人口流、物质流、资金流、信息流、技术流等术流等点与点的连线。点与点的连线。 一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统，如一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系统，如果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河流果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河流线，河流分岔线，河流分岔或汇聚处或汇聚处点，流域地貌系统点，流域地貌系统水系的基本结局水系的基本结局（树）。（树）。 2022-5-1926列昂纳德欧拉7桥问题 东普鲁士的哥尼斯

16、堡城是建在两条河流的汇合处以及河中东普鲁士的哥尼斯堡城是建在两条河流的汇合处以及河中的两个小岛上的，共有的两个小岛上的，共有7 7座小桥将两个小岛及小岛与城市的其座小桥将两个小岛及小岛与城市的其他部分连接起来，那么，哥尼斯堡人从其住所出发，能否恰好他部分连接起来，那么，哥尼斯堡人从其住所出发，能否恰好只经过每座小桥一次而返回原处？图论研究结果告诉我们，其只经过每座小桥一次而返回原处？图论研究结果告诉我们，其答案是否定的。答案是否定的。2022-5-1927现在问题可以叙述为：以现在问题可以叙述为：以A，B，C，D这四点这四点中的任一点为起点，能否不重复地用一笔便将中的任一点为起点，能否不重复地

17、用一笔便将上面的图形画出来。上面的图形画出来。2022-5-1928一个图如果能够不重复地一笔画成，那么它必须有一个起一个图如果能够不重复地一笔画成，那么它必须有一个起点和一个终点。点和一个终点。n如果起点与终点是同一个点，那么从这点出发的路线条数如果起点与终点是同一个点，那么从这点出发的路线条数与回来的路线条数是一样多的，而且这些通路又不能重复与回来的路线条数是一样多的，而且这些通路又不能重复使用，因此与此点相连的通路有偶数条。同样，中间经过使用，因此与此点相连的通路有偶数条。同样，中间经过的点进去和出来的通路也应该是偶数条。具有这种性质的的点进去和出来的通路也应该是偶数条。具有这种性质的点

18、，我们称为偶点。点，我们称为偶点。n如果起点与终点不相同，按照上面的推理，知道连接这两如果起点与终点不相同，按照上面的推理，知道连接这两个点的通路应该是奇数条。这样的点我们称为奇点。个点的通路应该是奇数条。这样的点我们称为奇点。 结论：如果一个图能不重复地一笔画而成，那么它必须结论：如果一个图能不重复地一笔画而成，那么它必须具有的奇点数或者是具有的奇点数或者是0，或者是，或者是2这是因为中间点都是偶这是因为中间点都是偶点，只有起点和终点才可能是奇点。点，只有起点和终点才可能是奇点。2022-5-1929 7 7）需要说明的是：图的定义只关注点）需要说明的是：图的定义只关注点之间之间是否是否连通

19、，而不关注点之间的连通，而不关注点之间的连结连结方式。对于任何一个方式。对于任何一个图，他的画法并不唯一。图，他的画法并不唯一。 2022-5-1930（2 2）图的）图的一些一些相关概念相关概念 1）无向图与有向图：）无向图与有向图： 无向图无向图图的每条边都没有给定方向，图的每条边都没有给定方向， 即（即（u，v）（）（v，u）；）；有向图有向图图的每条边都给定了方向，图的每条边都给定了方向， 即（即（u，v）（v，u）。）。 一般将有向图的边集记为一般将有向图的边集记为A，无向图的边集记为，无向图的边集记为E。这样，。这样，G=（V，A）就表示有向图，而）就表示有向图，而G=（V，E）则

20、表示无向图。）则表示无向图。有向图2022-5-19312 2）赋权图：如果图）赋权图：如果图G G（V V，E E）中的每一条边（）中的每一条边（v vi i，v vj j）都相应地）都相应地赋有一个数值赋有一个数值w wijij，则称，则称G G为赋权图，其中为赋权图，其中w wijij称为边（称为边（v vi i，v vj j）的）的权值。权值。 除了可以给图的边赋权外，也可以给图的顶点赋权。这就除了可以给图的边赋权外，也可以给图的顶点赋权。这就是说，对于图是说，对于图G G中的每一顶点中的每一顶点v vj j，也可以赋予一个载荷，也可以赋予一个载荷a a( (v vj j) )。3 3

21、）关联边：若）关联边：若e e（u u，v v），则称），则称u u和和v v是边是边e e的端点，的端点，e e是是u u和和v v的的关联边。关联边。4）连通图。在图）连通图。在图G中，若任何两点之间至少存在一条路（对于有中，若任何两点之间至少存在一条路（对于有向图，则不考虑边的方向），则称向图，则不考虑边的方向），则称G为连通图，否则称为不连为连通图，否则称为不连通图。通图。5）回路：若一条路的起点与终点相同，即）回路：若一条路的起点与终点相同，即vi1=vik，则称它为回路。，则称它为回路。6）基础图：从一个有向图）基础图：从一个有向图D（V，A）中去掉所有边上的箭头所）中去掉所有边上

22、的箭头所得到的无向图，就称为得到的无向图，就称为D的基础图，记之为的基础图，记之为G（D）。）。 2022-5-19322 2、地理网络的测度、地理网络的测度 许多现实的地理问题，只要经过一定的简化和抽许多现实的地理问题，只要经过一定的简化和抽象，就可以将它们描述为图论意义下的地理网络，点象，就可以将它们描述为图论意义下的地理网络，点和线的排布格局，并可以进一步定量化地测度它们的和线的排布格局，并可以进一步定量化地测度它们的拓扑结构，以及连通性和复杂性。拓扑结构，以及连通性和复杂性。 树状型树状型地理网络地理网络平面网络（二维的）平面网络（二维的）非平面网络（非二维的）非平面网络（非二维的）道

23、路型道路型环状型环状型细胞型细胞型地理网络的拓扑分类图地理网络的拓扑分类图2022-5-1933 目前关于地理网络的拓扑研究，最多、最常见的目前关于地理网络的拓扑研究，最多、最常见的是基于平面图描述的二维平面网络。是基于平面图描述的二维平面网络。 所谓平面图，被规定为：各连线之间不能交叉，所谓平面图，被规定为：各连线之间不能交叉，而且每一条连线除顶点以外，不能再有其他的公共点而且每一条连线除顶点以外，不能再有其他的公共点（牛文元，（牛文元，19871987）。）。 以下的讨论，除非特别申明外，都限于二维平面以下的讨论，除非特别申明外，都限于二维平面网络。网络。 2022-5-1934（1 1）

24、关联矩阵）关联矩阵 测度网络图中顶点与边的关联关系。 假设网络图G（V，E）的顶点集为V=v1，v2，vn，边集为E=e1，e2，em，则该网络图的关联矩阵就是一个nm矩阵，可表示为 nmnnmmgggggggggGL212222111211)( 式中：式中：gij为顶为顶点点vi与边与边ej相关相关联的次数。联的次数。 2022-5-1935v3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7该图的关联矩阵为 01110000001100110011000000111010001)(GL例：例： 2022-5-1936 测度网络图中各顶点之间的连通性程度。测度网络图中各顶点之间的连通性程度。 假

25、设图假设图G（V，E）的顶点集为）的顶点集为V=v1，v2，vn，则邻接矩阵是一个，则邻接矩阵是一个n阶方阵，可表阶方阵，可表示为示为 nnnnnnaaaaaaaaaGA212222111211)( 式中：式中：aij表示表示连接顶点连接顶点vi与与vj的边的数目。的边的数目。 （2）邻接矩阵）邻接矩阵2022-5-1937该图的邻接矩阵为 0110110100110110010110110)(GAv3v1v2v4v5e1e2e3e4e5e6e7例：例： 2022-5-1938（二）（二） 最短路径与选址问题最短路径与选址问题 1、最短路径问题2、选址问题2022-5-1939 对于许多地理问

26、题，当它们被抽象为图对于许多地理问题，当它们被抽象为图论意义下的网络图时，问题的核心就变成了论意义下的网络图时，问题的核心就变成了网络图上的优化计算问题。其中，最为常见网络图上的优化计算问题。其中，最为常见的是关于路径和顶点的优选计算问题。的是关于路径和顶点的优选计算问题。 在路径的优选计算问题中，最常见的是在路径的优选计算问题中，最常见的是最短路径问题；而在顶点的优选计算问题中，最短路径问题；而在顶点的优选计算问题中，最为常见的是中心点和中位点选址问题。最为常见的是中心点和中位点选址问题。 2022-5-1940“纯距离纯距离”意义上的最短路径意义上的最短路径 例如，需要运送一批物资从一个城

27、市到另一个城市，选择什么样的运输路线距离最短？“经济距离经济距离”意义上的最短路径意义上的最短路径 例如，某公司在10大港口C1，C2，C10设有货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由市场动态决定的。如果两个港口之间无直接通航路线，则通过第三个港口转运。那么，各个港口之间最廉价的货运线路是什么？1 1、最短路径问题、最短路径问题（1 1）最短路径的含义）最短路径的含义2022-5-1941 “时间时间”意义上的最短路径意义上的最短路径 例如，某家经营公司有一批货物急需从一个城市运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河流航运、航空运输等4种运输方式和各个运输线路所构成的交通网络中，究竟选择怎

28、样的运输路线最节省时间？ 以上以上3 3类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权图类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权图上的最短路径问题。上的最短路径问题。 不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中边的权值。不同意义下的距离都可以被抽象为网络图中边的权值。 权权这种权值既可以代表这种权值既可以代表“纯距离纯距离 ” ”，又可以代，又可以代表表“经济距离经济距离 ” ”，也可以代表，也可以代表“时间距离时间距离 ” ”。 2022-5-1942（2 2）最短路径的算法最短路径的算法 标号法标号法 1959年E.W.Dijkstar 提出的标号法是最短路径问题最好的求解方法 。 标号法优点标号法优点

29、 不仅可以求出起点到终点的最短路径及其长度，而且可以求出起点到其他任何一个顶点的最短路径及其长度；同时适用于求解有向图或无向图上的最短路径问题。.2022-5-1943n标号法的基本思想标号法的基本思想 设设G G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边，都赋予了一是一个赋权有向图，即对于图中的每一条边，都赋予了一个权值。在图个权值。在图G G中指定两个顶点，确定为起点和终点，不妨设中指定两个顶点，确定为起点和终点，不妨设v v1 1为为起点，起点，v vk k为终点。为终点。 首先首先从从v1开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些标号，开始，给每一个顶点标一个数，称为标号。这些标号，又进一

30、步区分为又进一步区分为T标号和标号和P标号两种类型。其中，每一个顶点的标号两种类型。其中，每一个顶点的T标标号表示从起点号表示从起点v1到该点的最短路径长度的上界，这种标号为临时标到该点的最短路径长度的上界，这种标号为临时标号；号；P标号表示从标号表示从v1到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。到该点的最短路长度，这种标号为固定标号。 在最短路径计算过程中，对于已经得到在最短路径计算过程中，对于已经得到P标号的顶点，不再改标号的顶点，不再改变其标号；对于凡是没有标上变其标号；对于凡是没有标上P标号的顶点，先给它一个标号的顶点，先给它一个T标号；算标号；算法的每一步就是把顶点的法的每一步就是把

31、顶点的T标号逐步修改，将其变为标号逐步修改，将其变为P标号。标号。 那么，最多经过那么，最多经过k-1-1步，就可以求得到从起点步，就可以求得到从起点v1到每一个顶点的到每一个顶点的最短路径及其长度。最短路径及其长度。2022-5-1944n标号法具体计算步骤标号法具体计算步骤 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于所有这样的点 将其T标号修改为：minT(vj)，P(vi)+wij。 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 vj0 的T标号修改为P标号，然后再转入。 其中， vj0满足 开始，先给v1标上P标号P(v1) 0，其余各点标上T标号T(vj)+（j1）。 )(min)(0jjvT

32、vT0jv0jv标号的标号是而且TvEvvvjjij,2022-5-1945例例1：在图所示的赋权有向图中，每一个顶点：在图所示的赋权有向图中，每一个顶点vi（i=1，2，n）代表一个城镇；每一条边代表）代表一个城镇；每一条边代表相应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字相应两个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表示。试求城镇表示。试求城镇v1到到v7之间的最短路径。之间的最短路径。 赋权有向交通网络图2022-5-1946解：首先给解：首先给v1标上标上P标号标号P(v1)=0，表示从，表示从v1到到v1的最短的最短路径为零。其他点路径为零。其他点(v2，v3，v7)标上标上T标号标号T

33、(vj)+（j2，3，7）。）。 第第1步：步： v1是刚得到是刚得到P标号的点。因为标号的点。因为(v1，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)E，而且，而且v2，v3，v4是是T标号，所以标号，所以修改这修改这3个点的个点的T标号为标号为 T(v2)minT(v2)，P(v1)+w12min +，0+22 T(v3)minT(v3)，P(v1)+w13 min +，0+55 T(v4)minT(v4)，P(v1)+w14 min +，0+33 在所有T标号中，T(V2)2最小，于是令P(V2)2。2022-5-1947 第第2步：步： v2是刚得到是刚得到P标号的点。因为标号的点。因为(v

34、2，v3)，(v2，v6)E，而且，而且v3, v6是是T标号，故修改标号，故修改v3和和v6的的T标号标号为为 T(v3)minT(v3)，P(v2)+w23min5，2+24 T(v6)minT(v6)，P(v2)+w26min+，2+79 在所有的T标号中，T(v4)3最小，于是令P(v4)3。2022-5-1948 第第3步步： v4是刚得到P标号的点。因为(v4，v5)E，而且v5是T标号，故修改v5的T标号为 T(v5)minT(v5)，P(v4)+w45min+，3+58 在所有的T标号中，T(v3)4最小，故令P(v3)4。2022-5-1949 第第4步：步： v3是刚得到P

35、标号的点。因为(v3，v5)，(v3，v6)E，而且v5和v6为T标号，故修改v5和v6的T标号为 T(v5)minT(v5)，P(v3)+w35min8，4+37 T(v6)minT(v6)，P(v3)+w36min9，4+59 在所有的T标号中，T(v5)7最小，故令P(v5)7。 2022-5-1950 第第5步：步： v5是刚得到P标号的点。因为(v5，v6)，(v5 ，v7)E，而且v6和v7都是T标号，故修改它们的T标号为 T(v6)minT(v6)，P(v5)+w56min9，7+1= 8 T(v7)minT(v7)，P(v5)+w57min+，7+7=14 在所有T标号中，T(

36、v6)8最小，于是令：P(v6)8。2022-5-1951 第第6步：步： v6是刚得到P标号的点。因为(v6，v7)E，而且v7为T标号，故修改它的T标号为 T(v7)minT(v7)，P(v6)+w67min14，8+5=13 目前只有v7是T标号，故令：P(v7)13。 从城镇v1到v7之间的最短路径为(v1，v2，v3，v5，v6，v7)，最短路径长度为13。 2022-5-19522、选址问题、选址问题 选址问题，是现代地理学研究的主要问题之一。选址问题涉及人类生产、生活、文化、娱乐等各个方面。 选址问题的数学模型取决于两个方面的条件 ：可供选址的范围、条件；怎样判定选址的质量。 本

37、节的讨论仅限于选址的范围是一个地理网络，而且选址位置位于网络图的某一个或几个顶点上。 对这样的选址问题，根据其选址的质量判据，可以将其归纳为求网络图的中心点与中位点两类问题。 2022-5-1953（1 1）中心点选址问题中心点选址问题 例：某县要在其所辖的例：某县要在其所辖的6个乡镇之一修建一个消防个乡镇之一修建一个消防站，为站，为6个乡镇服务，要求消防站至最远乡镇的距个乡镇服务，要求消防站至最远乡镇的距离达到最小。离达到最小。 n中心点选址问题的质量判据中心点选址问题的质量判据 使最佳选址位置所在的顶点的最大服务距离为最小。使最佳选址位置所在的顶点的最大服务距离为最小。 中心点选址问题适宜

38、于医院、消防站点等一类服中心点选址问题适宜于医院、消防站点等一类服务设施的布局问题。务设施的布局问题。 2022-5-1954 设设G（V，E）是一个无向简单连通赋权图，）是一个无向简单连通赋权图，连接两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，连接两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，对于每一个顶点对于每一个顶点vi，它与各个顶点之间的最短路径，它与各个顶点之间的最短路径长度为长度为di1，di2，din。这些距离中的最大数称。这些距离中的最大数称为顶点为顶点vi的最大服务距离，记为的最大服务距离，记为e(vi)。 那么，中心点选址问题，就是求网络图那么，中心点选址问题，就是求网络图G的的中心点中

39、心点Vi0 ，使得，使得 )(min)(0iiiveven中心点选址问题的数学描述中心点选址问题的数学描述 2022-5-1955例例2：假设某县下属的：假设某县下属的6 6个乡镇及其之间公路联系如图个乡镇及其之间公路联系如图所示。每一顶点代表一个乡镇；每一条边代表连接两所示。每一顶点代表一个乡镇；每一条边代表连接两个乡镇之间的公路，每一条边旁的数字代表该条公路个乡镇之间的公路，每一条边旁的数字代表该条公路的长度。现在要设立一个消防站，为全县的的长度。现在要设立一个消防站，为全县的6 6个乡镇服个乡镇服务。试问该消防站应该设在哪一个乡镇（顶点）？务。试问该消防站应该设在哪一个乡镇（顶点）？ 2

40、022-5-1956解：第解：第1步：用标号法求出每一个顶点步：用标号法求出每一个顶点vi至其他各至其他各个顶点个顶点vj的最短路径长度的最短路径长度dij（i，j 1，2，6），并将它们写成如下的距离矩阵），并将它们写成如下的距离矩阵027474205256750343423036754303463630666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211ddddddddddddddddddddddddddddddddddddD2022-5-1957 第第2步：步：求每一个顶点的最大服务距离。显然，它

41、们分别是矩阵D中各行的最大值，即： e(v1)6，e(v2)7，e(v3)6，e(v4)7，e(v5)6，e(v6)7。 第第3步：步：判定。因为e(v1)e(v3)e(v5)mine(vi)6，所以v1，v3，v5都是中心点。也就是说，消防站设在v1，v3，v5中任何一个顶点上都是可行的。 2022-5-1958 中位点选址问题的质量判据中位点选址问题的质量判据 使最佳选址位置所在的顶点到网络图中其他各个顶点的最短路径距离的总和（或者以各个顶点的载荷加权求和）达到最小。（2 2）中位点选址问题）中位点选址问题2022-5-1959 中位点选址问题的数学描述中位点选址问题的数学描述 设G（V，

42、E）是一个简单连通赋权无向图，连接两个顶点的边的权值为该两顶点之间的距离；对于每一个顶点vi（i1，2，n），有一个正的负荷a(vi)，而且它与其他各顶点之间的最短路径长度为di1，di2，din。那么，中位点选址问题，就是求图G的中位点V Vi0i0 ，使得 0ivnjijjiiiidvavSvS10)(min)(min)(2022-5-1960例例3：某县下属：某县下属7个乡镇，各乡镇所拥有的人口数个乡镇，各乡镇所拥有的人口数a(vi)（i=1，2，7），以及各乡镇之间的距离），以及各乡镇之间的距离wij（i，j=1，2，7）如图所示。现在需要设立一个中心邮局）如图所示。现在需要设立一个中

43、心邮局，为全县所辖的，为全县所辖的7个乡镇共同服务。问该中心邮局应该个乡镇共同服务。问该中心邮局应该设在哪一个乡镇（顶点）？设在哪一个乡镇（顶点）？ 2022-5-1961解：解：第第1步：步：用标号法求出每一个顶点vi至其他各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j 1，2，7），并将其写成如下距离矩阵 77767574737271676665646362615756555453525147464544434241373635343332312726252423222117161514131211ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd

44、D05 . 13 . 63 . 35365 . 108 . 48 . 15 . 35 . 15 . 43 . 68 . 40353 . 63 . 93 . 38 . 13023 . 33 . 655 . 35202535 . 13 . 63 . 320365 . 43 . 93 . 65302022-5-1962 第第2 2步：以各顶点的载荷（人口数）加权，求每步：以各顶点的载荷（人口数）加权，求每一个顶点至其他各个顶点的最短路径长度的加权和一个顶点至其他各个顶点的最短路径长度的加权和 3 .122)()(7111jjjdvavS3 .71)()(7122jjjdvavS5 .69)()(71

45、33jjjdvavS5 .69)()(7144jjjdvavS2022-5-19635 .108)()(7155jjjdvavS8 .72)()(7166jjjdvavS3 .95)()(7177jjjdvavS 第3步：判断。因为 所以，v3和v4都是图10.2.3的中位点。即：中心邮局设在点v3或点v4都是可行的。 71435 .69minjijjidvavSvS2022-5-1964四、面状分布的测度四、面状分布的测度n罗伦次曲线与集中化指数罗伦次曲线与集中化指数 2022-5-1965（一）罗伦次曲线（单因素）（一）罗伦次曲线（单因素） 20世纪初，意大利统计学家罗伦次（M. Lore

46、nz），首先使用累计频率曲线研究工业化的集中化程度。后来，这种曲线就被称之为罗伦次曲线。 2022-5-19661.1.绘制罗伦次曲线绘制罗伦次曲线实例实例 （1 1）将某地区各产业部门的收入及其占总收入）将某地区各产业部门的收入及其占总收入比重表（百分比），从大到小重新排序；比重表（百分比），从大到小重新排序；（2 2）从大到小，逐次计算累计百分；）从大到小，逐次计算累计百分；（3 3）以自然序号为横坐标）以自然序号为横坐标( (x) )，累计百分比为纵，累计百分比为纵坐标坐标( (y) )；以（部门代码，累计百分比）为坐；以（部门代码，累计百分比）为坐标点，连成一个上凸的曲线，即罗伦次曲线

47、。标点，连成一个上凸的曲线，即罗伦次曲线。2022-5-1967某地区农户家庭经营性纯收入水平及其构成表某地区农户家庭经营性纯收入水平及其构成表2022-5-196819991999年农户家庭经营性纯年农户家庭经营性纯收入构成的罗伦次曲线图收入构成的罗伦次曲线图20042004年农户家庭经营性纯年农户家庭经营性纯收入构成的罗伦次曲线图收入构成的罗伦次曲线图2022-5-1969结果分析 罗伦次曲线的上凸程度，表示农户家庭经罗伦次曲线的上凸程度，表示农户家庭经营性纯收入的部门集中化程度。上凸程度越大，营性纯收入的部门集中化程度。上凸程度越大，就表示农户家庭经营性纯收入越是集中于某些就表示农户家庭

48、经营性纯收入越是集中于某些产业部门。产业部门。 如果各个产业部门的收入是均等的，则罗如果各个产业部门的收入是均等的，则罗伦次曲线正好就变成了正方形的对角线。伦次曲线正好就变成了正方形的对角线。 比较两图，可以看出该地区比较两图，可以看出该地区19991999年农户家年农户家庭经营性纯收入的部门集中化程度高于庭经营性纯收入的部门集中化程度高于20042004年。年。 2022-5-1970 假若罗伦次曲线的解析式为：假若罗伦次曲线的解析式为： 显然，该曲线下方区域的面积为：显然，该曲线下方区域的面积为： 当数据均匀分布时，当数据均匀分布时，A就变成了对角线以下三角就变成了对角线以下三角形的面积（

49、形的面积（R）；当数据集中于一点时，）；当数据集中于一点时，A A就变成了整就变成了整个正方形的面积（个正方形的面积（M）。2.2.集中化指数集中化指数 集中化指数集中化指数 是一个描述地理数据分布的集中化程度是一个描述地理数据分布的集中化程度的指数。的指数。 RMRAInXXfY, 2 , 1 , 0)(XXfAnd )(0。，2022-5-1971 显然，显然，I越大，就说明数据分布的集中化越大，就说明数据分布的集中化程度越高；反之，程度越高；反之，I越小，就说明数据分布的集越小，就说明数据分布的集中化程度越低（越均衡）。中化程度越低（越均衡）。 常采用如下近似取值方法：常采用如下近似取值

50、方法： A实际数据的累计百分比总和；实际数据的累计百分比总和； R均匀分布时的累计百分比总和；均匀分布时的累计百分比总和； M集中分布时的累计百分比总和。集中分布时的累计百分比总和。 集中化指数在集中化指数在00，11区间上取值。区间上取值。 只有只有数据的个数相同而且横坐标划分一致数据的个数相同而且横坐标划分一致时，才有可比性。时，才有可比性。 2022-5-1972（二） 罗伦次曲线（双因素） 就是通过两组数据的对比分析，纵、横坐标均以累计百分比表示，从而做出罗伦次曲线，然后再计算得出的集中化指数。2022-5-1973主要步骤主要步骤 （1 1）确立研究对象）确立研究对象 主要是考虑哪两种或几种事物与另外一种事物主要是考虑哪两种或几种事物与另外一种事物或现象进行比较。一般来讲，可以考虑人口与或现象进行比较。一般来讲，可以考虑人口与GDPGDP、GDPGDP与面积、