第七章 逐步回归

1、 在气象预报中，对预报量的预报常常需要从在气象预报中，对预报量的预报常常需要从可能影响预报可能影响预报y y的诸多因素中的诸多因素中挑选一批关系较好挑选一批关系较好的作为预报因子的作为预报因子，应用多元线性回归的方法建立，应用多元线性回归的方法建立回归方程来做预报，但回归方程来做预报，但如何才能保证在已选定的如何才能保证在已选定的一批因子中得到最优的回归方程呢？一批因子中得到最优的回归方程呢？逐步回归分逐步回归分析方法就是针对这一问题提出的一种常用方法。析方法就是针对这一问题提出的一种常用方法。下面从提出这一方法的基本思路、这一方法的计下面从提出这一方法的基本思路、这一方法的计算过程出发来作介

2、绍。算过程出发来作介绍。 在多元线性回归方程的建立中，尽管在多元线性回归方程的建立中，尽管最后都作了方程的统计检验，但并不意味最后都作了方程的统计检验，但并不意味着在着在p p个因子中，每个因子对预报量个因子中，每个因子对预报量y y的影的影响都是重要的。需要对每个因子进行考察，响都是重要的。需要对每个因子进行考察，若某个因子对预报量若某个因子对预报量y y的作用不显著，那么的作用不显著，那么在多元线性回归方程中它前面的系数就可在多元线性回归方程中它前面的系数就可能近似为能近似为0 0，因此，因此，检验某一因子是否显著检验某一因子是否显著等价于检验假设：等价于检验假设：0:0kH 要对要对 作

3、假设检验，自然就要寻作假设检验，自然就要寻找它的样本统计量找它的样本统计量 和与它有关的统和与它有关的统计量的分布。计量的分布。 因为最小二乘估计的因为最小二乘估计的 是随机变是随机变量量 的线性函数，由于这些的线性函数，由于这些随机变量是遵从正态分布，则随机变量是遵从正态分布，则 也遵也遵从正态分布。从正态分布。 kkbkbiyni1kb在假设条件成立下，统计量在假设条件成立下，统计量遵从自由度为（遵从自由度为（1 1，n-p-1）的）的F F分布分布, ,其中，其中， 为矩阵为矩阵 中对角线上第中对角线上第k k个元素。个元素。确定信度以后，查表求出标准值，若确定信度以后，查表求出标准值，

4、若 ，说明该因子方差贡献显著，说明该因子方差贡献显著，保留该因子，否则可保留该因子，否则可以考虑从回归方程中剔除出去。以考虑从回归方程中剔除出去。12pnQcbFkkkkkc1)(XXC FFi预报因子数目增多的优缺点：预报因子数目增多的优缺点： 优点：优点： 一般而言，回归方程中包含的一般而言，回归方程中包含的因子个数越多因子个数越多，回归平方和就越大回归平方和就越大，残残差平方和越小差平方和越小，残差方差的估计就越小，残差方差的估计就越小，预报值的预报值的置信区间就越小置信区间就越小，方程一般也，方程一般也较较容易通过检验容易通过检验。 缺点：缺点： 但但因子数增多因子数增多，也给方程增加

5、，也给方程增加了不少与预报量关系不大的因子，给预了不少与预报量关系不大的因子，给预报带来下面三个报带来下面三个明显缺点明显缺点： 1 1）因子增多，计算量增大，计算时间增）因子增多，计算量增大，计算时间增多多( (计算量增大计算量增大) )。 2）方程中若含有对方程中若含有对y y不起作用或者作用不起作用或者作用极小的因子，残差平方和不会由于这些变量极小的因子，残差平方和不会由于这些变量的增加而减少多少，相反由于的增加而减少多少，相反由于Q Q自由度减小，自由度减小，残差方差估计值增大残差方差估计值增大，使预报置信区间估计，使预报置信区间估计值增大；值增大； 3 3）由于存在对预报量）由于存在

6、对预报量y y影响不显著的因影响不显著的因子，随之带来许多其他与预报量子，随之带来许多其他与预报量无关的随机无关的随机因素，影响回归方程的稳定性因素，影响回归方程的稳定性，反而使预报，反而使预报效果下降。效果下降。关键问题关键问题: : 既要选择对预报量既要选择对预报量影响显著的因子影响显著的因子，又要使回归方程的又要使回归方程的残差方差估计很小残差方差估计很小，这样才有利于气象预报。这样才有利于气象预报。如何选择这种最优的回归方程呢？如何选择这种最优的回归方程呢？ 逐步回归方法逐步回归方法1 1、逐步剔除方案、逐步剔除方案2 2、逐步引进方案、逐步引进方案3 3、双重检验的逐步回归方案、双重

7、检验的逐步回归方案1 1、概念：、概念： 从包含全部变量的回归方程中逐步剔从包含全部变量的回归方程中逐步剔除不显著的因子。除不显著的因子。2 2、方案：、方案： 假定有假定有4 4个预报因子，首先用这个预报因子，首先用这4 4个因子个因子建立回归方程，然后对每个因子检查建立回归方程，然后对每个因子检查 的大小。的大小。kkkcb2 因为在做单个因子检验时，因为在做单个因子检验时，上式中的分母是不变的上式中的分母是不变的( (不同因子检验时不同因子检验时) )，因此，因此，只比较各因子的分子部分即可只比较各因子的分子部分即可，从它，从它们中找出们中找出最小者作最小者作F F检验检验。若检验结果显

8、著，。若检验结果显著，则其余因子自然显著；若检验结果不显著，则其余因子自然显著；若检验结果不显著，则剔除这一因子，然后对少一个因子的方程则剔除这一因子，然后对少一个因子的方程重复上一过程。重复上一过程。12pnQcbFkkk3 3、因子的方差贡献、因子的方差贡献 这一方案的步骤中每次仅比较统计量，这一方案的步骤中每次仅比较统计量，这个统计量是十分重要的，常被称为这个统计量是十分重要的，常被称为因子的因子的方差贡献，或称为偏回归平方和方差贡献，或称为偏回归平方和，记为，记为从从 中选出方差贡献最小者，记中选出方差贡献最小者，记为为 ，再作，再作F F检验，检验时使用下面的公检验，检验时使用下面的

9、公式式 kkkkcbV24,3,2,1k), 2 , 1(pkVkminV其中，其中，l为检验时回归方程中所含因子个为检验时回归方程中所含因子个数，数， 表示回归方程含表示回归方程含l个变量时的残个变量时的残差平方和。差平方和。1)(minlnQVFl)(lQ4 4、 存在的三个问题存在的三个问题 1 1）因子的方差贡献代表什麽样的）因子的方差贡献代表什麽样的意义意义? ? 2 2）为何不同时把几个不显著的因）为何不同时把几个不显著的因子从方程中剔除出去，而是要每次剔子从方程中剔除出去，而是要每次剔除一个除一个? ? 3 3）在过程中，每剔除一个因子就）在过程中，每剔除一个因子就要重新计算新方

10、程中的回归系数，当要重新计算新方程中的回归系数，当因子较多时，计算量很大，如何解决因子较多时，计算量很大，如何解决? ? 我们知道我们知道, ,回归平方和是所有因回归平方和是所有因子对预报量的总贡献。所考虑的因子对预报量的总贡献。所考虑的因子越多，回归平方和越大，子越多，回归平方和越大，若去掉若去掉一个因子，一个因子，回归平方和只会减小，回归平方和只会减小，不会增加。不会增加。减少的数值越大，说明减少的数值越大，说明该因子在回归中所起的作用越大该因子在回归中所起的作用越大，表明该因子越重要表明该因子越重要，可用此衡量该，可用此衡量该因子的方差贡献大小。下面介绍这因子的方差贡献大小。下面介绍这个

11、量的大小。个量的大小。 设设 为为l个变量个变量 对应的回归平方和，对应的回归平方和， 为为l-1-1个变个变量量, ,即去掉第即去掉第k k个因子时的回归平方和个因子时的回归平方和它们的差它们的差 就是就是去掉第去掉第k k个因子后，回归平方和的减少量个因子后，回归平方和的减少量。这。这部分叫做部分叫做偏回归平方和偏回归平方和，可以衡量每，可以衡量每个因子在回归中所引起的作用的大小。个因子在回归中所引起的作用的大小。)(lUlxxx,21)1( lU) 1()(llkUUV 在剔除因子过程中，假如在剔除因子过程中，假如 方差贡献都比较小，我们只能剔除其中方差贡献都比较小，我们只能剔除其中的最

12、小者，而不应该全部去掉。的最小者，而不应该全部去掉。因为这因为这两个因子之间可能存在密切相关关系，两个因子之间可能存在密切相关关系，剔除第一个因子后，其对剔除第一个因子后，其对y y的影响可能的影响可能很大程度转移到第二个因子对很大程度转移到第二个因子对y y的影响的影响上。上。所以回归平方和不会因此减小很多。所以回归平方和不会因此减小很多。但如果同时去掉两个因子，就会比较多但如果同时去掉两个因子，就会比较多的减少回归平方和，从而影响回归的精的减少回归平方和，从而影响回归的精度。度。1x1x2x新老回归系数之间的关系：新老回归系数之间的关系： 当剔除第当剔除第k k个因子后，个因子后，)(*k

13、ibccbbkkkikii逐步引进方法逐步引进方法 1. 1. 概念概念 在一批待选的因子中，考查他们在一批待选的因子中，考查他们对预报量对预报量y y的方差贡献，挑选所有因的方差贡献，挑选所有因子中方差贡献最大者，经统计检验子中方差贡献最大者，经统计检验是显著的，进入回归方程。是显著的，进入回归方程。 如从如从 等因子中等因子中考察哪个因子方差在一元回归方程中考察哪个因子方差在一元回归方程中贡献最大，故首先计算：贡献最大，故首先计算：其中，其中， 表示回归方程中无任何因表示回归方程中无任何因子时的回归平方和，此时为子时的回归平方和，此时为0 0。 12,pxxx(1)(0)kVUU1,2,.

14、,kp(0)U假如在假如在p p个因子中，个因子中， 的方差贡献最的方差贡献最大，记为大，记为 ，则据回归系数的检验，则据回归系数的检验公式遵从公式遵从F F分布的统计量进行检验：分布的统计量进行检验：若显著，则引进该因子。若显著，则引进该因子。kxmaxVm ax(1)1VFQnl设到设到l步步，方程已有方程已有l个因子。个因子。若考虑从若考虑从p-p-l个因个因子中引进哪个变量时，还是要考察他们各个因子中引进哪个变量时，还是要考察他们各个因子引进后的方差贡献，仍选取最大者，记为子引进后的方差贡献，仍选取最大者，记为 ，使用统计量，使用统计量作检验，其中作检验，其中 表示在将要引入回归方表示

15、在将要引入回归方程中的程中的l+1+1个因子时，回归方程的残差平方个因子时，回归方程的残差平方和。如此在方程中逐个地引入因子。和。如此在方程中逐个地引入因子。maxVmax( 1)(1) 1lVFQnl (1)lQ注意：注意： 这样得到的方程并不能保证这样得到的方程并不能保证其中所有因子都是显著的。因为其中所有因子都是显著的。因为各因子之间存在相关关系，所以各因子之间存在相关关系，所以引入新变量后，原有的变量就不引入新变量后，原有的变量就不一定仍然显著。一定仍然显著。 上述两个方案各存在一定缺点：逐步上述两个方案各存在一定缺点：逐步剔除计算量大；逐步引入计算量小，但剔除计算量大；逐步引入计算量

16、小，但不一定保证最后的方程是不一定保证最后的方程是“最优最优”的。的。 双重检验的基本思想双重检验的基本思想：将因子一个个：将因子一个个引入，引入因子的条件是该因子的引入，引入因子的条件是该因子的方差贡献显著；同时，每引入一个方差贡献显著；同时，每引入一个新因子，要对老因子逐个检验，将新因子，要对老因子逐个检验，将方差贡献变为不显著的因子剔除。方差贡献变为不显著的因子剔除。方法：方法： 利用求解线性方程中利用求解线性方程中求解求逆同时并行求解求逆同时并行的方法，使得在的方法，使得在计算因子方差贡献计算因子方差贡献和和求解求解回归系数回归系数同时进行。同时进行。优点：优点： 计算简便，由于每步都

17、作检验，保了计算简便，由于每步都作检验，保了最后所得方程中所有因子都是显著的。最后所得方程中所有因子都是显著的。第一步第一步 准备工作准备工作 从从标准化变量标准化变量出发，建立求标准回出发，建立求标准回归系数的标准方程组。归系数的标准方程组。 将系数矩阵化为相关矩阵将系数矩阵化为相关矩阵R R，并与常，并与常数矩阵放在一起组成增广矩阵，同时为数矩阵放在一起组成增广矩阵，同时为了检验的方便，又在此矩阵中添上了一了检验的方便，又在此矩阵中添上了一行（行（ ），组成一个方阵，记），组成一个方阵，记为为 ，假定有，假定有p p个待选因子，并开始个待选因子，并开始作逐步回归计算。作逐步回归计算。1(,

18、.,)yyyrr(0)R第二步第二步 引入因子引入因子 从从p p个待选因子个待选因子 中考虑引一中考虑引一个因子进入回归方程，建立每个因子的回归个因子进入回归方程，建立每个因子的回归方程：方程：选方差贡献最大的，然后计算引进后的标准回选方差贡献最大的，然后计算引进后的标准回归系数。假定在前归系数。假定在前l步中已引入步中已引入l 个因子，考虑个因子，考虑p p- -l个未引入的因子中的方差贡献时，计算第个未引入的因子中的方差贡献时，计算第k k个因子方差贡献的公式为个因子方差贡献的公式为 12,.,zzzpxxx(1,2,., )zzzkyb xkp( )21( )lkylklkkrVr计算

19、中可利用前计算中可利用前l步消去求逆的结果，即用在步消去求逆的结果，即用在 作作l次消去求逆变成次消去求逆变成 矩阵后阵中的元素。矩阵后阵中的元素。如果发现第如果发现第k k个因子方差贡献最大，即个因子方差贡献最大，即 则用它进一步作下面的显著性检验，这时利用则用它进一步作下面的显著性检验，这时利用下面统计量作检验。下面统计量作检验。 (0)R( ) lR(1)maxlkVV在显著性水平在显著性水平 下，若下，若 ，则认为该因子方差贡献显著，引入该因则认为该因子方差贡献显著，引入该因子。子。(1)(1)(1)1lklVFQnl)1()()1(lklyylVrQFF 检验显著后，认为可以引进到方

20、检验显著后，认为可以引进到方程中，然后对该因子所对应的列进行程中，然后对该因子所对应的列进行消去，并求出引进该因子后回归方程消去，并求出引进该因子后回归方程的标准回归系数。的标准回归系数。第三步第三步 剔除因子剔除因子 当后来引入因子后，原来已引当后来引入因子后，原来已引入的因子方差贡献会发生变化，可入的因子方差贡献会发生变化，可能变为不显著的，要进行剔除。剔能变为不显著的，要进行剔除。剔除的标准也可利用统计检验进行。除的标准也可利用统计检验进行。 仅在第三个因子引入后才考虑剔除。仅在第三个因子引入后才考虑剔除。 假定方程中已引入假定方程中已引入l个因子，现在考虑在个因子，现在考虑在方程中各个因子所起的作用，即它们的方差方程中各个因子所起的作用，即它们的方差贡献。设第贡献。设第k k个因子为最小，即个因子为最小，即利用下面的统计量进行显著性检验利用下面的统计量进行显著性检验( )minlkVV在显著性水平在显著性水平 下，若下，若 ，则，则认为该因子方差贡献不显著，可剔除。认为该因子方差贡献不显著，可剔除。1)()(lnrVFlyyl