第7章随机变量的数字特征

1、第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 切比雪夫不等式与大数定律切比雪夫不等式与大数定律第五节第五节 中心极限定理中心极限定理第一节第一节 数学期望数学期望设某班的设某班的1-101-10号学生的概率统计成绩分别为号学生的概率统计成绩分别为6060，7575，7575，8080，8080，8484，8484，8484，9090，7272，求平均分。求平均分。平均分平均分60 75 75 80 80 84 84 84 90 721078.460 75 2 80 2 84 3

2、90 7210 122311607580849072101010101010用用 X X 表示成绩，表示成绩，频率频率12231160758084907210101010101060,75,80,84,90,72 60,75,80,84,90,72 都是都是 X X 的的取值取值 ，ix是每一个取值是每一个取值 出现的出现的122311,10 10 10 10 10 10ix频率频率 。if因此这个平均分就等于成绩因此这个平均分就等于成绩 X X 的每个取值的每个取值 乘乘ix以取每个值发生的频率，即平均分以取每个值发生的频率，即平均分= =.iiixf在第二章我们知道，在第二章我们知道，随

3、n 的增大, 频率 f 呈现出稳定性，稳定在概率在概率 p. 因此，上式中的频率用概率来代替，上式就写成因此，上式中的频率用概率来代替，上式就写成iiix piiix p这个式子这个式子 也可以表示成绩也可以表示成绩 X 的平均值，的平均值，称它为称它为 X 的数学期望。的数学期望。,1,2,kkP Xxpk（1 1）离散型）离散型设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的分布律为的分布律为1.1.数学期望的定义数学期望的定义忽略若若 绝对收敛（即绝对收敛（即 收敛），则称收敛），则称kkkx pkkkx p 为离散随机变量为离散随机变量 X X 的数学期望，简称期望的数学期望，简称期望kk

4、kx p或均值，记为或均值，记为 E(XE(X）或或 EXEX, ,即即 ().kkkE Xx p 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的密度函数为的密度函数为dxxxf)(为连续型随机变量为连续型随机变量 X( )xf x dx()E X忽略( ) (),f xx 若积分若积分 绝对收敛（即积分绝对收敛（即积分 ( )xf x dx（2 2）连续型）连续型收敛），则称积分收敛），则称积分的数学期望。记为的数学期望。记为 ，即，即()( ).E Xxf x dx关于定义的几点说明关于定义的几点说明概率概率XPnxxx21nppp2112nxxxnn有限，有限，一般的平均值一般的平均值1122

5、()nnE Xx px px p加权平均加权平均 (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量。而非变量。 (2) E(X) 是一种随机变量是一种随机变量 X 的取值的的取值的加加权权平均平均, 与与一般的平均值一般的平均值不同不同 , 它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量 X 取值的取值的真正的平均值。真正的平均值。 (4) 随机变量的数学期望与一般变量的算术平随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同均值不同. (3) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求是因为数学之所以这样

6、要求是因为数学期望是反映随机变量期望是反映随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值,它不应随它不应随可能值的排列次序而改变可能值的排列次序而改变.例例1 1 掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子, ,以以 X 表示掷得的点数表示掷得的点数, ,求求 X的数学期望的数学期望. .1111117()1234566666662E X 解解 由定义有，由定义有，解解X X1 2 3 4 5 6 P161616161616201( ),()0 xxf xE X求其他例例2 2 设随机变量设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为()( )dE Xxf xx201( )0 xxf x其他1022 d3xx

7、x常见分布常见分布数学期望数学期望np 2)(ba 12.五种重要分布的数学期望五种重要分布的数学期望),(2N),(pnB)(P)(E( , )R a b泊松分布泊松分布二项分布二项分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布2个参数的乘积个参数的乘积区间的中点区间的中点参数的倒数参数的倒数第第1个参数个参数参数参数nkppCkXPknkkn,.,)(101(1) 二项分布二项分布 XB(n, p)()E X0nk nkknkppknknk1)1 (!)( !knknkppknkn)1 ()!()!1(!1(1)kknknC ppknpppnpn1)1(1110(1)niininin

8、pCpp 11 (1)1(1)!(1)(1)!(1)(1)!nknkknnp ppknk 1110(1)!(1)!(1)!nikiniinnpppini knknkppknkn)1 ()!()!1(!1,0,1,2,.!kP Xkekk分布律为(2) 泊松分布泊松分布 X P ()0()!kkE Xkek1ke10!ii kiei !kkkeP Xkk由分布律的性质，得1(1)!kk1,( )0,axbf xba密度函数为其他dxxfxXE)()(badxabx12ba2112baxba()/ 2ab正好为区间的中点(3) 均匀均匀分布分布 X R(a, b)0( )00 xexf xx密度函

9、数为dxxxfXE)()(dxxxfdxxxf00)()(0 xx edx(4) 指数分布指数分布 X E()(0 xedx00 xxxeedx 01lim()0 xxxxee 1110limxxe1lim()limlim0 xxxxxxxxeeexexfx,)()(2222122()21()( )2xE Xxf x dxxedx(5)正态分布正态分布2( ,)XN 221()2txuttedt22221122tttedtedt22221122tttedtedt奇函数标准正态分布的密度函数练习练习 设随机变量设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为othersxxxxxf, 010,101,1

10、)(求数学期望求数学期望 E(X). ( )( )E Xxf x dx110011)()()()(dxxxfdxxxfdxxxfdxxxf1100110)1 ()1 (0dxxdxxxdxxxdxx00112323-1-100111102323xxxx101x解解3.3.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设设 X 是随机变量，是随机变量， g(x)是一元函数，是一元函数，Y=g(X) 是随机变量是随机变量 X 的函数的函数,1,2,iiP Xxpi离散型：离散型： X 的分布律为的分布律为( ) ()( )iiiE YE g Xg x p则则( ) ()( ) ( )dE YE g

11、 Xg x f xx( ),f x连续型：连续型： X 的密度函数为的密度函数为则则 设设(X,Y )是二维随机变量，是二维随机变量， g(x,y)是二元函数，是二元函数，Z=g(X,Y ) 是二维随机变量是二维随机变量 (X,Y )的函数的函数,离散型：离散型： (X ,Y ) 的联合分布律为的联合分布律为则则( , ),f x y连续型：连续型： (X ,Y ) 的联合密度函数为的联合密度函数为则则,=, , 1,2,iiijP Xx Yypi j, (, )( ,)ijijijE g X Yg x yp (, )( , ) ( , )d d .E g X Yg x y f x yxy 例

12、例3 3 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.3 0.4 0.2的的数数学学期期望望求求随随机机变变量量232XY解解22( )3 ( 1)2 0.1(3 02) 0.3E Y 22(3 12) 0.4(3 22) 0.21.9X例例4 4 某公司生产的机器无故障工作的时间某公司生产的机器无故障工作的时间 （单（单位：万小时）的密度函数为位：万小时）的密度函数为1.21200X216001.224001200XX，退货，每台亏损元，每台赚元，维修费元，每台赚元21,1( )0,1xf xxx求公司售出的每台机器的平均获利。求公司售出的每

13、台机器的平均获利。,Y 设 表示每售出一台机器的利润解则随机变量数学期望12001.2,(X)12001.22,1600X2,XYgX， ， ， 方法一：方法一：YP-1200 1200 16001200P Y 1.21.2( )P Xf x dx1.21.22111116dxxx1612001.2,( )12001.22,1600 x2,xg xx， ， ， YP-1200 1200 16001200P Y 2221.21.21111.223PXdxxx 161312方法二：方法二：111( )1200120016001000()632E Y 元( )( )( )E Yg x f x dx+

14、211=( )g xdxx1.22+22211.22120012001600=+=1000dxdxdxxxxX(2000,4000)练习练习 国际市场每年对我国某种商品的需求量是国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量随机变量 （单位：吨），它服从（单位：吨），它服从上的均匀分布，已知每售出上的均匀分布，已知每售出1 1吨商品，可挣得外吨商品，可挣得外汇汇3 3万元万元; ;若售不出去而积压，则每吨商品需花若售不出去而积压，则每吨商品需花费库存费等共费库存费等共1 1万元，问需要组织多少货源，才万元，问需要组织多少货源，才能使国家受益期望最大？能使国家受益期望最大？,(2000,4000)

15、,a aY解： 设组织货源受益为随机变量按题意可得3(),()3 ,XaXXaYg XaXa4( )3xaxag xaxa1,20004000,( )20000,xXf x的概率密度为其他,400020001( )( )( )( )2000E Yg x f x dxg xdx400020001(4)32000aaxa dxadx21( 2140008000000)2000aa( )0,3500.3500( )dE YadaaE Y令解得即当时达到最大值。21( 2140008000000)2000aa例例5 5 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(, )X Y的分布律为的分布律为 Y X

16、 0 1 0 1 0.1 0.3 0.4 0.2求求()E XY解解202011400130101000.)(XYE例例6 6(, )X Y服从区域服从区域A上的均匀分布，求上的均匀分布，求 ，1( , ),( , )0,x yAf x y，其他，()E XY()E X解解()( ,) ( ,)ddE XYg x y f x yxy 12200 xd xx y d y122 2yx xA222100()2xyxdx161Axy dxdy(,)g X YXY( ,)g x yxy210(22 )2xxdx122 2yx xA( , )g X YX( )( , ) ( , )E Xg x y f

17、x y dxdy Axdxdy12 200 xdxxdy( , )g x yx12022xx dx10(22 )xx dx1230221()1333xx 练习练习 一商店经销某种商品，每周进货量一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客与顾客 对商品的需求量对商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且是相互独立的随机变量，且 都服从都服从 10,20上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得 利润利润10001000元，若需求量超过进货量，商店可从其它元，若需求量超过进货量，商店可从其它 商店调剂供应，这时每单位商品获利润商店调剂供应，这时每单位商品获利润 50050

18、0元元， 计算经销此商品每周所获得平均利润计算经销此商品每周所获得平均利润. .解：11020( )100Xxfx其他11020( )100Yyfy其他,X Y的概率密度分别为10001000500()ZYYXZXYXYX 设 表示商店每周所获利润，依题意(, )11020,1020( , )1000X Yxyf x y的概率密度为其他1000( , )500500yyxg x yxyyx 110,20( , )1000 x yf x y其他1000( , )500500yyxg x yxyyx ( )( , ) ( , )d dE Zg x y f x yx y x20y201010y x1

19、0201( , )d d100 x yg x yx y，1D2D12111000d d(500500 )d d100100DDyx yxyx y202021010310(20)5(1050)2yy dyyydy202020101010105()yydyydxdyxy dx12111000d d(500500 )d d100100DDyx yxyx yx20y201010y x1D2D200005 1500 14166.67()3 元为常数为常数; ;4.4.数学期望的性质数学期望的性质( ),E ccc X 只取常数只取常数 c，1,P Xc那么，那么，( ).E cc P Xcc (1) (

20、1) ()(),E aXaE Xa (2) (2) 为常数为常数; ;（利用一维随机变量函数的数学期望的公式证明）（利用一维随机变量函数的数学期望的公式证明）()()( );E XYE XE Y(3) (3) （利用二维随机变量函数的数学期望的公式证明）（利用二维随机变量函数的数学期望的公式证明）(4) (4) 若若 X X 与与 Y Y 独立独立, ,则则()() ( ).E XYE X E Y( )( )XYxyfx fy dy dx( )( )XYxfxyfy dy dx( )( )XE Yxfx dx( ) ()E Y E X证：设证：设 ( X,Y ) 是二维连续型随机变量，则是二维

21、连续型随机变量，则()( , )( , )E XYg x y f x y dxdy ( )( )XYfx fy dxdyxy ( )Xxfx EYdx212312312313,(0,6),(0,2 )1( ),23,2,3( )_,( )_7_.XXXXRXNXEYXXXZX XE YE Z例 独立，则12 132 ()E X X1812123( )(23)E YE XXX解：123()2 ()3 ()E XE XE X13( )(2)E ZEX X132 () ()E X E X18例例8 8 将将1枚骰子掷枚骰子掷3次次, , 求点数之和求点数之和X 的数学期望的数学期望. .一个大的随机

22、变量分解成若一个大的随机变量分解成若干个小的随机变量之和干个小的随机变量之和123,XXXX显然显然123()()()()E XE XE XE X13 ()E X7213.22 iXi解解 令令 表示第表示第 次出现的点数，次出现的点数，=1,2,3,i则分布则分布1 2 3 4 5 6 P161616161616iX, =1,2,3,i律为律为例例9 9 将将 n 个球随机放入个球随机放入 M 个盒子中去（假设盒个盒子中去（假设盒子的容量不限），设每个球放入各盒子是等可能的，子的容量不限），设每个球放入各盒子是等可能的，12,MXXXX求有球盒子数求有球盒子数 X 的期望的期望. . 解解

23、令令1,0,iX1,2,iM第第 i 个盒子有球，个盒子有球，第第 i 个盒子无球，个盒子无球，则则每个球放入第每个球放入第 i 个盒子的概率是个盒子的概率是1,M每个球没有放入第每个球没有放入第 i 个盒子的概率是个盒子的概率是11,Mn 个球都没有放入第个球都没有放入第 i 个盒子的概率是个盒子的概率是11,nM由于由于 1() 11 00 11,niiiE XP XP XM 再由数学期望的性质，知再由数学期望的性质，知11()()()11.nMiiiE XE XME XMM因此因此101,niP XM1111.niP XM 0 1PiX11nM111nM. ),()(,.10,20旅旅客

24、客是是否否下下车车相相互互独独立立并并设设各各下下车车是是等等可可能能的的设设每每位位旅旅客客在在各各个个车车站站求求表表示示停停车车的的次次数数以以客客下下车车就就不不停停车车如如到到达达一一个个车车站站没没有有旅旅个个车车站站可可以以下下车车客客有有旅旅位位旅旅客客自自机机场场开开出出一一机机场场班班车车载载有有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站有人下车站有人下车在第在第站没有人下车站没有人下车在第在第.1021XXXX 则则例例10 10 ,109020 iXP则则有有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1

25、091)(20 iXEi由由此此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.第二节第二节 方方 差差 在第在第1个地区，居民的每月的收入的水平都差不个地区，居民的每月的收入的水平都差不多，多，都集中都集中4000元附近元附近， 有有2个地区，居民的每月的平均

26、收入都是个地区，居民的每月的平均收入都是4000元，元，40005000300040001000002000 在第在第2个地区，个地区，收入就比较分散收入就比较分散，大部分的居民的，大部分的居民的每月的收入少于每月的收入少于2000，有个别居民的每月的收入大于，有个别居民的每月的收入大于100000元，元，4000与与100000距离距离(偏离偏离)就比较大，就比较大，4000与与3500距离距离(偏离偏离)就比较小就比较小与其均值的偏离程度与其均值的偏离程度，即还得研究，即还得研究随机变量取值的分随机变量取值的分散程度散程度，那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢，那么，用怎样的量去度量这个偏

27、离程度呢?这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差。E 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值 E( X ) 的偏离程度的偏离程度. 但由但由于上式带有绝对值于上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量 X 与其均值与其均值 E( X ) 的偏离程度的偏离程度.除了随机变量的数学期望外，还得研究除了随机变量的数学期望外，还得研究随机变量随机变量2() EXE X()XE X2222,()() ()()()()XE XE XE XE XXD XD XE XE XD XE XEX设是一个随机变量 若存在，则称为的方差

28、，记为，即或()1.方差的定义方差的定义(),().D X X称为标准差或均方差 记为 如果如果D(X)越越大大, , 表示表示 X 取值离均值偏离越大取值离均值偏离越大, , X 取值越分散取值越分散; ; 而如果而如果D(X)越越小小, , 则则 X 取值离均取值离均值偏离越小，值偏离越小， X 的取值越集中的取值越集中. .方差的概率意义方差的概率意义方差是一个常用来体现了随机变量方差是一个常用来体现了随机变量 X 取值分散取值分散程度的量，或方差体现了随机变量与其均值的偏离程度的量，或方差体现了随机变量与其均值的偏离程度。程度。2()()D XE XE X2.方差的计算方差的计算 .)

29、()()(22XEXEXD (2) 利用公式计算利用公式计算(1) 利用定义计算利用定义计算 2()( )dxE Xf xx连续型连续型2()D XE XEX()离散型离散型21()=kkkxE Xp证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE ).()(22XEXE 例例1 ， ，求求 D(X). XP -1 0 1 2 0.1 0.3 0.4 0.2( )1 0.1 0 0.3 1 0.4 2 0.20.7E X 22222()( 1)0.1 00.3 10.4 20.2 1.3E X 222()()()1.3

30、0.71.3 0.490.81D XE XEX常见分布常见分布数学期望数学期望方差方差二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布),(2N),(pnB)(P)(E( , )R a bnp)1(pnp 22)(ba 12)(2ab 1213. 五种重要分布的五种重要分布的方差方差(2) 泊松分布泊松分布 P( )., 2, 1, 0,!kekkXPXk)(XE)(XD2EX0(1)!kkk kek2 (1) (1)EXE X XXE X XEX-220!ii kiei2(2)!kk2ke222222()() ()D XE XE X20!kkkek,e,0,(

31、 )0.0,0.xXxf xx设随机变量服从指数分布 其密度函数为其中1)(XE(4) 指数分布指数分布 E()20edxxx20dexx2( )( )dEXg xf xx20lim(e) 02 exxxxxdx 012dexx 2200eexxxdx0022eexxxdx2022lim(e) 0exxxx 2221)()()(XEXEXD222222lim(e) ()xx 2( ,),XN 设其密度函数为22()21( )e,.2x f xx (5) 正态分布正态分布)(XE),(2N.de21)(222)(2xxx xxfxd)()(22)()(EXXEXD222d e2tt 2222ed

32、2x tttt令22222eed2tttt.2 22210ed2tt 练习 设随机变量X的密度函数为othersxxxxxf, 010,101,1)(且E E( ( X X ) )= =0，求D D( ( X X ) )101x22()( )E Xx f x dx解：012210(1)(1)xx dxxx dx112310126x dxx dx010122331010 x dxx dxx dxx dx4. 4. 方差的性质方差的性质(1)(1)( )0,D c (3)(3)()();D XcD X22()()( )( )D XcE Xc E XcE XE XD X 证明证明22( )()0.D

33、 cEcEc证明证明222()() ()().D aXE aXE aXa D X证明证明(4) (4) ()()( ).D XYD XD Y若若X, Y 独立独立, , 则则()()( )2 ()(),D XYD XD YE XEX YEYc c 为常数；为常数；(2)(2)2()(),D aXa D Xa 为常数；为常数；2()()EXEXYEY(4) 证:2()()D XYE XYE XY若若X, Y 独立独立, , 则则 与与 也独立，也独立，XEXYEY 22()()E XEXE YEY2 ()()EXEXYEY()( )2 ()()D XD YEXEXYEY()()= ()()0EX

34、EXYEYE XEXE YEY于是得到于是得到()()( ).D XYD XD Y推广推广).()()()(2121nnXDXDXDXXXD 则则有有相相互互独独立立若若,21nXXX独立，则且YXPYBX,),5(),2 .0 ,10(例例2 2 设设._)23(_,)52(YXDYXE2 ()5 ( )E XE Y9 1.6 4 5 34.4. (25 )EXY2 25 529 (32 )DXY223()( 2)( )D XD Y ),(pnBX()1.2,()1.08,E XD X例例3 3 设设且且 则参数则参数 n, p 分别为分别为 （ ）8,0.2np=2,0.8np=（C） （

35、D） 1 . 0,12pn4,0.4np=（B） （A）A()1.2,()(1)1.08,E XnpD Xnpp2( ), ( ),E XD X例例4 4 设设 则对任意的常数则对任意的常数 c ,222( )()A E XcEXc 22( )()()BE XcE X 22( )()()CE XcE X 22( )()()DE XcE X 下列正确的是下列正确的是 （ ）22()() ()E XcD XcE Xc()D Xc()D X答案选答案选 D()D X22()() ()D XE XE X1. 1. 问题的提出问题的提出 ()()( )2 ()().D XYD XD YE XEX YEY

36、第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数 一般地，一般地，反过来，反过来，()()0,E XEXYEY则则 X 和和 Y 一一定不独立定不独立, , X 和和 Y 之间是有关系的之间是有关系的。若若 X 和和 Y 独立（即独立（即 X 和和 Y 之间没有任何关系），之间没有任何关系），()()0.E XEX YEY则则()()E XEXYEY表示表示 X 和和 Y 之间的关系之间的关系，称它为称它为协方差协方差。cov(,)()().X YEXEXYEY2. 协方差的定义协方差的定义 称称 为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的协方差，记为的协方差，记为 即即()()EXEXYEYcov

37、(,),X Y由协方差的定义，可以得出由协方差的定义，可以得出cov(, )0;X Y (1)(1)若若 X 与与 Y 独立，则独立，则()()( )2(, ).D XYD XD Ycov X Y(2)(2)协方差的计算公式协方差的计算公式cov(,)()() ( );X YE XYE X E Y证明证明cov(,)()( )X YEXE XYE Y( )()() ( )E XYXE YYE XE X E Y).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE ()( ) ()() ( )() ( )E XYE Y E XE X E YE X E YXYXPYP例例1 联

38、合分布律如下，求联合分布律如下，求cov(X,Y).(, )0cov X Y ,X Y 独立，协方差一定等于0；反过来，协方差 ,X Y等于0， 不一定独立。-1 0 1-1 1/8 1/8 1/81 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/83/8 2/8 3/83/82/83/8()( )E XE Y3231010888 ()E XY1111108888 (1) cov(1) cov(X, Y)=cov()=cov(Y, X); ); (3) cov(3) cov(aX, bY)=)=ab cov(cov(X,Y), ), 其中其中a, b为常数为常数; ;(4) cov(4) cov(

39、X+Y, Z)=cov()=cov(X, Z)+cov()+cov(Y, Z) )， (2) cov(2) cov(X, X)=)=D(X); 3.3.协方差的性质协方差的性质 cov(cov(X, Y+Z)=cov()=cov(X, Y)+cov()+cov(X, Z). ). (3) cov(,)()()aX bYEaXE aXbYE bY证(4) cov(, )()()( )XY ZEXYE XYZE Z)()(YEYXEXabE(,) ;abCov X Y)()()(ZEZYEYXEXE)()()()(ZEZYEYEZEZXEXE当当cov(, )0,X Y cov(,)()()X Y

40、EXEXYEY假设假设 是离散型，是离散型，cov(, )()()iiijijX YxEXyEY p平均来说，如果随机变量平均来说，如果随机变量 X 相对于相对于 E(X) 有变大时，则随机变量有变大时，则随机变量 Y 相对于相对于 E(Y) 也也有变大的趋势；如果随机变量有变大的趋势；如果随机变量 X 相对于相对于 E(X) 有变有变小时，则随机变量小时，则随机变量 Y 相对于相对于 E(Y) 也也有变小的趋势；有变小的趋势； 当当cov(, )0,X Y 如果随机变量如果随机变量 X 相对于相对于 E(X) 有变大时，则随机变量有变大时，则随机变量 Y 相对于相对于 E(Y) 有变小的趋势

41、。有变小的趋势。数学期望体现了随机变量数学期望体现了随机变量 X 取值的平均值。取值的平均值。数学期望的概率意义数学期望的概率意义 方差是一个常用来体现了随机变量方差是一个常用来体现了随机变量 X 取值分散程取值分散程度的量，或方差体现了随机变量与其均值的偏离程度。度的量，或方差体现了随机变量与其均值的偏离程度。方差的概率意义方差的概率意义但是，协方差的概率意义很不明确。但是，协方差的概率意义很不明确。因此，我们要把协方差改进一下。因此，我们要把协方差改进一下。cov(,)X Y()()()XYXYEEEDXDYDXDY( , )cov X YDX DY,XYXYDXDY令令 ()()E XE

42、X YEYDX DY()()()E X YEXEY 相关系数1.相关系数的相关系数的定义定义相关系数相关系数称称 为为随机变量为为随机变量 X 和和 Y 的相关系数，的相关系数，记为记为 ，即，即,X Ycov(,)X YDXDY,cov(,).X YX YDXDY2. 相关系数的性质相关系数的性质称称 X 与与 Y 完全相关，完全相关，1.P YaXb,(1)| 1;(2)0,(3)| 1,X YX YX Y称称 X 与与 Y 不相关；不相关；,| 1X Y存在常数存在常数 a 与与 b ，使得，使得 X 与与 Y 存在线性关系存在线性关系 Y=aX+b ,| 1X Y即即X 与与 Y （几

43、乎）存在线性关系（几乎）存在线性关系Y=aX+b是指是指X 与与Y 不存在不存在线性关系线性关系 Y=aX+b3.3.相关系数的概率意义相关系数的概率意义相关系数表示相关系数表示 X,Y 的线性相关（即的线性相关（即线性关系）线性关系）程度程度. . 当当 越大，表示越大，表示 X 与与 Y 之间的线性相关（即之间的线性相关（即 线性关系）线性关系）程度越大；程度越大；,|X Y 当当 越小，表示越小，表示 X 与与 Y 之间的线性相关之间的线性相关（即线性关系）（即线性关系）程度越低；程度越低；,|X Y 当当 时，表示时，表示 X 与与 Y 之间的线性相关（即之间的线性相关（即线性关系）线

44、性关系）程度最好，可以认为程度最好，可以认为 X 与与 Y 之间存在线性之间存在线性关系。关系。,1X Y 当当 时，即时，即 X 与与 Y 不相关，不相关，表示表示 X 与与 Y 之间的线性相关（即线性关系）之间的线性相关（即线性关系）程度最低，可以认为程度最低，可以认为没有没有X 与与 Y 之间线性关系。之间线性关系。,0X Y X 与与 Y 不相关，只能说明不相关，只能说明 X 与与 Y 之间不存在线性之间不存在线性关系，但也可能有其它的关系。关系，但也可能有其它的关系。因此，若因此，若 X 与与 Y 不相关，则不相关，则 X 与与 Y 不一定独立；不一定独立； 反过来，若反过来，若 X

45、 与与 Y 独立（独立（X 与与 Y 之间不存在任何关之间不存在任何关系），则系），则 X 与与 Y 不相关。不相关。 例例2 2 下列与下列与 不等价的是不等价的是 （ ）,=0X Y( )(,)0;( )()()()( );()A cov X YB XYC D XYD XD YD XY和 不相关；和 独立.D正相关与负相关正相关与负相关120()P若相关系数若相关系数 则称则称 X 与与 Y 正相关；正相关；,0,X Y若相关系数若相关系数 则称则称 X 与与 Y 负负相关。相关。,0, , 使得使得1|limXXPnn则称则称 Xn 依概率收敛于依概率收敛于X. 可记为可记为.XXPn二

46、、依概率收敛二、依概率收敛104()PaXPn意思是:aanXn当 时,),(aaaXn而意思是:0, 0n|aXn,当0nn，aXn 落在 内的概率越来越大,接近于1.三、三、 大数定律大数定律 在二章第一节 介绍过，频率具有稳定性。试验表明，随着试验的次数 n 的增大 , 频率 f 是稳定的，稳定在某一个常数的附近，这个常数就称为概率，这是概率的统计定义。7()P 频率具有稳定性是指频率在某种意义下是收敛的，收敛到概率，即频率在某种意义下是有极限的，极限是概率。( ),AP Ap n1.伯努利大数定律伯努利大数定律设设 为为 n 次独立的试验中事件次独立的试验中事件 A 发发生的次数，则生

47、的次数，则 (),Anpn 依概率收敛频率即对于任意即对于任意 简单来说，简单来说，伯努利大数定律是指频率依概率收敛伯努利大数定律是指频率依概率收敛到概率。到概率。 注解：注解：“频率这个随机变量落在了以概率频率这个随机变量落在了以概率 p 为中为中心心 为半径的邻域内为半径的邻域内”这件事的概率的极限为这件事的概率的极限为 1. 0,lim1,AnnPpn给定的给定的证证 ( , )AnB n p ,()AnDn(),()(1),AAE nnp D nnpp(),AnEpn(1)=,ppn2()=AD nn2(1)1ppnAnPpn1 ，由切比雪夫不等式，有由切比雪夫不等式，有而而2(1)l

48、im 1=1 lim1=1nnppn，由夹逼准则，得由夹逼准则，得lim 1.AnnPpn12,nX XX2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律设设 独立独立即对于任意给定的即对于任意给定的0,11lim 1.niniPXn(),iE X同分布，同分布，把书上的切比雪夫大把书上的切比雪夫大数定律的条件强化了数定律的条件强化了2(),1,2, ,iD Xin 简单来说，简单来说，切比雪夫大数定律是指切比雪夫大数定律是指 n 个个独立同独立同分布有期望有方差的随机变量的算术平均值依概率收分布有期望有方差的随机变量的算术平均值依概率收敛到它们共同的均值。敛到它们共同的均值。11,niiXn 依概率收敛

49、则则11lim 1.niniPXn12,nX XX3.辛钦大数定律辛钦大数定律设设 独立同分布，独立同分布， 即对于任意给定的即对于任意给定的11,niiXn 依概率收敛( ),1,2, , ,iE Xin0,则则 简单来说，大数定律是指简单来说，大数定律是指大量的独立同发布的随大量的独立同发布的随机变量的算术平均值是收敛的机变量的算术平均值是收敛的（是稳定的）（是稳定的）。 假设每个随机变量都有各自的分布，每个随机变假设每个随机变量都有各自的分布，每个随机变量不是同分布的，更复杂一点，量不是同分布的，更复杂一点， 大数定律是指大数定律是指大量的独立的随机变量的算术平大量的独立的随机变量的算术

50、平均值是收敛的均值是收敛的（是稳定的）（是稳定的）。大数定律的概率意义大数定律的概率意义第五节第五节 中心极限定理中心极限定理 在数理统计中，常常用到大量的随机变量在数理统计中，常常用到大量的随机变量,nX1niiX12,X X的和的和 的分布。但要给出其精确的分布的分布。但要给出其精确的分布很困难。然而，满足一定条件时，很困难。然而，满足一定条件时， 近似服从正近似服从正1niiX态分布。态分布。1.1.德莫佛德莫佛- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)设随机变量设随机变量 ，则对于任意实数，则对于任意实数 ，有，有( , )nYB n pxl

51、im( ).(1)nnYnpPxxnpp ,(1)nnYnpYnpp令令( ),nYFxlim( )( ).nYnFxx 分析：分析：()()(1)nnE YnpD Ynpp则则(1)nnYnpPxP Yxnpp根据极限的含义，根据极限的含义，lim( )( ),nYnFxx 当当n充分大时，充分大时，( )( ),nYFxx 即：当即：当n充分大时，充分大时，(1)nnYnpYnpp近似近似(0,1),N(1)nnYnpYnpp近似地服从标近似地服从标准正态分布，即准正态分布，即nY近似近似(,(1).N np npp近似地服从一般的正态分布，即近似地服从一般的正态分布，即nY ，当当n充分

52、大时，充分大时，正态正态分布是二项分布的近似分布，即X近似近似(,(1),N np npp( , )XB n p德莫佛德莫佛- -拉普拉斯中心极限定理的应用拉普拉斯中心极限定理的应用泊松（Poisson）定理的应用np 其中( , ),XB n p(1),!kkkn knP XkC ppek 当当n充分充分大，大，p很小时很小时，二项分布逼近泊松分布，即泊松分布是二项分布的近似分布，这时,(1)nYnpnpp近似近似(0,1),N2.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)12,nX XX设设 独立同分布，独立同分布， 则对于任意的则对于任意的 ，有，有()

53、,iE X2()0,1,2, ,iD Xinx1lim( ).niinXnPxxn 应用：应用：当当n充分大时，充分大时，1niiXnn近似近似(0,1),N1niiX近似近似2(,).N nn注：简单来说，中心极限定理是指注：简单来说，中心极限定理是指 若若 ，当，当 充分大时，充分大时，X(,(1).N np npp( , )XB n p近似近似n近似近似 独立同分布有期望有方差的随机变量独立同分布有期望有方差的随机变量12, ,nX XX1niiX2(,).N nn 例例1 1 设一个车间里有设一个车间里有 400 台同类型的机器，每台同类型的机器，每台机器需要用电为台机器需要用电为 Q

54、 瓦。由于工艺关系，每台机器瓦。由于工艺关系，每台机器并不连续开动，开动的时间只占工作总时间的并不连续开动，开动的时间只占工作总时间的 0.75. .问应供应多少瓦电力问应供应多少瓦电力才能以才能以 99% 的概率保证该车间的概率保证该车间的机器正常工作？这里，假定每台机器的停、开是相的机器正常工作？这里，假定每台机器的停、开是相互独立的。互独立的。解解 该车间的机器正常工作的概率为该车间的机器正常工作的概率为 99%，器开动的概率为器开动的概率为 0.75，每台机每台机设设 X 表示正在开动的机器的台数，表示正在开动的机器的台数，供应的电力供应的电力 当当开动的机器所耗费的电力开动的机器所耗

55、费的电力 供应的电力供应的电力时，时，该车间的机器正常工作。该车间的机器正常工作。()99%=0.99.P XQx为为 x 瓦，则瓦，则由题意，可知由题意，可知 则则(400,0.75),XB于是于是由中心极限定理知由中心极限定理知， X近似近似(300,75).N由于由于 n =400 =400 比较大，比较大，()400 0.75300,E X ()400 0.75 0.2575,D X 0.99()()xP XQxP XQ故故300(),5 3xQ 300300()7575xXQP查标准正态分布表，知查标准正态分布表，知(2.33)0.99,得得3002.33,5 3xQ即即 320 ,

56、xQ 因此，应供应因此，应供应 320Q 瓦电力才能以瓦电力才能以 99% 的概率的概率保证该车间的机器正常工作保证该车间的机器正常工作例例2 2 为了测定一台机床的质量，把它分解成为了测定一台机床的质量，把它分解成7575个部个部件来称量。假定每个部件的称量误差（单位：件来称量。假定每个部件的称量误差（单位：kgkg）服）服从区间（从区间（-1-1，1 1）上的均匀分布，且每个部件的称量）上的均匀分布，且每个部件的称量误差相互独立，求机床质量的总误差的绝对值不超过误差相互独立，求机床质量的总误差的绝对值不超过 10 10 的概率。的概率。解解 设第设第 i 个部件的称量误差为个部件的称量误差为 Xi (i=1,2, ,75). 则则Xi (i=1,2, ,75) 相互独立且都相互独立且都从区间（从区间（-1-1，1 1）上的）上的均匀分布均匀分布, ,并有并有1()0,(),1,2,75