D可降阶微分方程实用教案

1、2022-5-19例例1. 解: 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第1页/共22页第一页，共23页。2022-5-19例例2. 质量质量(zhling)为为 m 的质点受力的质点受力F 的作用的作用沿沿 ox 轴作直线轴作直线运动(yndng),在开始(kish)时刻随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解: 据题意有tFoT0Ft = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初初速度为0, 且对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共22页第

2、二页，共23页。2022-5-19利用(lyng)初始条件于是(ysh)两边(lingbin)再积分得再利用故所求质点运动规律为0dd0ttx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共22页第三页，共23页。2022-5-19型的微分方程(wi fn fn chn) 设原方程(fngchng)化为一阶方程(fngchng)设其通解(tngji)为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共22页第四页，共23页。2022-5-19例例3. 求解求解(qi ji)解: ,py 则代入方程(fngchng)得分离(fnl)变量积分得利用于是有两端再积分

3、得利用,10 xy因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共22页第五页，共23页。2022-5-19例例4. 绳索(shn su)仅受重力(zhngl)作用而下垂,解: 取坐标系如图.考察(koch)最低点 A 到( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有Msgoyx故有设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得HA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页第六页，共23页。2022-5-19MsgoyxHA则得定解

4、问题(wnt): 原方程(fngchng)化为两端(lin dun)积分得, 01C得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页第七页，共23页。2022-5-19三、三、型的微分方程(wi fn fn chn) 令故方程(fngchng)化为设其通解(tngji)为即得分离变量后积分, 得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共22页第八页，共23页。2022-5-19例例5. 求解求解(qi ji)代入方程(fngchng)得两端(lin dun)积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd 则机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 第9页/共22页第九页，共23页。2022-5-19M : 地球质量(zhling)m : 物体质量(zhling)例例6. 静止开始落向地面(dmin), 求它落到地面(dmin)时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解: 如图所示选取(xunq)坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yoRl机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共22页第十页，共23页。2022-5-19两端(lin dun)积分得因此(ync)有注意(zh y)“”号机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共22页第十一页，共23页。2022-5

6、-19由于(yuy) y = R 时由原方程(fngchng)可得因此(ync)落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为)arccos(22lylyylMkltyoRl机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共22页第十二页，共23页。2022-5-19说明说明(shumng): 若此例改为如图所若此例改为如图所示的坐标系示的坐标系, Ryol22ddtym解方程可得问: 此时开方根号前应取(yn q)什么符号? 说明道理 .则定解问题(wnt)为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页第十三页，共23页。2022-5-19例例7. 解初值问题解初值问题解: 令代

7、入方程(fngchng)得积分(jfn)得利用(lyng)初始条件, 01C得根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页第十四页，共23页。2022-5-19为曲边的曲边梯形(txng)面积上述(shngsh)两直线与 x 轴围成的三角形面例例8.二阶可导, 且上任一点(y din) P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以解:于是2S在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .积记为( 99 考研 )Pxy1S1oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页第十五页，共23页。2022-5-19再利用(l

8、yng) y (0) = 1 得利用(lyng)得两边(lingbin)对 x 求导, 得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为2SPxy1S1oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页第十六页，共23页。2022-5-19内容内容(nir(nirng)ng)小结小结可降阶微分方程(wi fn fn chn)的解法 降阶法逐次(zh c)积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页第十七页，共23页。2022-5-19思考思考(sko)(sko)与与练习练习1. 方程(fngchng)如何(rh)代换求解 ?答: 令或一般说, 用前者方便些. 均

9、可. 有时用后者方便 .例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例6例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共22页第十八页，共23页。2022-5-19 P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作业作业(zuy) 第七节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共22页第十九页，共23页。2022-5-19oyx) 1 , 0(A速度(sd)大小为 2v, 方向(fngxing)指向A , )0 , 1(),(

10、yxB提示(tsh): 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有去分母后两边对 x 求导, 得又由于设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页第二十页，共23页。2022-5-19代入 式得所求微分方程(wi fn fn chn):其初始条件为oyxA)0 , 1(),(yxBtv机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页第二十一页，共23页。2022-5-19阜师院数科院感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。NoImage内容(nirng)总结2021/11/10。问该绳索的平衡状态是怎样的曲线。A 点受水平张力 H。静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需