第6章FIR数字滤波器的设计

1、1-140-120-100-80-60-40-200202内容提要内容提要6.1 引言引言6.2 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点6.3 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器6.4 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器6.5 FIR滤波器和滤波器和IIR滤波器的比较滤波器的比较本章学习要点本章学习要点p了解两类了解两类线性相位线性相位的概念，掌握的概念，掌握FIR数字滤波器线性相位数字滤波器线性相位条件条件的推导与证明；的推导与证明；p掌握相位条件掌握相位条件FIR滤波器的滤波器的幅度特点和

2、零点特性幅度特点和零点特性；p掌握掌握窗函数法窗函数法和和频率采样法频率采样法设计设计FIR数字低通滤波器的基数字低通滤波器的基本原理、步骤和实现；本原理、步骤和实现；p了解等波纹逼近法、简单整系数法设计了解等波纹逼近法、简单整系数法设计FIR数字滤波器的数字滤波器的方法；方法；p掌握掌握IIR及及FIR数字滤波器数字滤波器的比较。的比较。346.1 引言引言一、一、IIR滤波器的优缺点滤波器的优缺点 优点优点： 可以利用模拟滤波器设计的结果可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，有大量图表可查，方便简单方便简单。 精度高。精度高。 缺点缺点： 相位

3、的非线性相位的非线性，若须线性相位，则要采用，若须线性相位，则要采用全通网络全通网络进行进行相位校正，使滤波器设计变得复杂。相位校正，使滤波器设计变得复杂。5信号通过信号通过3种系统后的输出种系统后的输出不发生相位失真的条件不发生相位失真的条件 群时延群时延 （常数）（常数）c d)(d幅度失真幅度失真相位失真相位失真无失真传输无失真传输6二、二、FIR DF 优点优点 在满足幅度特性的同时，很容易做到线性相位特性。在满足幅度特性的同时，很容易做到线性相位特性。 10z )()z(NnnnhH设设FIR滤波器单位冲激响应滤波器单位冲激响应h(n)长度为长度为N，其系统函数，其系统函数H(z)为

4、：为： 稳定稳定和和线性相位线性相位是是FIR滤波器突出的优点。滤波器突出的优点。收敛域包含单位圆，收敛域包含单位圆，因此，因此，H(z)永远稳定。永远稳定。7三、为何要设计三、为何要设计FIR滤波器滤波器 （1）语音处理、图像处理以及数据传输要求线性相位，）语音处理、图像处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度（信道具有线性相位特性），而任意幅度（信道具有线性相位特性），而FIR数字滤波器能数字滤波器能够很容易地实现线性相位够很容易地实现线性相位。 （2）FIR数字滤波器数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因而滤的单位脉冲响应是有限长的，因而滤波器波器一定是稳定一定是稳定的。的。 （3）FIR

5、数字滤波器数字滤波器可以用可以用FFT算法算法来实现过滤信号。来实现过滤信号。 四、本章讨论的主要内容四、本章讨论的主要内容 （1）线性相位）线性相位FIR滤波器的条件和特点滤波器的条件和特点 （2）线性相位）线性相位FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法 窗函数法窗函数法和和频率采样法频率采样法86.2.1 FIR DF具有线性相位的条件具有线性相位的条件 对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为：，传输函数为： )()(10)(| )(|)()( jjjNnnjjeHeeHenheH 6.2 线性相位线性相位FIR滤波器的条件和特点滤波器的条件和特点| )(|)( jeHH )( H

6、其中，其中， 幅度特性幅度特性，纯实数，可正可负，即，纯实数，可正可负，即)( 相位特性相位特性 注意：注意：幅度特性幅度特性幅频特性幅频特性9例如：例如： 34sin)(jjeeH )( 3 2形式形式用用)()( jeH)( 2/ 2/ 形式形式用用)()( jjeeH1000.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.5100.51-3-2-1000.51-1-0.500.51)(3|4sin|4sin)( jjjeeeH 形式形式用用)()( jeH形式形式用用)()( jjeeH111H(ej)线性相位概念线性相位概念 H(ej)线性相位是指线性相位是指 是是的线性函数，

7、即群时延的线性函数，即群时延c d)(d)( )( 0)( 0000 )( 0000 ,)( 为常数为常数第一类第一类线性相位线性相位00,)( 为起始相位为起始相位第二类第二类线性相位线性相位122FIR滤波器具有线性相位的条件滤波器具有线性相位的条件h(n)是实序列，且满足偶对称或奇对称是实序列，且满足偶对称或奇对称，即，即21 Nnh(n)=h(N-1-n)或或h(n)=-h(N-1-n)，对称轴，对称轴13)cos(n)2/1cos(nN为奇数为奇数N为偶数为偶数143线性相位条件的证明线性相位条件的证明（1）h(n)偶对称的情况偶对称的情况)z(HnNnnh z )(10nNnnNh

8、 z )1(10)1(10zz )( NmNmmh由此可得由此可得)z(z)z(21)z(1)1( HHHN 10)1(zzz)(21NnnNnnh令令m=N-1-n因此因此 10)21()21(212zz)(zNnNnNnNnh)21(cos)()(10)21( nNnheeHNnNjj )()( jeH jez 21)( N第一类第一类线性相位线性相位 15 （2）h(n)奇对称的情况奇对称的情况因此因此 10)1(zz)z(21)z(NnnNnnhH 10)21()21(212zz)(zNnNnNnNnh2)()(10)21()21()21( NnNnjNnjNjjjeenhjeeH )

9、()( jeH )21(sin)()21(sin)(10)21(10)21(nNnhjeNnnhjeNnNjNnNj 221)( N第二类第二类线性相位线性相位 16)sin(nN为奇数为奇数)2/1sin(nN为偶数为偶数21 N21 Nn将和式中偶对称的项两两合并。由于将和式中偶对称的项两两合并。由于N是奇数，故余下中间是奇数，故余下中间一项（一项（ ），其余组合后共有），其余组合后共有 项，得项，得176.2.2 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性的特点滤波器幅度特性的特点 （1）h(n)=h(N-1-n)，N为奇数为奇数1型型均对均对(N-1)/2 呈偶对称呈偶对称)21(cos)(

10、)(10 nNnhHNn )21(cos)(2)21()(12/ )1(0 NnnhNhHNn mmNhNhNm 2/ )1(1cos)21(2)21(令令m=(N-1)/2-nnnaHNn cos)()(2/ )1(0 2/)1(2 , 1,212)(21)0(NnnNhnaNha 由于由于cosn对对=0、2这些点偶对称，因此这些点偶对称，因此H ()关于关于=0、2偶对称。偶对称。18 （2）h(n)=h(N-1-n)，N为偶数为偶数2型型 由于由于N是偶数，故是偶数，故 无单独项。合并后可得无单独项。合并后可得)21(cos)()(10 nNnhHNn )( H 12/0)21(cos

11、)(2)(NnnNnhH 21cos222/1mmNhNm 令令m=(N-1)/2-n 21cos)()(2/1nnbHNn 2/2 , 1,22)(NnnNhnb 滤波器。滤波器。）不能设计高通、带阻）不能设计高通、带阻（为呈偶对称；为呈偶对称；，为偶对称，幅度函数对为偶对称，幅度函数对，）余弦项对）余弦项对（呈奇对称；呈奇对称；对对是奇对称，所以是奇对称，所以对对且由于且由于处，必然有一个零点。处，必然有一个零点。在在即即，时，时，）当）当（320202)()21(cos1z)z(, 0)(0)21(cos1 HnHHn19 （3）h(n)=-h(N-1-n)，N为奇数为奇数3型型 2/

12、)1(1)sin()()(NnmncH 2/ )1(2 , 1,212)( NnnNhnc高通和带阻滤波器。高通和带阻滤波器。）不能用于设计低通、）不能用于设计低通、（呈奇对称。呈奇对称。对对处都为零。处都为零。在在处必为零。也即处必为零。也即，在在即即处都为零，处都为零，在在）由于）由于（22 , 0)(1Z)z(2, 0)(2 , 0)sin(1 HHHn)21(sin)()(10 nNnhHNn 由由 ，同理得到，同理得到20 （4）h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数为偶数4型型低通、带阻滤波器。低通、带阻滤波器。）此类型不能用于设计）此类型不能用于设计（呈偶对称。呈偶对称。处呈奇对

13、称，对处呈奇对称，对，对对处有一零点。处有一零点。在在处为零。即处为零。即在在即即，处为处为，在在）由于）由于（由此看出：由此看出：其中：其中：220)(1z)z(2 , 0)(020)21(sin12, 3 , 2 , 1)2(2)()21(sin)()(2/1 HHHnNnnNhndnndHNn类型类型h(n)1型型h(n)=h(N-1-n) N为奇数为奇数关于关于 偶对称偶对称第一类线性相位第一类线性相位2型型h(n)=h(N-1-n)N为偶数为偶数关于关于 偶对称偶对称关于关于 奇对称奇对称3型型h(n)=-h(N-1-n) N为奇数为奇数关于关于 奇对称奇对称第二类线性相位第二类线性

14、相位4型型h(n)=-h(N-1-n) N为偶数为偶数关于关于 奇对称奇对称关于关于 偶对称偶对称表表6-1a 四种线性相位四种线性相位FIR滤波器的特性滤波器的特性 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 21)( N221)( N)( )( H22实际使用时，一般来说，实际使用时，一般来说，1型型适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器；适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器；2型型适合构成低通、带通滤波器；适合构成低通、带通滤波器；3型型适合构成带通滤波器；适合构成带通滤波器；4型型适合构成高通、带通滤波器。适合构成高通、带通滤波器。 23表表6-1b 四种线性相位滤波器四种线性相位滤

15、波器1型型2型型3型型4型型24256.2.3 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点由式（由式（6-9）和（）和（6-16）得到：）得到： 如果如果H(zi)=0，则，则H(zi-1)=0。0)z(z)z(i1i1i HHN)z(z)z(-1)1(HHN *zzi 1i*)(zz 此外，因此外，因h(n)是实数，是实数，H(z)的零点必成共轭对出现，的零点必成共轭对出现，所以所以 及及 也一定是也一定是H(z)的零点的零点。所以，所以，零点必是零点必是互为倒数的共轭对互为倒数的共轭对或者说共轭镜像或者说共轭镜像。 26图图 6-5 线性相位线性相位FIR滤波器的零点位置图

16、滤波器的零点位置图27296.3 窗函数法窗函数法设计设计FIR滤波器（滤波器（Fourier 级数法级数法）一、设计思路与方法一、设计思路与方法 1.由理想的频率响应由理想的频率响应 得到理想的得到理想的 ； 2.将无限长的将无限长的hd(n) 加窗截断加窗截断 为有限长的为有限长的h(n)； h(n)=hd(n)w(n)例如，例如， 。 3.由由h(n) 所设计滤波器的频率响应所设计滤波器的频率响应 。)e (d jH)(dnh非因果，无限长非因果，无限长)()(NnRnw 要注意要注意线性相位的约束条件！线性相位的约束条件！)e ( jH 10)()e (NnnjjenhH 30例：例：

17、设计一个设计一个线性相位线性相位FIR数字低通滤波器。数字低通滤波器。 理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的频率响应 无限长无限长 偶对称偶对称 截短截短 保留保留 |, 0|,1)(ccdajjeeH)()(sin21)(cdccanandeenhnjaj 31 在一定意义上来看，窗函数在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够决定了我们能够“看到看到”多少个多少个原来的单位脉冲响应，原来的单位脉冲响应，“窗窗”这这个用词的含义也就在此。个用词的含义也就在此。)()()(NdnRnhnh 32ajdajeHdWHe )()()(21R二、加窗对滤波器频率特性的影响二、加窗对滤波器频率特性的影

18、响)()()()()(nRnhnwnhnhNdd deWeHeWeHeHjjjjj)()(21)(*)(21)()(RdRd |, 0|,1)()(ccddajjjeeHeHajNjNnnjjeWNeenReW )()2/sin()2/sin()()(R)21(10NR deWeHeHajajj)(Rd)()(21)()(*)(21)()(21)(RR WHdWHHdd 图图6-9 矩形窗矩形窗对理想低通幅度特性的影响对理想低通幅度特性的影响34吉布斯（吉布斯（Gibbs）效应）效应 由于对由于对hd(n) 截短，导致了所设计滤波器幅频特性的起截短，导致了所设计滤波器幅频特性的起伏波动，波动的

19、幅度伏波动，波动的幅度强弱完全取决于窗函数的类型强弱完全取决于窗函数的类型，而，而与窗与窗的宽度的宽度N无关无关。这种现象称为。这种现象称为吉布斯（吉布斯（Gibbs）效应）效应。-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51N=7N=21N=51N=101361.加矩形窗对滤波器频响产生的影响加矩形窗对滤波器频响产生的影响 （1）出现出现过渡带过渡带，宽度等于，宽度等于WR()的主瓣宽度（对于的主瓣宽度（对于矩形窗矩形窗 ）；）； （2）通带和阻带

20、内产生波动通带和阻带内产生波动，其其振荡幅度取决于旁瓣振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度的相对幅度。 2.对窗函数的要求对窗函数的要求p主瓣宽度小主瓣宽度小，以获得较陡的过渡带；，以获得较陡的过渡带；p与主瓣的幅度相比，旁瓣应尽可能小，与主瓣的幅度相比，旁瓣应尽可能小，把能量尽量集中在把能量尽量集中在主瓣中主瓣中，以减小通带和阻带中的波纹幅度。，以减小通带和阻带中的波纹幅度。N/4 37三、常用窗函数三、常用窗函数 （1）矩形窗）矩形窗 )1(21)2/sin()2/sin()()()( NjjRjRNReNeWeWnRnW（主瓣宽度：主瓣宽度： N438 （2）升余弦窗（）升余弦窗（汉汉宁窗宁窗H

21、anning Window）10)()12cos(121)()2()2(25. 0)(5 . 0)12()12(25. 0)(5 . 0)( NnnRNnnwNWNWWNWNWWWNRRRRRR 转换成时域为：转换成时域为：主瓣宽度：主瓣宽度： N839 （3）改进的升余弦窗（）改进的升余弦窗（汉汉明明Hamming窗）窗）10)()12cos(46. 054. 0)(%99.963)2()2(23. 0)(54. 0)12()12(23. 0)(54. 0)( NnnRNnnwNWNWWNWNWWWNRRRRRR 转换成时域为：转换成时域为：瓣内。瓣内。的能量集中在窗谱的主的能量集中在窗谱的

22、主可将可将主瓣宽度：主瓣宽度： N840 （4）二阶升余弦窗（布莱克曼）二阶升余弦窗（布莱克曼Blackman窗）窗）10)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)()14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)( NnnRNnNnnwNWNWNWNWWWNRRRRR 转换成时域为：转换成时域为：主瓣宽度：主瓣宽度： N12410510152025303540455000.81HammingBlackman图图6-10 常用窗函数的时域波形常用窗函数的时域波形00.81-120-100-80-60-40-20000

23、.1-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-200图图6-11 常用窗函数的频谱常用窗函数的频谱HammingBlackmanRectangleHanning图图6-12 理想低通加窗后的幅度响应（理想低通加窗后的幅度响应（N=51）00.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-20000.81-120-100-80-60-40-200

24、00.81-120-100-80-60-40-200HammingBlackmanRectangleHanning44 （5）凯塞窗（）凯塞窗（Kaiser Window） 这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为 式中，式中，I0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数，是第一类变形零阶贝塞尔函数， 是一个可是一个可自由选择的参数。自由选择的参数。 凯塞窗可以在凯塞窗可以在主瓣宽度主瓣宽度和和旁瓣衰减旁瓣衰减之间自由选择。之间自由选择。 10)()1/(211()(020 NnINnInw 45表表6-2 凯塞窗的性能凯塞窗的性能过渡带过

25、渡带通带波纹通带波纹/dB阻带最小衰减阻带最小衰减/dB2.1203.00/N0.27-303.3844.46/N0.0864-404.5385.86/N0.0274-505.6587.24/N0.00868-606.7648.64/N0.00275-707.86510.0/N0.000868-808.96011.4/N0.000275-9010.05612.8/N0.000087-100 46表表6-3 几种窗函数基本参数的比较几种窗函数基本参数的比较窗函数窗函数旁瓣峰值幅旁瓣峰值幅度度/dB 过渡带宽过渡带宽阻带最小衰减阻带最小衰减/dB矩形窗矩形窗-134/N-21汉宁窗汉宁窗-318/

26、N-44汉明窗汉明窗-418/N-53布莱克曼布莱克曼窗窗-5712/N-74凯塞窗凯塞窗-5710/N-80 865. 7 要求：要求：熟悉各种熟悉各种窗函数的技术指标窗函数的技术指标和和加窗后对滤波特性加窗后对滤波特性的影响的影响，能根据设计指标正确选择窗函数类型及其长度，能根据设计指标正确选择窗函数类型及其长度N。四、窗函数法设计线性相位四、窗函数法设计线性相位FIR滤波器的一般步骤滤波器的一般步骤 为了准确控制滤为了准确控制滤波器通带边缘，常需波器通带边缘，常需进行多次设计。进行多次设计。 若若Hd(ej )不能用简不能用简单函数表示，则可用单函数表示，则可用求求和和运算代替运算代替积

27、分积分运算。运算。48例例 题题 例例6-4 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器（1）设计）设计N为奇数时的为奇数时的h(n)。 （2）设计）设计N为偶数时的为偶数时的h(n)。 （3）若改用海明窗设计，求以上两种形式的）若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。表达式。其他, 0|,)(00dccajjeeH49 解：解：h(n)=hd(n)R(n) 注意：注意：N取奇、偶，虽然两个表达式形式完全一样，但取奇、偶，虽然两个表达式形式完全一样，但在在 0nN-1 上的取值上完全不同。上的取值上完全不同。)(cos2)()(sin)(21)(212121)(21)(0)()(000000

28、00 nnnnjenjedeedeedeeHnhcnjnjnjajnjajnjjddcccccccc50 例例 6-5 根据下列技术指标，设计一个根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。低通滤波器。 通带截止频率通带截止频率 p=0.2 ，通带允许波动，通带允许波动Ap=0.25dB； 阻带截止频率阻带截止频率 s=0.3 ，阻带衰减，阻带衰减As=50dB。 解：解：查表查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰减。的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度度N。 根据题意，所要设计的滤波

29、器的过渡带为根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为 由表由表6-3可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽 =8 /N，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为 1 . 02 . 03 . 0ps 801 . 088 N513 dB通带截止频率为通带截止频率为 由式（由式（6-29）可知，理想低通滤波器的单位脉冲响应为）可知，理想低通滤波器的单位脉冲响应为海明窗为则所设计的滤波器的单位脉冲响应为 25. 02psc )()(sin)(cd nnnh21 N )(12cos46. 054. 0)(NnRNnnw )(12cos46.

30、 054. 0)()(sin)(NcnRNnnnnh 80 N52例例6-6 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器低通滤波器设设N=11， c=0.2 rad。解：解：Matlab程序如下程序如下%汉宁窗汉宁窗N=11; n=0:1:N-1;Wc=0.2*pi;hd=ideal_lp(Wc,N);w_han=(hanning(N);h=hd.*w_han;db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1);plot(w/pi,db);%矩形窗矩形窗w_han=(boxcar(N);%布莱克曼窗布莱克曼窗w_han=(blackman(N);5

31、3仿真曲线仿真曲线01-140-120-100-80-60-40-20020 Hanning windowrectangle windowblackman window546.4 利用利用频率采样法频率采样法设计设计FIR滤波器滤波器一、一、设计方法设计方法 （1）对待设计的滤波器频响）对待设计的滤波器频响 在在 之间之间等间隔采样等间隔采样N点，得到点，得到 （2）将此）将此Hd(k)作为所设计滤波器频响的采样值，即令作为所设计滤波器频响的采样值，即令H(k)= Hd(k)，k=0,1,N-1 （3）对对N点点H(k)求求IDFT，得到，

32、得到h(n)。将。将h(n)代入代入z变换变换或或DTFT公式，可得所设计滤波器的公式，可得所设计滤波器的H(z)或或H(ej )。 也可以根据也可以根据H(z)或或H(ej )的内插公式，的内插公式，由由H(k)内插恢复内插恢复出出H(z)及及H(ej ) 。)(d jeH 20 10| )()(2dd NkeHkHkNj 要注意要注意线性相位的约束条件！线性相位的约束条件！55与与窗函数法窗函数法比较：比较：（1）1型线性相位型线性相位FIR滤波器滤波器（h(n)=h(N-1-n)，N为奇数）为奇数） ，令令 由于由于Hd( )关于关于 = 偶对称偶对称，Hd( ) =Hd(2 - )，因

33、此，因此Hk也满足偶对称也满足偶对称的要求。的要求。 相位相位kk)2(d2d)2(| )()( jkNjkNjeHekNHeHkH 二、设计线性相位滤波器的条件二、设计线性相位滤波器的条件)(dd)()( jjeHeH 21)( N?k H)11(|212kNkNkN 57（2）其他类型线性相位其他类型线性相位FIR滤波器滤波器 类型类型Hk k1型型Hk=HN-k2型型Hk=- -HN-k 3型型Hk=- -HN-k4型型Hk=HN-k)11(kNk 2)11(k Nk 频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响应频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响应在每个在每个频率采样点上严格与理想特

34、性一致频率采样点上严格与理想特性一致，各采样点之间的频响则，各采样点之间的频响则是由是由各采样点的内插函数延伸叠加各采样点的内插函数延伸叠加而成。而成。58三、逼近误差三、逼近误差 从从时域方面时域方面分析分析 根据频域采样定理，根据频域采样定理，h(n)和和hd(n)的关系为：的关系为：由于时域混叠，引起由于时域混叠，引起h(n)和和hd(n)有偏差，可增大有偏差，可增大N来减小。来减小。 从从频域方面频域方面分析分析 采样点处采样点处H(ej )与理想特性一致，采样点之间的频响则与理想特性一致，采样点之间的频响则是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。逼近误

35、差和逼近误差和Hd(ej )的平滑程度有关。的平滑程度有关。 rnRrNnhnh)()()(Nd 10)2()()(NkjkNkHeH 内插函数内插函数59图 6-17 内插后矩形理想特性与梯形特性频率采样的响应 由图可见：由图可见： 误差大小取决于理想频率响应曲线形状。误差大小取决于理想频率响应曲线形状。 理想频率响应特性变化越平缓，则内插（采样）值越接理想频率响应特性变化越平缓，则内插（采样）值越接近理想值，逼近误差越小。近理想值，逼近误差越小。60四、过渡带采样的最优设计四、过渡带采样的最优设计 为了提高逼近质量，为了提高逼近质量，在理想特性不连续点处人为加入过在理想特性不连续点处人为加

36、入过渡采样点（渡采样点（13个）个），虽然加宽了过渡带，但，虽然加宽了过渡带，但缓和了边缘上缓和了边缘上两采样点之间的突变两采样点之间的突变，将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰减。减。 过渡点的值，可由计算机通过线性最优化技术来确定。过渡点的值，可由计算机通过线性最优化技术来确定。 例例6-8 利用频率采样法设计一个线性相位利用频率采样法设计一个线性相位FIR低通滤波低通滤波器，已知器，已知 （1）采样点数）采样点数N=33， c= /2； （2）采样点数）采样点数N=34， c= /2 ，设置两个过渡点，设置两个过渡点|H1(k)|=0.5925， |H2(k)

37、|=0.1099。 解：解：（1）首先选择滤波器的种类。由于要设计的是低首先选择滤波器的种类。由于要设计的是低通，且通，且N为奇数，故选择为奇数，故选择1型滤波器，于是有型滤波器，于是有由由 ，确定通带内的采样点数，确定通带内的采样点数 取整数取整数k=8，应在通带内设置，应在通带内设置9个采样点（个采样点（k=08），第），第10个采样点已在通带截止频率个采样点已在通带截止频率之外，处于阻带内。之外，处于阻带内。kN 2c k3322 433 k)320,1(k,3332)11(k kNk62 根据根据Hk=HN-k，可得，可得Hk为为因此因此 将将H(k)代入代入 内插公式即得所设计滤波器

38、的频率响内插公式即得所设计滤波器的频率响应。应。 249, 03225, 80, 1kkkkH 249, 03225, 80,)(3332kkkekHkj )( jeH （2）选择滤波器的种类。由于要设计的是低通，）选择滤波器的种类。由于要设计的是低通，且且N为为偶数，故选择第偶数，故选择第2类滤波器类滤波器，于是有，于是有由由 ，确定通带内的采样点数，确定通带内的采样点数 取整数取整数k=8，应在通带内设置，应在通带内设置9个采样点（个采样点（k=08），第），第10个采样点已在通带截止频率个采样点已在通带截止频率之外，可之外，可将将第第10、11点设为过点设为过渡点渡点。 根据根据Hk=-

39、HN-k，可得，可得Hk为为 Hk=1(k=08)，0.5925(k=9)，0.1099(k=10), -0.1099(k=24), -0.5925(k=25)，-1(k=2633)，0(其它其它)kN 2c k3422 434 k)330,1(k,3433)11(k kNk6465因此因此 将将H(k)代入代入 内插公式即得所设计滤波器的频率响内插公式即得所设计滤波器的频率响应。应。 其他其他,03326,e-25,5925e. 0-24,99e01 . 0-10,e0991 . 09,e5925. 080,e)(k3433jk3433jk3433jk3433jk3433jk3433jkkk

40、kkkkH )( jeH66 例例6-9 要求编程实现例题要求编程实现例题6-8中所要求的内容。中所要求的内容。 解：解：Matlab主要程序主要程序%过渡带不设置采样点过渡带不设置采样点N=33;alpha=(N-1)/2;k=0:N-1;wk=(2*pi/N)*k;Hk=ones(1,9),zeros(1,16),ones(1,8);Hd=1,1,0,0;wd=0,0.5,0.5,1;angH=-alpha*(2*pi)/N*k;H=Hk.*exp(i*angH);h=real(ifft(H,N);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1);Hr,ww,a,L=Hr_Typ

41、e1(h);subplot(2,2,1);plot(ww/pi,Hr,wk(1:17)/pi,Hk(1:17),o,wd,Hd);axis(0,1,-0.5,1.2);subplot(2,2,2);plot(w/pi,db);axis(0,1,-100,10);grid仿真曲线仿真曲线00.81-0.500.50.81-100-80-60-40-20000.81-0.500.50.81-100-80-60-40-200686.5 FIR滤波器和滤波器和IIR滤波器的比较滤波器的比较 前面讨论了前面讨论了IIR和和F

42、IR两种滤波器传输函数的设计方法。两种滤波器传输函数的设计方法。这两种滤波器究竟各自有什么特点？在实际运用时应该怎样这两种滤波器究竟各自有什么特点？在实际运用时应该怎样去选择它们呢？去选择它们呢？ 为此对这两种滤波器作一简单的比较。为此对这两种滤波器作一简单的比较。 1.从性能上比较从性能上比较 2.从结构上比较从结构上比较 3.从设计工具上比较从设计工具上比较691.1.从性能上进行比较从性能上进行比较pIIR滤波器滤波器 传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济较低的阶数获得高的选择

43、性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则择性越好，则相位非线性越严重相位非线性越严重。pFIR滤波器滤波器 可以得到可以得到严格的线性相位严格的线性相位，然而由于，然而由于FIR滤波器传输函滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择用较高的阶数达到高的选择性性；对于同样的滤波器设计指标，；对于同样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数滤波器所要求的阶数可以比可以比IIR滤波器高滤波器高5-10倍倍，结果，成本较高，信号延时也，结果，成本

44、较高，信号延时也较大。较大。702.2.从结构上进行比较从结构上进行比较pIIR滤波器滤波器 必须采用必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定统将不稳定。另外，在这种结构中，由于运算过程中对序列。另外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的舍入处理，这种有限字长效应有时会引入寄生振荡。的舍入处理，这种有限字长效应有时会引入寄生振荡。pFIR滤波器滤波器 主要采用主要采用非递归结构非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外，。此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，件下，运算速度可以快得多运算速度可以快得多。713.3.从设计工具进行比较从设计工