点集拓扑复习

1、1报告内容报告内容Part I 纪念老人家（学习经历）纪念老人家（学习经历）Part II 科研经历科研经历Part III 博士论文博士论文 点集拓扑学不同于数学专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；而且基本概念是比较多的，对于学习者是比较困难的，在教材里，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，教材中出现的例子也比较抽象。3 拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托提出了集合论之后，以集合论为基础，配之以

2、映射概念，拓扑学有了根本性的发展。从欧拉的七桥问题，地图着色问题，Jordan曲线定理：平面上简单闭曲线将平面分成两部分。4 高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。再到黎曼发现了多值函数解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑分类。拓扑学都有着很深刻的发展。5 拓扑学是几何学的分支,且是与欧氏几何不同的分支。研究对象是一般的几何图形（拓扑空间），即研究几何图形的拓扑性质，而且对应的欧氏几何图形在正交变换下的不变性和不变量。拓扑学研究更一般的图形在弹性变形下的不变性和不变量，在而在近代拓扑学发展为几个重要的分支：点集拓扑；代数拓扑；微分拓

3、扑；几何拓扑。6点集拓扑, 既是数学的拓扑学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质. 其中里面有很多内容在以前的学习都已经学习过，里面的很多定义定理在以前学习的课程中都有，虽然叙述方式不一样，但其中内容是一致的，而且有些内容会在学习其它课程中有着具体的应用和阐述证明。这充分的说明点集拓扑在对于高等数学的融入和镶嵌有着很深的影响。 学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？一、点集拓扑学的主要内容：一、点集拓扑学的主要内容：1一般拓扑空间：（1）任何点集只要定义了拓扑，就成

4、了拓扑空间任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域指定了顺序的元素就成了序列（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）（2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等任何集合均可通过指定开集而构成上述空间因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同）（3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？）2有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间

5、、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间（1）并不是任何空间都可以成为上述空间的只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间（各类空间之间没有必然的联系）一、点集拓扑学的主要内容：一、点集拓扑学的主要内容：1一般拓扑空间：（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域指定了顺序的元素就成了序列（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）一、点集拓扑学的主要内容：一、点集拓扑学的主要内容：1一般拓扑空间：（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域指定了顺序的元素就成了序列（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）三、研究手法：三、研究手法：集合的运算与逻辑推理五、几个注意点五、几个注意点:1首先，要熟悉所有的定义、定理的内容2涉及度量空间，常利用球形邻域3.有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集. 4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有限个拓扑的并也可能不是拓扑.5.拓扑空间中任意个紧致闭