3数量积与向量积23402实用教案

1、ab 结论 两向量的数量(shling)积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量(shling)积也称为“点积”、“内积”.第1页/共34页第一页，共35页。关于(guny)数量积的说明：证证 ,2 ,2 第2页/共34页第二页，共35页。数量(shling)积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数 若 、 为数： 证明(zhngmng)（1）、（3）由定义(dngy)可证余下证明（2）第3页/共34页第三页，共35页。 仅就下图所示的情形(qng xing)给出证明，其它情形(qng xing)可仿此证明abba c第4页/共34页第四页，共

2、35页。设数量(shling)积的坐标表达式第5页/共34页第五页，共35页。两向量夹角余弦(yxin)的坐标表示式由此可知两向量(xingling)垂直的充要条件为第6页/共34页第六页，共35页。解 .43 第7页/共34页第七页，共35页。证第8页/共34页第八页，共35页。例3应用(yngyng)向量证明CauchySchwarz不等式证记 321,aaaa 则232221|aaaa 第9页/共34页第九页，共35页。例4应用向量(xingling)证明直径所对的圆周角是直角证如图所示xyoABC圆的方程(fngchng)：设 A 点的坐标(zubio)为则 0 , yxRAB 0 ,

3、 yxRAC ACAB ACAB 第10页/共34页第十页，共35页。例5设cba,是三个单位向量始于同一点O且0 cba证明它们终点的连线构成一等边三角形证一ABCOabcabAB bcBC caCA )()(|2ababAB 又cba 第11页/共34页第十一页，共35页。由1| cba3|2 AB同理3|2 BC3|2 AC故它们终点的连线(lin xin)构成等边三角形证二由0 cba得又acb 第12页/共34页第十二页，共35页。同理故由余弦定理(y xin dn l)，有babaAB 2|222cbcbBC 2|222cacaAC 2|222故它们(t men)终点的连线构成等边

4、三角形第13页/共34页第十三页，共35页。 sin|FOP 实例(shl)二、两向量(xingling)的向量(xingling)积LFPQO 第14页/共34页第十四页，共35页。定义(dngy)关于(guny)向量积的说明：ba)2(/向量积也称为(chn wi)“叉积”、“外积”.第15页/共34页第十五页，共35页。向量积符合(fh)下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若 为数 证ba/ba/或或0 第16页/共34页第十六页，共35页。设向量(xingling)积的坐标表达式第17页/共34页第十七页，共35页。向量积还可借助于三阶(sn ji)行列式表示由上式可推出ba/0

5、zyzyabba0 zxzxabba0 yxyxabba第18页/共34页第十八页，共35页。例如(lr)，补充(bchng)abbac 第19页/共34页第十九页，共35页。解|0ccc 第20页/共34页第二十页，共35页。ABC解3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形ABC的面积(min j)为|21ABACS | AC|21BDS | AC第21页/共34页第二十一页，共35页。解),sin(|nmnmnm 0),( pnm 第22页/共34页第二十二页，共35页。定义(dngy)设混合(hnh)积的坐标表达式三、向量(xingling)的混合积第23页/共34页第二十三页

6、，共35页。（1）向量混合积的几何(j h)意义：acbba 关于混合(hnh)积的说明：轮换(lnhun)对称性第24页/共34页第二十四页，共35页。证明(zhngmng)由cba,共面0 设0 由混合(hnh)积的几何意义知得cba,共面第25页/共34页第二十五页，共35页。解0 0 0 cba )(例9第26页/共34页第二十六页，共35页。解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 第27页/共34页第二十七页，共35页。

7、,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 式中正负号的选择必须和行列式的符号(fho)一致.第28页/共34页第二十八页，共35页。例11设dcba,是四个已知向量，其中cba,不共面，试利用矢量运算将 d表示为 cba,的线性组合分析(fnx)依题意(t y)其中(qzhng) x , y , z 待定为求得 x ，须消去 y , z 由上式可见，若能用一个与cb,都垂直的向量，则y , z 可同时消去，自然想到 解设有czbyaxd 第29页/共34页第二十九页，共35页。以与上式两端作点积，得由于cba,不共面同理又由轮换(lnhun)对称性知第30页/共34页第三

8、十页，共35页。向量(xingling)的数量积向量(xingling)的向量(xingling)积向量(xingling)的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结第31页/共34页第三十一页，共35页。思考题第32页/共34页第三十二页，共35页。思考题解答(jid)第33页/共34页第三十三页，共35页。谢谢您的观看(gunkn)！第34页/共34页第三十四页，共35页。NoImage内容(nirng)总结结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.。数量积也称为“点积”、“内积”.。（3）若 为数。若 、 为数：。（1）、（3）由定义可证。设 A 点的坐标