复变函数第四章3,4节

1、第三节第三节 解析函数的泰勒展式解析函数的泰勒展式1、泰勒、泰勒(Taylor)定理定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式、一些初等函数的泰勒展式(4.9)定理定理4.14 (泰勒定理泰勒定理) 设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,aD,只只要要K:|z-a|R含于含于D,则则f(z)在在K内能展成如下幂级数内能展成如下幂级数 0( )()nnnfzcza(4.8)其中系数其中系数( )11( )( )2()!nnnpffacdian(:|,0;0,1,2,)zR n且展式是唯一的且展式是唯一的. .1. 泰勒泰勒(Taylor)定

2、理定理（4.8）称为）称为f(z)在点在点a的的泰勒展式泰勒展式，（，（4.9）称为其）称为其泰勒系数泰勒系数，（，（4.8）中的级数称为）中的级数称为泰勒级数泰勒级数。 定理定理4.15 f(z)在区域在区域D内解析的充要条件为内解析的充要条件为:f(z)在在D内任一点内任一点a的邻域内可展成的邻域内可展成z-a的幂级数的幂级数,即泰勒级数即泰勒级数.max( )|(0,0,1,2,).z annf zcR n 由柯西不等式知若由柯西不等式知若f(z)在在|z-a|0,且且)|:|( ,)()(0RazKzazczfnnn则则f(z)在收敛圆周在收敛圆周C：|z-a|=R上至少有一奇点，即不

3、上至少有一奇点，即不可能有这样的函数可能有这样的函数F(z)存在，它在存在，它在|z-a|R内与内与f(z)恒恒等，而在等，而在C上处处解析上处处解析. 2. 幂级数和函数在收敛圆周上的状况幂级数和函数在收敛圆周上的状况231(|)2!3!nzzzzezzn );|(|,)!2() 1(cos02Znzznnn).|(|,)!12() 1(sin012znzznnn.) 1(322)1 (ln132 nzzzzikznnk3. 3. 一些初等函数的泰勒展式一些初等函数的泰勒展式 2!2)1(1)1(zzz nznn!)1()1(1、 解析函数零点的孤立性解析函数零点的孤立性2、 唯一性定理唯一

4、性定理3、 最大与最小模原理最大与最小模原理第四节第四节 解析函数零点的孤立性与唯一性定理解析函数零点的孤立性与唯一性定理 定义定义4.7 设设f(z)在解析区域在解析区域D内一点内一点a的值为零，即：的值为零，即：f(a)=0，则称，则称a为解析函数为解析函数f(z)的一个零点的一个零点. 如果在如果在|z-a|R内，解析函数内，解析函数f(z)不恒为零，我们不恒为零，我们将它在点将它在点a展成幂级数，此时，幂级数的系数不必展成幂级数，此时，幂级数的系数不必全为零，故必有一正数全为零，故必有一正数m(m1)，使得，使得(1)()( )( )( )0,( )0,mmf afafafa 但但合乎

5、上述条件的合乎上述条件的m称为零点称为零点a的阶的阶(级级)，a称为称为f(z)的的m阶阶(级级)零点零点。特别是当。特别是当m=1时，时，a也称为也称为f(z)的的简单简单零点零点.1. 1. 解解析函数的零点及其孤立性析函数的零点及其孤立性定理定理4.17 不恒为零的解析函数不恒为零的解析函数f(z)以以a为为m级零点的充要条件为级零点的充要条件为:( )()( )mf zzaz ( )z 其中其中. 0)(a(4.14)在点在点a的邻域的邻域|z-a|R内解析内解析,且且证证 必要性必要性 由假设，由假设，只要令只要令即可。充分性是明显的。即可。充分性是明显的。 1)1()()()!1(

6、)()(!)()(mmmmazmafazmafzf )()!1()(!)()()1()(azmafmafzmm定理定理4.18 如在如在|z-a|R内解析的函数内解析的函数f(z)不恒为不恒为零，零，a为其零点，则必有为其零点，则必有a的一个邻域，使得的一个邻域，使得f(z)在其中无异于在其中无异于a的零点的零点(简单来说就是，不恒为零简单来说就是，不恒为零的解析函数的零点必是孤立的的解析函数的零点必是孤立的)。 零点的孤立性零点的孤立性(2)(2)在在K内有内有f( (z) )的一列零点的一列零点 zn(zn0)0)收敛于收敛于a, ,推论推论4.194.19 设设(1)(1)f( (z)

7、)在邻域在邻域K:|z-a|R内解析内解析; ;即存在即存在 zn K, , ( (zn0)0) f( (zn)=0, )=0, zna ( )0 zf ZK(1)函数函数f1(z)， f2(z)在区域在区域D内解析，内解析，(2)D内有一个收敛于内有一个收敛于aD的点列的点列zn(zna)，满，满足足 ,则在则在D内有内有 f1(z) f2(z). 定理定理4.20(解析函数的唯一性定理解析函数的唯一性定理) 设：设：2. 零点的唯一性零点的唯一性推论推论4.21 设在区域设在区域D内解析的函数内解析的函数f1(z)及及f2(z)在在D内内的某一子区域的某一子区域(或一小段弧或一小段弧)相等

8、相等,则它们在则它们在D内恒等内恒等.推论推论4.22 一切在实轴上成立的恒等式一切在实轴上成立的恒等式,在在z平面上也平面上也成立成立,只要这个恒等式的两边在只要这个恒等式的两边在z平面上都是解析的平面上都是解析的.), 2 , 1)()(21nzfzfnn例例1 在复平面解析、在实轴上等于在复平面解析、在实轴上等于sinx的函数的函数只能是只能是sinz.解解 设设f(z)在复平面解析、在实轴上等于在复平面解析、在实轴上等于sinx，那么那么f(z)-sinz在复平面解析、在实轴上等于在复平面解析、在实轴上等于0，由解析由解析函数的唯一性定理，在复平面上函数的唯一性定理，在复平面上f(z)

9、-sinz=0，即，即f(z)=sinz.例例2 2 是否存在着原点解析的函数是否存在着原点解析的函数f(z)，分别满足下列条件分别满足下列条件:;21)21(, 0)121() 1 (nnfnf., 2 , 1,1)1() 2(nnnnf解解 （1）由于）由于 及及 都以都以0为聚点，由解析为聚点，由解析121n21n函数的唯一性定理，函数的唯一性定理，f(z)=z是在原点解析并满足是在原点解析并满足的唯一的解析函数；但此函数不满足的唯一的解析函数；但此函数不满足条件条件 。因此在原点解析并满足。因此在原点解析并满足这些条件的函数这些条件的函数不存在不存在。（2）由于）由于 ，由解析函数的唯一性定理，由解析函数的唯一性定理，是在原点解析并满足此条件的是在原点解析并满足此条件的唯一唯一nnf21)21(, 2 , 1, 0)121(nn