角平分线性质1

1、角平分线的性质（角平分线的性质（1） 请你将一张用纸片做的角分成两请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？个相等的角。你有什么办法？AOBC活活 动动11 1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中OM=ON,MC=NCOM=ON,MC=NC。活活 动动2M 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ONCE将点将点O O放在角的顶点放在角的顶点,OM,OM和和ONON沿着角的两边放下沿着角的两边放下, ,沿沿OCOC画一条画一条射线射线OE,OEOE,OE就是角平分线，你就是角平分

2、线，你能说明它的道理吗能说明它的道理吗? ? 2、证明： 在OMCOMC和和ONCONC中中 OM=ONOM=ON（已知）（已知） MC=NCMC=NC（已知）（已知） OC=OCOC=OC（公共边）（公共边） OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）对应角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）OMNCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（用直尺和圆规）一个角的平分线？（用直尺和圆规）活活 动动3OABCENOMCENM画法：画法：以为圆心，适当

3、长为半径作弧，交以为圆心，适当长为半径作弧，交于于N，交交于于M分别以，为圆心分别以，为圆心大于大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的长为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直与直线线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活

4、动动4ABOCD1 1、折痕、折痕PEPE和和PDPD与角的两边与角的两边OAOA、OBOB有有 什么关系？什么关系？ PDPD和和PEPE相等吗相等吗？（量一量）（量一量）2 2、由此你能得出关于角平分线的结论吗？、由此你能得出关于角平分线的结论吗？ 并证明你的结论。并证明你的结论。COBAPDE观察折纸，思考问题： 将角将角AOBAOB对折对折, ,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形( (使第一条使第一条折痕为斜边折痕为斜边), ),然后展开然后展开, ,观察两次折叠形成的三条观察两次折叠形成的三条折痕折痕, ,回答下列问题。回答下列问题。活活 动动5角平分线性质角平分线性质: :角

5、角的的平分平分线上的点线上的点到这个角的到这个角的两边两边的的距离距离相等相等. . 已知已知:(如图)C平分, P是OC上一点, PDOA,PEOB 求证求证:PD=PE证明证明: C平分, P是OC上一点（已知）DP=BP（角平分线定义）PDOA,PEOB （已知）ODP=OEP=90（垂直的定义）在OPD和OPE 中 DOP=BOP （已证） ODP=OEP （已证）OP=OP（已知） ADC ABC (S)（全等三角形对应边相等）几何语言几何语言: : OC是是AOB的平分线的平分线,PDOA,PEOB PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相

6、等). EDOABPC 思考：思考： 反过来反过来，到一个角的两边的距离相等，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PDOA，PEOB， 点D、E为垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上EDOABPC角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。证明证明:PDOA,PEOB （已知） ODP=OEP=90（垂直的定义）在RtOPD和RtOPE 中 OP=OP（公共边） PD=PE（已证） Rt OPD Rt OPE (HL)DP=BP （全等三角形对应角相等）C平分, P是

7、OC上一点点P在AOB的平分线上。思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1 1：20 00020 000）铁路公路解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。DCs 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B CA B C 中 ，中 ，C=90C=90 AD AD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于于E E，F F在在ACAC上，上，BD=DFBD=DF； 求证求证：CF=EBCF=EBA AC CD

8、 DE EB BF F 分析分析: :要证要证CF=EB,CF=EB,首先我们想到的是要证它们首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等所在的两个三角形全等, ,即即RtRtCDFCDF RtRtEDBEDB. . 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(BD=DF(斜边相等斜边相等), ),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) ) 再用再用HLHL证明证明. .思考：思考： 如 图 ： 在 如 图 ： 在 A B CA B C 中 ，中 ，C=90C=90 AD AD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于于E E，F F在在ACAC上，上，BD=DFBD=DF； 求证求证：CF=EBCF=EBA AC CD DE EB BF F证明:AD是AOB的平分线,DCAC,DEAB DC=DE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等) 在RtFCD和RtBED 中 DF=DB（已知） DC=DE（已证） Rt FCD Rt BED(HL) CF=EB（全等三角形对应边相等）1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线。及画一条已知直线的垂线。3 3：角平分线的性质角平分线的性质：角的