p-q变换与d-q变换的理解与推导

1、一、 p-q变换与d-q变换的理解与推导（2010.12.24）1. 120变换和空间向量120坐标系是一个静止的复数坐标系。120分量首先由莱昂（Lyon）提出，所以亦成为莱昂分量。下面以电流为例说明120变换。、为三相电流瞬时值，120坐标系与abc坐标系之间的关系为1：式中和分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，上式的逆变换为：可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的是瞬时值而不是矢量，是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适

2、用于交流稳态和正弦波的情况。另外，由于和是空间算子，所以和是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。另外，从上式可知，等于的共轭值，所以不是独立变量。用矩阵表示时，可写成，（1-1），此变换矩阵为等幅变换。所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF：Magnetic Motive Force）和变换后的电流形成的磁动势MMF幅度一样。？由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。虽然等幅值变换虽然有明确

3、的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。对实线性空间，由于正交变换 正交变换：变换矩阵为正交矩阵，满足保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。令，变换矩阵为C。原三相系统中功率为：变换后的功率为：当，即，可使变换前后功率不变，满足此条件的C即为正交矩阵。在120分量中，由于负序分量不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理

4、；所以实用上通常仅需用到正序分量。为此定义定子电流的空间矢量，它等于的2倍 ？，即=（1-2）式中的1、和分别表示a相、b相和c相轴线位置处的单位空间矢量。若零序电流为0，在a、b、c相轴线上的投影即为，如图1-1所示。从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。图1-1 电流的空间向量电压矢量同理可得。2. Park变换与Clarke变换（1）Clarke变换0坐标系是一个两相坐标系，其中轴与a相绕组轴线重合，轴超前轴90°电角，0序则是一个孤立的系

5、统。以电流为例，说明abc与0坐标系之间的坐标变换。把图中和轴线上的电流和分别投影到a、b、c三相轴线上，再加上孤立的零序电流，可得、和：图1-2 0变换，其中，不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把进行单位正交化，变为正交矩阵，使得，得到等功率变换矩阵为（2）Park变换dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。若转子为凸极，则d轴与凸极的中心轴线重合，q轴超前d轴90°电角，如图1-3所示。dq0变换是从静止的abc坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。图1-3 dq0变换以定子电流为例。设定子三相绕组中电流为、，转子d轴与定子a相绕组轴

6、线之间夹角为（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为、。把旋转的d、q轴上的、分别投影到定子a、b、c三相轴线上，再加上零序电流，可得到、和：，其中式中，为转子的角速度，为0时刻时，d轴与a轴夹角，转子旋转时，是一个时变阵。若，即转子不转，且d轴与a轴重合时，dq0坐标系退化为0坐标系。实际上，由图1-3可知，若，就意味着。与图1-2一致。显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵则，此时变换将成为等功率变换。Clarke变换也是变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc三相值的变化而变化的。它的主要用途是瞬时无功功率控制。Park变

7、换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC（voltage source converter）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq量可以保持恒定。VSC控制就是控制变换过的dq量从而对系统的电压电流等参数进行控制的3。3. 瞬时无功理论设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为、和、。为分析问题方便，把他们变换到两相正交的坐标系上研究。如图1-4所示2。图1-4 系中电压、电流矢量由下面的变换可以得到、两相瞬时电压、和、两相瞬时电流、。（1-3）（1-4）式中。此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为，不难推导出，120分量与0分量之间具有下列关系，（1

8、-5）以电流为例推导过程如下：空间矢量与分量的关系为（1-6）在图1-4所示的平面上，矢量、和、。分别可以合成为（旋转）电压矢量和电流矢量用于瞬时功率计算中的Clarke变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。电压电流矢量的原始定义中采用的120变换为等幅值变换，Clarke等幅值变换矩阵系数为，等功率变换矩阵系数为。电压电流矢量应用到等功率变换体系中应相应改变系数，因此此处的等功率变换中应用的电压电流矢量应为原始定义的电压电流矢量的倍： （1-7）式中、为矢量、的模（黑体、为矢量，非黑体、为矢量的幅值），、分别为矢量、的相角。【定义1】三相电路瞬时有功电流和瞬时无功电流分别

9、为矢量在矢量及其法线上的投影。即（1-8）式中，。平面中的和如图1-4所示。【定义2】三相电路瞬时有功功率p为电压矢量的模和三相电路瞬时有功电流的乘积，三相电路瞬时无功功率q为电压矢量的模和三相电路瞬时无功电流的乘积，即（1-9）把式（1-8）及代入式（1-9）中，并写成矩阵形式得出（1-10）把式（1-3）、式（1-4）代入上式，可得出p、q对于三相电压、电流的表达式由于，所以上式可以写为由上述推导得到：（1-11）就三相电路而言，其功率的瞬时值实际上应该理解为：把瞬时值分别置于各轴成120°的abc坐标系中，按有功无功理论进行数乘，有功是电流在电压方向上的分量与电压数乘，无功是电

10、流在电压法向上的分量与电压数乘。显然，从式（1-11）可以看出，三相电路瞬时有功功率就是三相电路的瞬时功率。4. 派克变换与瞬时功率之间的关系当电网电压三相对称且波形无畸变时，设电网电压角频率为，且A相电压初相角为，E为电网电压基波即电网电压的有效值，则电压瞬时值为（1-12）（1）第一种推导方式则将式（1-12）代入式（1-3）将得到：（1-13）将式（1-13）代入式（1-10）计算出瞬时有功和无功为（1-14）对于式（1-14）中系数的理解为：原系统电压幅值为，由于是等功率变换，由等幅值与等功率变换矩阵系数可知，系统中的电压向量的幅值，即，为=。因此由式（1-9）可知与式（1-14）对比

11、可得（1-15）其中为从坐标系到pq坐标系的转移矩阵。下面推导坐标到dq坐标的变换矩阵。dq坐标逆时针以角频率同步旋转，d轴与a轴的夹角为,为t=0时刻d轴与a轴的夹角，q轴位于在旋转方向上比d轴超前90°的位置上。从abc坐标到dq坐标的转移公式为3：（1-16）其中abc坐标到dq坐标的转移矩阵：拓展为可逆转移矩阵为由Clarke等功率逆变换得出下式：代入式（1-16）：得出：（1-17）显然，由式（1-15）和式（1-17）对比可知：与并不相同，d、q与p、q变量，并不能直接等价。由式（1-15）可得代入（1-17）得（1-18）注意：式（1-18）中等式两端的变量意义，等式左

12、边的、为派克变换后得到的d-q轴瞬时电流；而等式右边的、为瞬时有功电流、瞬时无功电流。另外，这里再次重申式（1-18）中变量的意义如下：为t=0时刻A相电压的初相角，为t=0时刻d轴与a轴的夹角。因此列出以下几种特殊情况： （1-19）由此可见，派克变换后得到的d-q瞬时电流、与瞬时有功电流、瞬时无功电流、的相对关系，取决于当前时刻电网电压相角以及d轴与a轴之间相位的关系。显然，若在逆变器控制中利用d-q变换后得到的瞬时电流、来分别控制有功和无功，则意味着与之间相差90º。因此，在逆变器控制中，通过锁相环PLL获得0时刻a相电压相角，从而决定Park变换矩阵中的值，以确保d轴与a电网

13、电压矢量方向相同，从而达到有功无功独立控制的目的。在Simulink仿真平台自带的Park变换模块中，默认0时刻a相电压相角为0，由PLL模块获得、，形成，进行Park变换，如图1-5所示： 图1-5逆变器控制中Park变换部分的simulink模型图中Vabc_filter为逆变器经滤波器并网处的三相电压，Vabc_filter_pu为其标幺值。（2）第二种推导方式对式（1-12）所表示的三相电压进行派克变换，可得将，代入上式计算得化简可得：（1-20）同Clark变换同理，等功率变换到两相dq坐标中，电压幅值变为。为方便计算，选d轴方向为电网电压合成矢量的方向，则上式计算结果应为（1-21

14、）要得出此结果需使（1-22）满足上述条件可将瞬时功率计算公式化简为：（1- 23）因此，在这种情况下，可以认为相当于有功电流，相当于无功电流。为了清晰起见，在dq轴坐标平面上，绘制电压电流相对关系如图1-6所示。图1-6 dq系中电压电流矢量为以示区别，此图中有功、无功分量的下标用P、Q表示，dq分量用d、q表示。则电压矢量与d轴的夹角为，电流矢量与d轴的夹角为。其中。对于式（1-23）的推导，与式（1-10）的推导过程一样，即由式（1-8）、式（1-9），可得：传统理论中的有功功率、无功功率等都是在平均值基础或向量的意义上定义的，它们只适用于电压、电流均为正弦波时的情况。而瞬时无功功率理论

15、中的概念，都是在瞬时值的基础上定义的，它不仅适用于正弦波，也适用于非正弦波和任何过渡过程的情况。从以上各定义可以看出，瞬时无功功率理论中的概念，在形式上和传统理论非常相似，可以看成传统理论的推广和延伸。5. 无功的物理意义在正弦电路中由于储能元件电感和电容的存在，在电路中出现了一种在纯电阻电路中所没有的现象，这就是能量的往返交换，因而除了平均功率（有功功率）外，还引出无功功率这一概念。设电路的电压和电流分别为：，无功的定义需借助于瞬时功率：上式中第一个分量是以P为平均值而做简谐振荡的分量，其值恒为非负，它是一个只有大小变化而不改变传输方向的瞬时功率分量，它代表电路等效电阻所吸收的瞬时功率，是反映电路实际消耗的有功分量，其平均值P即为有功功率。上式中第二个分量Qsin2t是一个以2为角频率作正弦的交变的瞬时功率分量，在其变化的波形中，正负半周与横轴之间构成的面积分别代表等量的吸收能量和释放能量，表明有一部分能量在电源和电路之间交换，其平均值为零。这个瞬时功率分量代表电路的等效电抗吸收的瞬时功率，反映了电源和电路之间能量往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分量。该无功分量的最大值即为通常意义上的无功功率，它实质上是电源与电路之间能量往返交换的最大速率。1、在线性负荷电路中，无功的流动表现为电源（或已经储能的元件）与储能元件之间能量的交换（储存和释放）的过程。而