专升本辅导-第9讲向量代数与空间几

1、第第9讲讲 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第一节第一节 向量及其线性运向量及其线性运算算第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积第三节第三节 平面及其方程平面及其方程第四节第四节 空间直线及其方程空间直线及其方程第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational &

2、Technical College Wangrongwei复习要求1理解向量的概念，掌握向量的表示法，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影。2掌握向量的线性运算(加法运算与数量乘法运算)，会求向量的数量积与向量积。3会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件。一、向量概念一、向量概念向量向量：有向线段：有向线段.符号表示：符号表示： ， ， ， ，等，等.ABabc向量的大小：长度的值向量的大小：长度的值.向量的方向：箭头方向向量的方向：箭头方向.自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.自由向量的相等：大小相等且

3、指向相同自由向量的相等：大小相等且指向相同.向量的模：向量的长度向量的模：向量的长度. | |， | |ABa单位向量：模为单位向量：模为1的向量的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意零向量：模等于零的向量，其方向任意.向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反.ABk个向量共面：个向量共面： k( 3)个有公共起点的向量的个有公共起点的向量的k个终点和起点个终点和起点在一个平面上在一个平面上.二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加减法向量的加减法加法：加法：cba abba(2) 平行四边形法则平行四边形法则(1) 三角形法则三角形法则向

4、量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba 多个向量相加，可以按照三角形法则多个向量相加，可以按照三角形法则.负向量负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .aa abba ba)( baba 减法减法 ：babac )(abb b cabba ba . 0)( aa特例：特例：2. 2. 向量与数的乘法向量与数的乘法向量向量 与实数与实数 的乘积记作的乘积记作a a, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反

5、向，|aa aa2a21 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(ABDCabM , .,例例1 1 在平行四边形在平行四边形ABCD中，中， aAB bAD 试用试用 和和 表示向量表示向量 、 、 和和abMAMB这里这里M是平行四边形对角线的交点是平行四边形对角线的交点.MCMD设设解解 由于平行四边形的对角线由于平行四边形的对角线互相平分互相平分, 所以所以,2AMACba 即即()2,abAM于是于是).(21baMA 因为因为,MAMC 所以所以).(21

6、baMC 又因又因,2MDBDba 所以所以).(21abMD 由于由于,MDMB 所以所以).(21baMB 设设 表示与非零向量表示与非零向量 同方向的单位向量，按照向量与数同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，的乘积的规定，aeaa| .|aeaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量量同方向的单位向量.aea两个向量的平行关系两个向量的平行关系定理定理 设向量设向量 ，那么，向量，那么，向量 平行于平行于 的充分必的充分必要条件是：存在唯一的实数要条件是：存在唯一的实数 ，使，使 .0 aba ab

7、 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系坐标轴坐标轴：取空间一个定点：取空间一个定点O, ,作三条互作三条互相垂直的数轴，它们都以相垂直的数轴，它们都以O为原点且一为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作叫作x轴（横轴）、轴（横轴）、y轴（纵轴）、轴（纵轴）、z轴轴（竖轴（竖轴););点点O叫作坐标原点（或原点）叫作坐标原点（或原点）. .通常取通常取x轴、轴、y轴水平放置；轴水平放置； z轴竖直放轴竖直放置，它们的正向符合右手法则置，它们的正向符合右手法则. .OZYXOxyz坐标系可记作坐标系可记作O； ， ， 坐标系坐标系ijk坐标面坐标面：空间直

8、角坐标系中任两轴确定的平面。：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、面、 yOz面、面、xOz面面. .卦限卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母：坐标面将空间分为八个卦限，用字母、表示表示. .xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限),(zyxM )0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxCxyzor向量向量 的坐标分解式的坐标分解式：rkzj yi xOMr 向径：向径： 以原点为起点，以原点为起点，M为终点的向量，例如为终点的向量，例如 .r空间的点空间的点有序数组有

9、序数组),(zyx特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C)0 , 0 , 0(O四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算),(zzyyxxbababa ;)()()(kbajbaibabazzyyxx ),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设),(zyxaaa .)()()(kajaiaazyx （ 为实数）为实数） zzyyxxbabababa /推论：推论：),(zzyyxxbababa ;)()()(kbajbaibabazzyyxx 则则五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角1. 向量的模与两点的距离

10、公式向量的模与两点的距离公式),(zyxOMr 向量的模：向量的模：222|zyxOMr 设有点设有点 ， 则其距离为则其距离为),(111zyxA212212212)()()(|zzyyxxABAB ),(222zyxB例例 求证以求证以 三点为顶点的三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三角形是一个等腰三角形.)3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4(321MMM解解 因为因为,14)12()31()47(222221 MM同理可得同理可得, 6213232 MMMM所以所以, , 即即 为等腰三角形为等腰三角形.1332MMMM 321MMM 2. 方向角与方向余

11、弦方向角与方向余弦两向量的夹角的概念：两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. , 0 a, 0 b设设 aAbB类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.),(ba ),(ab 0() 向量向量a与向量与向量b的夹角的夹角 设设非零向量非零向量 r =(x,y,z) MPQROzyx非零向量与三条坐标轴的正向的夹角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角方向角方向角：r r 的方向角的方向角： 、 、 ,0 ,cosrx ,0 ,cosry

12、 .0 .cosrz 方向余弦方向余弦:方向余弦的特征方向余弦的特征: :222coscoscos1单位向量单位向量 的方向余弦为的方向余弦为:rere|rr ).cos,cos,(cos 例例 已知两点已知两点 和和 ，计算向量，计算向量 的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. )2, 2 , 2(1M)0 , 3 , 1(2M21MM解解)20 , 23 , 21(21 MM);2, 1 , 1( ; 2)2(1)1(22221 MM;22cos,21cos,21cos .43,3,32 第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量

13、积二、两向量的向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积实例实例 cos|sFW 1M2MFs 启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算, , 结果是一个数量结果是一个数量. .定义定义 cos|baba ).,(ba ab cos|baba 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”. .关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba,ba , 0 ba, 0| a, 0| b.ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos .|cos|2aaaaa , 0 证证)(证证, 0cos ,2 ,2 ).0, 0( ba. 0cos| baba数量积符合下列运算规律：数量积符

14、合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：;abba （2 2）分配律：）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数：为数： ),()()(bababa 若若 、 为数：为数： ).()()(baba 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式：两向量夹角余弦

15、的坐标表示式： ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为).0, 0( ba例例 已知三点已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和和B(2,1,2)，求，求 .AMB 解解 作向量作向量MA及及MB， 就是向量就是向量MA与与MB的夹角的夹角.这里，这里， MA=(1,1,0)， MB=(1,0,1),从而从而AMB ; 1100111 MBMA;2011222 MA.2101222 MB代入两向量夹角余弦的表达式，得代入两向量夹角余弦的表达式，得.21221cos MBMAMBMAAMB由此得由此得.3 AMB二、两向量的向量积二、两向

16、量的向量积|FOQM sin|FOP 设设 O为为一一根根杠杠杆杆 L的的支支点点，有有一一力力 F作作用用于于这这杠杠杆杆上上 P点点处处力力 F与与 OP的的夹夹角角为为 ，力力 F对对支支点点 O的的力力矩矩是是一一向向量量 M，它它的的模模 实例实例LFPQO M的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决定的所决定的平面平面, 指向符合右手系指向符合右手系. sin|bac 定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba. 0sin| baba)(, 0 ba, 0| a, 0| b证证, 0sin , 0 ba/)

17、(0sin ba/或或0 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：.)(cbcacba ).()()(bababa .abba （1）（2）分配律）分配律：（3）若若 为数为数： ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx , 0 kkjjii,kji , jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbabab

18、a 由上式可推出由上式可推出0, 0 yxaa补充：补充：|ba 表表示示以以 a和和 b为为邻邻边边 的的平平行行四四边边形形的的面面积积. . xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零， zzyxbaaa 00例如，例如，abbac 解解zyxzyxbbbaaakjiba 211112 kji.35kji 例例 设设 ， ，计算，计算 .)1, 1 , 2( a)2 , 1, 1( bba ABC例例 已知三角形已知三角形ABC的顶点分别是的顶点分别是A(1,2,3)1,2,3)、B(3,4,5)(3,4,5)和和C(2,4,7)(2,4,7)，求三角形，求三

19、角形ABC的面积的面积. .解解 根据向量积的定义根据向量积的定义，三角形三角形ABC的面积为的面积为AACABSABC sin|21|21ACAB ),2 , 2 , 2( AB),4 , 2 , 1( AC由于由于因此因此,264421222kjikjiACAB 于是于是.142)6(42126421222 kjiSABC第三节第三节 平面及其方程平面及其方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational &

20、amp; Technical College Wangrongwei 复习要求1会求平面的点法式方程与一般式方程。会判 定两个平面的位置关系。2会求点到平面的距离。Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线法线向量向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法

21、线向量垂直垂直. 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面线，所以当平面II上一点上一点和它的一个法线向量和它的一个法线向量 ),(000zyxMo),(CBAn 为已知时，平面为已知时，平面的位置就完全确定了的位置就完全确定了. Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei则则 0*0 MMn设设 ),(00zyxMo是平面是平面II任一点任一点(如图如图). 由于由

22、于 ),(CBAn , ),(0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA所以所以 不垂直不垂直, 反过来，如果反过来，如果 ),(zyxM不在平面不在平面II上上,那么向量那么向量 MM0与法线向量与法线向量 这就是平面这就是平面II上任一点上任一点 M的坐标的坐标 zyx,所满足的方程所满足的方程 . 从而从而 ,即不在平面即不在平面II上上的点的点M的坐标的坐标x，y，z不满足方程不满足方程. 0*0 MMnnxyzo0MMnCounselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Tec

23、hnical College Wangrongwei由此可知，平面由此可知，平面II上的任一点的坐标上的任一点的坐标x，y，z都满足方程都满足方程 所以方程叫做平面的所以方程叫做平面的点法式方程点法式方程. 例例 求过点求过点(2, -3, 0)且以且以n=(1, -2, 3)位法线向量的平面的方程位法线向量的平面的方程. 解解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程根据平面的点法式方程，得所求平面的方程 (x - 2) 2(y + 3) + 3z=0, 即即 x 2y + 3z 8=0 向量向量 由于方程是由平面由于方程是由平面II上的一点上的一点 ),(000zyxMo),(CBAn 及它

24、的一个法线及它的一个法线确定的，确定的，Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei例例 求过三点求过三点M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和和M3 (0, 2, 3)的平面的平面的方程的方程. 解解 先找出这平面的法线向量先找出这平面的法线向量 n. 由于向量由于向量n与向量与向量 31MM21MM都垂直，而都垂直，而 21MM(-3, 4, -6), 31MM=(-2, 3, -1)， 所以可取它们的向量积为所以可取它

25、们的向量积为n： n= 3121MMMM 132643 kji= =14i + 9j k, 根据平面的点法式方程，得所求的平面的方程为根据平面的点法式方程，得所求的平面的方程为14(x - 2) + 9(y + 1) (z 4 ) = 0, 14x + 9y z 15 = 0.Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0. 任取满足方程的

26、一组数任取满足方程的一组数 x0, y0, z0，即，即 A x0 + B y0+ C z0 + D = 0. 上两式相减，得上两式相减，得 A(x-x0 ) + B(y- y0) + C (z-z0) = 0. 由此可知，任一三元一次的图形总是一个平面由此可知，任一三元一次的图形总是一个平面.称方程称方程 Ax + By + Cz + D = 0. 平面的一般方程，其中平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即的坐标，即n=(A, B, C).Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院

27、Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当当D=0时，时，Ax + By + Cz = 0表示一个通过原点的平面表示一个通过原点的平面.当当A=0时，时，By + Cz + D = 0，法线向量，法线向量n(0, B, C)垂直于垂直于x轴，轴，其表示一个平行于其表示一个平行于x轴的平面轴的平面. 同样，方程同样，方程Ax + Cz + D = 0和和Ax + By + D = 0，分别表示一，分别表示一个平行于个平行于

28、y轴和轴和z轴的平面轴的平面. 当当A=B=0时，时，Cz + D=0或或z=DC垂直垂直x轴和轴和y轴，方程表示一个平行于轴，方程表示一个平行于xOy面的平面面的平面. ，法线向量法线向量n(0, 0, C)同时同时Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei例例 求通过求通过x轴和点轴和点(4, -3, -1)的平面的方程的平面的方程. 解解 由于平面通过由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是轴，于是法线

29、向量在法线向量在x轴上的投影为零，轴上的投影为零， 即即A=0；又由平面通过；又由平面通过x轴，轴，它必通过原点，于是它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为因此可设这平面的方程为 By + Cz = 0. 又因这平面通过点又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有，所以有 -3B C = 0, 或或 C = -3B.以此代入所设方程并除以以此代入所设方程并除以 B(B 0)，便得所求的平面方程为，便得所求的平面方程为 y 3z = 0. Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Tec

30、hnical College Wangrongwei例例 设一平面与设一平面与x、y、z轴的交点依次为轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b,0)、R(0, 0, c)三点三点(见下图见下图)，求这平面的方程，求这平面的方程(其中其中 a 0, b 0, c 0). 解解 设所求平面的方程为设所求平面的方程为 Ax + By + Cz+D = 0 因因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在三点都在这平面上，所以点这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足的坐标都满足方程；即有方程；即有 , 0, 0, 0aDcCDbBDA得得A=- aD，B=- bD，

31、C=- cDxyzoCounselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei. 1 czbyax 本方程叫做平面的截距式方程，而本方程叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做依次叫做平面在平面在x、y、z轴上的截距轴上的截距.故所求的平面方程为故所求的平面方程为 Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei三

32、、两平面的夹角三、两平面的夹角两平面的法线向量的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.设平面设平面II1和和II2的法线向量依次为的法线向量依次为n1=(A1, B1, C1)和和n2=(A2, B2, C2),那么那么 222222212121212121cosCBACBACCBBAA 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： II1、II2互相垂直相当与互相垂直相当与 0212121CCBBAA II1、II2互相平行或重合的相当于互相平行或重合的相当于 212121CCBBAACou

33、nselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei例例 求两平面求两平面xy + 2z 6 = 0和和2x + y + z 5 = 0的夹角的夹角. 解解 由前公式有由前公式有211122)1(1121)1(21cos222222 因此，所求夹角因此，所求夹角 3 Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei例

34、如，求点例如，求点(2,1,1)到平面到平面x+y-z+1=0的距离的距离.d= 333)1(111111121222 可利用公式，便得可利用公式，便得 点点P0 (x0 ,y0 ,z0)到平面到平面 0AxByCzD的距离公式：的距离公式： 000222AxByCzDdABCCounselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程二

35、、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei复习要求1会求直线的点向式方程、一般式方程和参数式方程。会判定两条直线的位置关系。2会求点到直线的距离，两条异面直线之间的距离。3会判定直线与平面的位置关系。Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Tec

36、hnical College Wangrongwei一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 设两个相交的平面设两个相交的平面II1 和和II2 的方程分别为的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0，则其交线（直线），则其交线（直线）L上的任一点的坐标上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组 0,DzCyBxA0,DzCBxA22221111y(1) 方程组方程组(1)叫做叫做空间直线的一般方程空间直线的一般方程.通过空间一直线通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面的平面有无

37、限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线示空间直线L.xyzo1 2 LCounselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的直线的方向向量方向向量. 设直线设直线L上一点

38、上一点M0(x0,y0,z0)，已知它的一方向向量为，已知它的一方向向量为s=(m,n,p)，下面建立这直线方程下面建立这直线方程. 设点设点M(x,y,z)时直线时直线L上的任一点，那么向量上的任一点，那么向量 MM0与与L的方向向量的方向向量s平行平行(见图见图). 由于由于 MM0=(x-x0 , y-y0 , z-z0 ),s=(m, n, p)，从而有从而有 .000pzznyymxx xyzosL0M M 上方程组称为直线的上方程组称为直线的对称式方程对称式方程或或点向式方程点向式方程.Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizh

39、ou Vocational & Technical College Wangrongwei直线的任一方向向量直线的任一方向向量s的坐标的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向叫做这直线的一组方向数，而向量数，而向量s的方向余弦叫做该直线的的方向余弦叫做该直线的方向余弦方向余弦.由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. 如设如设tpzznyymxx 000那么那么 ,000ptzzntyymtxx上方程组就是直线的上方程组就是直线的参数方程参数方程.Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou

40、Vocational & Technical College Wangrongwei例例 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线 , 0432, 01zyxzyx解解 先找出这直线上的一点先找出这直线上的一点(x0,y0,z0). 例如，可以取例如，可以取x0=1，代入方程组，得代入方程组，得 . 63, 2zyzy解这个二元一次方程组，得解这个二元一次方程组，得y0=0, z0=-2. 即即(1, 0, -2)是这直线上的一点是这直线上的一点. 下面再找出这直线的方向向量下面再找出这直线的方向向量s.由于两平面的交线与这两平面的法线向量由于两平面的交线与这两平面

41、的法线向量n1 =(1,1,1)， n2(2,-1,3)都垂直，所以可取都垂直，所以可取Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei.3431211121kjikjinns 因此，所给直线的对称式方程为因此，所给直线的对称式方程为 32141 zyx令令 tzyx 32141得所给直线的参数方程为得所给直线的参数方程为 ,32,41tztytxCounselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou V

42、ocational & Technical College Wangrongwei三、两直线的夹角三、两直线的夹角两条直线的方向向量的夹角两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角通常指锐角)叫做两直线的叫做两直线的夹角夹角.设直线设直线L1和和L2的方向向量依次为的方向向量依次为s1=(m1,n1,p1)和和s2=(m2,n2,p2)，那么那么L1和和L2的夹角的夹角 则则 cos = 222222212121212121pnmpnmppnnmm 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线两直线L1、L2互相垂直相当与互相垂

43、直相当与m1m2+n1n2+p1p2=0； 两直线两直线L1、L2互相平行或重合相当于互相平行或重合相当于 212121ppnnmm Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei例例 求直线求直线L1： 13411 zyx和和L2： 1222 zyx的夹角的夹角. 解解 直线直线L1的方向向量为的方向向量为s1 =(1,-4,1)；直线；直线L2的方向向量为的方向向量为s2=(2,-2,-1). 设直线设直线L1和和L2的夹角为的夹角为 ，那么那

44、么coos = 22222)1()2(21)4(1)1(1)2()4(212 = ,21所以所以 .4 Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongweisin =|cos(s,n)|， | -(s,n)|，因此，因此 ，那么，那么 设直线的方向向量为设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法，平面的法线向量为线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为 2 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 四

45、、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 )20( 垂直时，规定直线与平面的夹角为垂直时，规定直线与平面的夹角为 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角(见图见图)，当直线与平面，当直线与平面2 sin 222222pnmCBACpBnAm (1) Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei直线与平面垂直相当于直线与平面垂直相当于pCn

46、BmA (2) 直线与平面平行或直线在平面上相当于直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+Bn+Cp=0. (3)例例 求过点求过点(1,-2,4)且与平面且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程垂直的直线的方程.解解 因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量法线向量(2,-3,1)作为所求直线的方向向量作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直由此可得所求直线的方程为线的方程为143221 zyxCounselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational &a

47、mp; Technical College Wangrongwei五、杂例五、杂例例例1 求与两平面求与两平面x-4y=3和和2x-y-5z=1的交线平行且过点的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程的直线的方程.解解 因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量向量s一定同时与两平面的法线向量一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取垂直，所以可以取 )34(51240121kjikjinns 因此所求直线的方程为因此所求直线的方程为 153243 zyxCounselling on Advanced Mathemat

48、ics台州职业技术学院Taizhou Vocational & Technical College Wangrongwei例例 2 求直线求直线 241312 zyx与平面与平面2x+y+z-6=0的交点的交点. 解解 所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为x=2t, y=3t, z=4+2t, 代入平面方程中，得代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程，得解上列方程，得t=-1. 把求得的把求得的t值代入直线的参数方程中，值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. Counselling on Advanced Mathematics台州职业技术学院Taizhou Vocational &