第23章图形的相似小结与复习

1、小结与复习小结与复习 本章的中心内容是研究图形的放大与缩小，本章的中心内容是研究图形的放大与缩小，即图形的相似即图形的相似.它的基础概念是它的基础概念是线段的比线段的比. 我们着重研究了相似三角形的判定方法和我们着重研究了相似三角形的判定方法和性质；相似多边形的判定方法和性质性质；相似多边形的判定方法和性质. 我们还研究了用位似变换把图形放大或缩我们还研究了用位似变换把图形放大或缩小的方法小的方法.图形的相似在许多实际问题中有重要图形的相似在许多实际问题中有重要应用应用. 平行线分线段平行线分线段成比例成比例一、本章知识结构相似图形相似图形相似多边形相似多边形位似图形位似图形相似三角形相似三角

2、形性质性质判定判定应用应用三角形三角形中位线中位线三角形三角形重心重心图形的变换图形的变换与坐标与坐标坐标表示坐标表示物体的位置物体的位置比例线段比例线段比例的基本性质比例的基本性质比例线段比例线段二、基本概念二、基本概念1、相似的图形相似的图形 直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形是与原图形相似的图形是与原图形相似的2 2、相似三角形、相似三角形 三个角对应相等，且三条边对应成比例的三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作两个三角形叫作相似三角形相似三角形.相似三角形的对应相似三角形的对应边的比叫作边的比叫作相似比相似比3、相似多边形相似

3、多边形 边数相同，边数相同，对应角相等，对应边成对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫作比例的两个多边形叫作相似多边形相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫作相似多边形的对应边的比叫作相似比相似比.4、线段的比，成比例线段 在四条线段中在四条线段中, 如果其中两条线段的比等于如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比另外两条线段的比, 那么这四条线段叫作那么这四条线段叫作成比例成比例线段线段. 如果用同一长度单位量得两条线段如果用同一长度单位量得两条线段PQ，PQ 的长度分别为的长度分别为m，n，那么把它们的长度，那么把它们的长度的比的比 叫作这两条线段的比，记作叫作这两条线段的比，记作 ， 或

4、或 mn P Qn = PQm : : P Q PQ = n m .PQPQ.bcaddcba 。ddcbbadcba)0( ndbbandbmcanmdcba的等比性质的等比性质(3) 比例的更比性质比例的更比性质: dbcadcba(2) 比例的反比性质比例的反比性质: acbd 合比、分比性质：合比、分比性质：(5) 比例的合分比性质：比例的合分比性质： acbdAC黄金分割黄金分割点点C叫做线段叫做线段AB的的黄金分割点。黄金分割点。AC与与AB(或或BC与与AC)的比叫做的比叫做黄金比。黄金比。AABACACBC 当两个比例当两个比例内项内项相等时，即相等时，即 (或或 a:b=b:

5、c), 那么线段那么线段 b 叫做线段叫做线段 a 和和 c 的的比例中项比例中项.即：即：b2accbba 6、比例中项. 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做样的两个图形叫做位似图形位似图形。这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心.这时的相似比又称为这时的相似比又称为位似比位似比. 性质：性质：位似图形上任意一对对应点到位似中位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比心的距离之比等于位似比8、位似图形9、相似三角形的性质 (1) 相似三角形相似三角形

6、对应角相等对应角相等，对应边成比例对应边成比例. (2) 相似三角形相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比对应角平分线的比都等于都等于相似比相似比。 (3) 相似三角形的相似三角形的周长的比周长的比等于等于相似比相似比, 面积面积的比等于的比等于相似比的平方相似比的平方。10、相似三角形的判定 (5) 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似(3) 两角对应相等的两角对应相等的两个三角形两个三角形相似相似 (4) 两边对应成比例且夹角相等的两边对应成比例且夹角相等的两个三角两个三角形形相似相似 (2) 平行于平行于三角形一边的直线与其

7、他两边相三角形一边的直线与其他两边相交交,截得的三角形截得的三角形与与原三角形原三角形相似相似. （预备定理）（预备定理） (1) 三个角对应相等，且三条边对应成比例三个角对应相等，且三条边对应成比例的的两个三角形两个三角形相似相似.11、相似多边形的性质 (1) 相似多边形的相似多边形的对应边成比例对应边成比例(2) 相似多边形的相似多边形的对应角相等对应角相等(3) 相似多边形相似多边形周长的比等于周长的比等于相似比相似比， 相似多边形相似多边形面积的比等于面积的比等于相似比的平方相似比的平方.12、相似多边形的判定 (1) 边数相同，对应角相等边数相同，对应角相等, 对应边成比例对应边成

8、比例的两个多边形相似的两个多边形相似(2) 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小利用位似变换可以把一个图形放大或缩小. 1、掌握相似三角形的基本图形。通过图、掌握相似三角形的基本图形。通过图形的变化，感受到图形之间的联系。形的变化，感受到图形之间的联系。 2、能从复杂图形中进行识别基本图形并、能从复杂图形中进行识别基本图形并能利用图形解决问题。能利用图形解决问题。重、难点重、难点 在图形中在图形中找或补找或补出基本图形，运用基本出基本图形，运用基本 图形解决问题。图形解决问题。相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾： 1、现在给你一个锐角、现在给你一个锐角三形三形ABC和一条直线和

9、一条直线MN问题：问题：直线直线MN与与AB、AC边或其延长线相交，边或其延长线相交，所截得三角形与所截得三角形与ABC相似，请同学相似，请同学们作出图形，并说明相们作出图形，并说明相似的理由。似的理由。ABCMN第一种作法：第一种作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C（3）AD：AB=AE：AC第二种作法：第二种作法： 理由：理由：（1） ADE=C 或或AED=B（2）AE：AB=AD：AC ABCADEBCEDMMNN 第三种作法：第三种作法： 理由：理由： （1）DEBC（2）ADE=B 或或AED=C（3）AD：AB=AE：AC第四种作法：第四种作法：

10、 理由：理由：（1） ADE=C 或或AED=B（2）AE：AB=AD：ACBCABCEDMNAEDMN第五种作法：第五种作法： 理由：理由： （1）DEBC（2）ADE=ABC 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC第六种作法：第六种作法： 理由：理由：（1） ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN第七种作法第七种作法： 理由：理由：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMN2 2、如图，在正方形、如图，在正方形ABCDABCD中中,E,E为为BCBC上任意一点（与上任意一点（与B B、C C

11、不重合）不重合）AEF=90AEF=90. .观察图形：观察图形：（2）若）若E为为BC的中点，连结的中点，连结AF,图中图中有哪些相似三角形？有哪些相似三角形？（1） ABE 与与ECF 是否相似？并是否相似？并证明你的结论。证明你的结论。ABCEFDABCEFDABE ECF AEF（1）点）点E为为BC上任意一点，上任意一点，若若 B= C=60, AEF= C,则则ABE与与 ECF的关系还成立吗？的关系还成立吗？说明理由说明理由（2）点）点E为为BC上任意一点上任意一点若若 B= C= , AEF= C,则则ABE 与与 ECF的关系还成立吗？的关系还成立吗？C 60 60 60AB

12、EFABCEFA BFCE606060CABEFABE ECF静态（局部）静态（局部） 认识对应认识对应 分类命名分类命名动态（整体）动态（整体） 以变换的角度以变换的角度 认识相似基本图形间的关系认识相似基本图形间的关系 从运动的观点从运动的观点开放研究相似基本图形的变化开放研究相似基本图形的变化动动静静两两相相宜宜相相似似基基本本图图形形的的关关系系基基本本图图形形静态静态 ：认识认识对应对应 分类命名分类命名ABCODE3.已知已知:AB=AD,DAB=EAC，请你添加，请你添加一个条件一个条件 ，使得，使得ABC ADE. 回顾回顾全等全等三角三角形形FEDCBAFEDCBAEDCBA

13、EDCBAEDCBADCBADCBAEDCBA平平移移旋旋转转对对称称回回顾顾全全等等三三角角形形基基本本图图形形动态：图形变换动态：图形变换旋转旋转轴轴对对称称BECAD旋转旋转角度特殊化角度特殊化 垂直垂直平平移移对称对称一般到特殊一般到特殊（角度角度）EABDCABDCABECD平移平移平移平移角度特角度特殊化殊化角度特角度特殊化殊化点运动，相似对应关系不变 1= 2= 3=60 A B C D E 1 2 3 1= 2= 3 3 2 1 E D C B A 1= 2= 3 3 2 1 E A B C D求证：求证：ABDDCE A运动变化 特殊到一般（角度）DEDEADE绕点A旋转AB

14、CDE点E移到与C点重合提炼总结 ：相似三角形中常用基本图形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角型公共边角型ABCDEDEADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合提炼总结 ：相似三角形中常用基本图形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角型公共边角型（母子型（母子型)ABCDEABCDEX型型DEADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合ABCD提炼总结 ：相似三角形中常用基本图形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角型公共边角型ABCDEABCDE双垂直型双垂直型X型型三垂直型三垂直型连结CD，BE， ABE 与ACD相似吗？蝴蝶型蝴蝶型直角变为直角变为任意角任

15、意角123三等角型ACB=90CDAB构造相似图形间接求已知相似图形直接求相似基本图形的运用学会从复杂图形中分解出基本图形.转化思想方程思想整体思想分类思想 练一练练一练基本图形基本图形DEMNH过过D D作作DHECDHEC交交BCBC延长线于点延长线于点H H(1)(1)试找出图中的相似三角形试找出图中的相似三角形? ?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,则则AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCABC的周长为的周长为4,4,则则BDHBDH的周长为的周长为_._.(4)(4)若若ABCABC的面积为的面积为4,4,则则BDHBDH的面积为的面积为_._

16、.ADE ABC DBH2：369DEMNMN 相似三角形相似三角形 若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。DEHGFEGFMN12 相似三角形相似三角形 若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN 相似三角形相似三

17、角形EGF在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：例题：如图，如图，D是是ABC的的BC边上的点，边上的点，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是是AD的中点的中点,连结连结BE并延长交并延长交AC于于F,DABCEFn2kk解法1：过点过点D作作CA的平行线交的平行线交BF于点于点P，P?yynyDABCEFn解法1：过点D作CA的平行线交BF于点P，Pn2kkyy4y?yBE：EF=5：1.则，1AEDEFEPE, 2DCBDPFBPPE

18、=EFBP=2PF=4EF，所以所以BE=5EFDABCEFnn2k解法2：过点过点D作作BF的平行线交的平行线交AC于点于点Q，ykQ?y2yDABCEFnn解法2：过点过点D作作BF的平行线交的平行线交AC于点于点Q，Q2kk?y2y5yyBE：EF=5：1.，则2EADAEFDQ, 3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF2k解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snnk2k?kDABCEF解法3：过点E作BC的平行线交AC于点S，Snn?y5yy2kk2kDABCEFnn2k解法4：过点过点E作作AC的平行线交的平行线交BC于点于点T，T2k2k?k?kDABCEFnn2k解法4：过点过点E作作AC的平行线交的平行线交BC于点于点T，T2k2ky?y5y，则DCCTDT21BD=2DC，BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE练习：1. 如图，如图，D是是ABC的的BC边上的点，边上的点， BD：DC=2：1，E是是AD的中点的中点,连结连结BE并延长并