高量16-角动量和转动群

1、1第五章第五章 角动量理论角动量理论22 22 角动量和转动群角动量和转动群22-1 22-1 本章概述本章概述轨道角动量的两个引入途径：轨道角动量的两个引入途径：PXLprLnrn2/zS同经典角动量类比：同经典角动量类比：空间转动对称性：空间转动对称性： 自旋角动量：没有经典类比，与轨道角动量自旋角动量：没有经典类比，与轨道角动量 有相同的对易关系，且有相同的对易关系，且222-2 22-2 空间转动空间转动一、有限转动一、有限转动位形空间的无限小转动位形空间的无限小转动 rnrrnrddQ)(1.1.基矢的转动关系基矢的转动关系rrQssQ QQIQQ转动变换定义为将位置矢量转动变换定义

2、为将位置矢量r r和和s s变为变为和和srsrQQ并对任意并对任意r和和s，满足，满足的变换。的变换。因此因此Q 是一个实的幺正矩阵是一个实的幺正矩阵 或或 331iirier矢量矢量r可写成可写成 转动后成为转动后成为 31iirieriiiiirrQQeerri)(其中其中 ieeQi表示基矢的转动关系。表示基矢的转动关系。利用利用3D位形空间的完全性关系位形空间的完全性关系 i1iiee有有 jijjjiQQQee(eeeeijji)jiQ321e ,e ,e其中其中是在基矢是在基矢下的转动矩阵元下的转动矩阵元333231232221131211)(QQQQQQQQQQ42. 分量的关

3、系分量的关系irir同一基矢下新老两个矢量的分量同一基矢下新老两个矢量的分量与与之间的关系之间的关系iiirerjijjiQeejjjijijijrrQeeriijijrQr由（由（22.5）式知）式知 由（由（22.6）式有）式有 所以所以 得得 5二、正当转动和非正当转动二、正当转动和非正当转动13D转动群转动群对幺正变换矩阵对幺正变换矩阵 Q，有，有1QQ取其行列式，则取其行列式，则 1)(detdetdet)det(2QQQQQ所以所以 1detQ 当当 时，称此类转动为时，称此类转动为正当转动正当转动，1detQ当当 时，称此类转动为时，称此类转动为非正当转动非正当转动。1detQ6

4、 任意多次正当转动相继进行，结果仍相当于一任意多次正当转动相继进行，结果仍相当于一个正当转动；而两次或偶次非正当转动相继进行，个正当转动；而两次或偶次非正当转动相继进行，则相当于一个正当转动，全部满足幺正条件的算则相当于一个正当转动，全部满足幺正条件的算符符Q构成三维转动群，记为构成三维转动群，记为O(3)；全部正当转动；全部正当转动的的Q是是O(3)的一个子群，记为的一个子群，记为SO(3)或三维正当转或三维正当转动群；而全部非正当转动的动群；而全部非正当转动的Q不是群，因为它不不是群，因为它不满足封闭性条件（两个非正当转动相乘是正当转满足封闭性条件（两个非正当转动相乘是正当转动，属于动，属

5、于SO(3)群）。群）。7对空间反演算符对空间反演算符P, rrPjijiP1detP在转动的定义下也是一种转动，但由于在转动的定义下也是一种转动，但由于 即即 所以这种转动是非正当转动。所以这种转动是非正当转动。任何正当转动继之任何正当转动继之以空间反演就成为非正当转动以空间反演就成为非正当转动；非正当转动继之；非正当转动继之以空间反演就成为正当转动，所以三维转动群以空间反演就成为正当转动，所以三维转动群O(3)是三维正当转动群与空间反演群的直积群。是三维正当转动群与空间反演群的直积群。 82. 三正交矢量的转动三正交矢量的转动三个正交的矢量若构成右手系的关系，则在正当三个正交的矢量若构成右

6、手系的关系，则在正当转动变换之后仍然保持这种关系，而在非正当转转动变换之后仍然保持这种关系，而在非正当转动之后则变成左手关系；即若动之后则变成左手关系；即若yxz则则 yxzQQQyxzQQQ若若Q为正当转动为正当转动 若若Q为非正当转动为非正当转动 9 所有的正当转动都可以用两类简单的转动相继所有的正当转动都可以用两类简单的转动相继进行而达到，其中一个是绕进行而达到，其中一个是绕z轴转轴转 角角三、转动矩阵的构造三、转动矩阵的构造),(kQ另一个是绕另一个是绕y轴转轴转 角角),(jQsincosjiiiQcos)sin(jijjQkkkQ因此有因此有 1000cossin0sincos)(

7、kQ 注意这里是基矢的转动：注意这里是基矢的转动：jijjiQQeeei 101000cossin0sincoskjikji类似有类似有 cos0sin010sin0cos)(jQn在在xy平面上的投影与平面上的投影与i轴夹角为轴夹角为 ),(),()()()()(kjkjknQQQQQQ令：令： n与与k的夹角为的夹角为 则则11四、欧拉角四、欧拉角欧拉角是欧拉角是三个角：三个角：,)()()(),(kjkQQQQ任何正当转动其最后位置和初始位置之间可以用任何正当转动其最后位置和初始位置之间可以用以下三个转动得到以下三个转动得到用这三个参数表征所有的正当转动。用这三个参数表征所有的正当转动。

8、zyz即先绕即先绕轴转轴转，再绕，再绕转转 ，再绕，再绕转转1213)()()()(kjkQQQQ20020可以证明可以证明 注意此时转动的轴是固定的坐标系。注意此时转动的轴是固定的坐标系。)(Q22.14式。式。欧拉角的取值范围是：欧拉角的取值范围是：可得到可得到1422-3 22-3 正当转动群正当转动群、研究转动群性质的基本思路、研究转动群性质的基本思路 研究群的性质，主要是求群的全部不可约表示研究群的性质，主要是求群的全部不可约表示及其特征标。为达到这个目的，往往是找另一个及其特征标。为达到这个目的，往往是找另一个与此群同构（或同态）的群，去求这个群的不可与此群同构（或同态）的群，去求

9、这个群的不可约表示，而后者往往是某一矢量空间中的变换矩约表示，而后者往往是某一矢量空间中的变换矩阵群，因为求一个矢量空间中的变换的矩阵表示阵群，因为求一个矢量空间中的变换的矩阵表示是很容易的事情。是很容易的事情。15要研究正当转动群要研究正当转动群 的性质，由于这个群的性质，由于这个群)(Q)(nD与函数空间中的转动算符群与函数空间中的转动算符群和和Hilbert空间中的空间中的)(nD Q D转动算符群转动算符群同构，因而知道了同构，因而知道了的性质，的性质，的性质也就知道了。的性质也就知道了。二、二、SU(2)群的构造群的构造 SU(2)群是群是2D幺模幺正群，在一定条件下（选幺模幺正群，

10、在一定条件下（选择适当的参数），可以使得正当转动群择适当的参数），可以使得正当转动群SO(3)与与SU(2)保持同态关系，知道了保持同态关系，知道了SU(2)群的不可约表示，群的不可约表示，就可以知道就可以知道SO(3)群的不可约表示。群的不可约表示。 16 SU(2)群是全部行列式为群是全部行列式为+1的的22复幺正矩阵的集合，其一般形式为复幺正矩阵的集合，其一般形式为 dcbau*dbcau， 1detu1bcad导致条件导致条件 而幺正导致条件而幺正导致条件 （Iuu）1001*ddbbadabdcbaccaadcbadbcauu171*ccaa 1*ddbb0*dcba0*cdab 1

11、a2a以上以上5式共包含以下式共包含以下6个实方程（其中个实方程（其中，a分别为分别为的实部和虚部）的实部和虚部）1bcad 18012112211222112211cbcbdadacbcbdada122212221ccaa 122212221ddbb 001221122122112211dcdcbabadcdcbaba 可以证明，上述可以证明，上述6个方程是线性相关的，独立的方程个方程是线性相关的，独立的方程只有只有5个。矩阵中个。矩阵中4个复变数有个复变数有8个实参数，考虑到个实参数，考虑到5个条件，故个条件，故SU(2)群的每个群元由群的每个群元由3个实参数确定，个实参数确定，其一般形式

12、可以写成其一般形式可以写成19*abbau1*bbaa imeaineb可取可取而为使而为使1*bbaa cosmsinn再取再取于是于是u的一般形式可写的一般形式可写为为 cossinsincos)(iiiieeeeu式中式中 20202020三、三、SO(3)与与SU(2)的同态关系的同态关系1. u和和Q的对应关系的对应关系为建立二者的关系，首先建立为建立二者的关系，首先建立3D位形空间中的点位形空间中的点r与与一个一个2D复矢量空间中的算符（即矩阵）复矢量空间中的算符（即矩阵）h的关系：的关系：ziyxiyxzzyiixzyxhzyx1001000110r当一个当一个SU(2)的群元的

13、群元u对算符对算符h作幺正变换时，得到一作幺正变换时，得到一个新算符个新算符1uhuh21而而h又与又与3D位形空间中的另一个点位形空间中的另一个点r 对应对应zy ixy ixzhrhuhuhdet)det(det1222222zyxzyx由于由于 所以所以可见可见: 通过通过h算符作为桥梁，由一个算符作为桥梁，由一个SU(2)的元的元u可以把点可以把点r变成变成r而保持其距原点的距离不变，即每一个而保持其距原点的距离不变，即每一个u肯定与肯定与SO(3)中的某一个元等价，把这个元记为中的某一个元等价，把这个元记为Q(u)，且，且rr)(uQ于是有于是有 rrr)(11uQuuuhuh22对

14、于对于SU(2)中的两个群元中的两个群元u1,u2，有，有112111122112121)()()(uuQuuuuuuuuurrrrr)(2122uQuurr)()()(2121uuQuQuQ这样这样SO(3)和和SU(2)之间建立了同态关系，之间建立了同态关系，SO(3)群的表示也就是群的表示也就是SU(2)群的表示。群的表示。23举例举例: : 首先取首先取u为一个一般的对角矩阵为一个一般的对角矩阵 2/2/100)(iieeuzeiyxeiyxzhuuhii)()(111zy ixy ixzhr又又 zzeiyxiyxeiyxiyxii)()(zzyxyyxxcossinsincos比较

15、得比较得 即即 24)(kQ从从r到到r的变换正是绕的变换正是绕z轴转轴转 角的角的：1000cossin0sincos)(kQ得到对应关系：得到对应关系： )(1u)(kQ22.2122.2122.1122.11 25再取再取u为一般的实矩阵为一般的实矩阵 2cos2sin2sin2cos)(2u正好是绕正好是绕y轴转轴转 角的角的)(2u)(jQ可得可得对应，即对应，即cos0sin010sin0cos)(jQ从而有从而有 )(2u)(jQ22.23 22.12262cos2sin2sin2cos)()()()(2222121iiiieeeeuuuu)()()()(kjkQQQQ一般的一般

16、的对应的是对应的是 这就是这就是 )(u的一般形式，与一般式比较的一般形式，与一般式比较 cossinsincos)(iiiieeeeu发现发现 2因而因而 40020272. u和和Q的同态关系的同态关系由由 1uhuh知，知， u和和-u是与相同的是与相同的Q对应的。对应的。 假设假设u1和和u产生同样的产生同样的h，即也与，即也与Q对应，则对应，则1111uhuhuuh两边左乘两边左乘u-1，右乘，右乘u1： 11111111uuhuuuhuuu1111uhuhuu厄米矩阵，可以证明，同所有这种厄米矩阵都对厄米矩阵，可以证明，同所有这种厄米矩阵都对易的易的22矩阵矩阵u-1u1只能是正的

17、或复的单位矩阵。只能是正的或复的单位矩阵。 因因u,u1都是幺正幺模矩阵，即都是幺正幺模矩阵，即u-1u1也是一个模为也是一个模为1的的22矩阵，而矩阵，而 rh又显然是一个迹为又显然是一个迹为0的的28证明：证明： 已知已知 ziyxiyxzr令令 dcbauu11利用利用 0,11uur可得可得 0 cb，1 daIuu11可知可知 即即 0,yx1adb. 当当时，时，a. 当当0,yx时，时， da 1)det(11uu，但，但 0 cb，1 daIuu11，可得，可得 ，即，即 Iuu11uu1所以所以 ，则，则。Iuuuu)(1111利用利用这就证实了与这就证实了与u对应相同对应相

18、同Q的只有的只有-u一个。一个。对应关系是二对一的同态关系。对应关系是二对一的同态关系。29四、四、SU(2)群的表示群的表示寻找一个群的表示的一般方法寻找一个群的表示的一般方法a. 建立一个自变量空间，使得这个群本身成为自建立一个自变量空间，使得这个群本身成为自变量空间对称变换群，或者与其对称变换群同构。变量空间对称变换群，或者与其对称变换群同构。比如位置矢量及其变换群比如位置矢量及其变换群 Q。b. 建立一个这些自变量的函数空间作为表示空间。建立一个这些自变量的函数空间作为表示空间。)()()()(1rrrQQD找出函数空间中与原来的群同构或同态的算符群，找出函数空间中与原来的群同构或同态

19、的算符群，而函数空间中这个算符群的表示就是原来群的一而函数空间中这个算符群的表示就是原来群的一个表示。比如函数变换算符群个表示。比如函数变换算符群 。)(QD利用利用30c. 表示的维数等于函数空间的维数。表示的维数等于函数空间的维数。 为求群的有限维表示，必须找到一个有限维的函为求群的有限维表示，必须找到一个有限维的函数空间，使得其中所有函数（矢量）在群的作用下数空间，使得其中所有函数（矢量）在群的作用下都不跑出空间之外。都不跑出空间之外。2. SU(2)矩阵群的表示矩阵群的表示v 建立一个复建立一个复2维的矢量空间。维的矢量空间。空间中一般矢量空间中一般矢量,的两个分量的两个分量（复数）便

20、构成两个独立的自变量：（复数）便构成两个独立的自变量：v31*),(abbabau22幺正矩阵幺正矩阵 正好作为这种矢量的正好作为这种矢量的变换算符变换算符：*),(abbaabbabauv),(ifb. 建立表示空间。建立表示空间。表示空间的基矢表示空间的基矢应该是应该是,的函数，的函数，基矢的数目就是表示的维数。基矢的数目就是表示的维数。是是u,发现，变换发现，变换的线性变换。如果将基矢取为的线性变换。如果将基矢取为,的齐次多项式，就可以保证表示空间中的任意的齐次多项式，就可以保证表示空间中的任意函数变换后仍是同次的齐次多项式，满足表示空间函数变换后仍是同次的齐次多项式，满足表示空间的封闭

21、性条件。的封闭性条件。32 ,可能的齐次多项式如下：可能的齐次多项式如下：零次：零次： 1； 即即 00 1项项1次：次： ,； 即即 2121212121212121, 2项项 2次：次： 22,； 即即 111101011111,3项项 )()()1()1(,jjjjjjjjjjjjj2次：次： 项项12 jnnj12所以若求所以若求维表示，可取维表示，可取12 jj2由于由于次的齐次多项式共有次的齐次多项式共有个线性无关的项，个线性无关的项，33将上面的基矢稍作变换，乘上一系数，将上面的基矢稍作变换，乘上一系数，)!()!(),()(mjmjfvfmjmjjmjm式中式中 jjjjm,

22、1, 1,共共2j+1个。这是一般表示空间的基矢。个。这是一般表示空间的基矢。把把2j+1维空间的基矢写成标准形式：维空间的基矢写成标准形式： 34在在2D自变量空间的变换自变量空间的变换u(a,b)之下，函数空间中之下，函数空间中的各基矢的变换为的各基矢的变换为 )()()()() (1vufvfuDvfjmjmjmabbabaubau*)*,(),(1 uu1由由， 有有 abbaabbavu*1于是于是 )!()!()*()*()()()(1mjmjabbavufvfuDmjmjjmjm)(uDjmm),(jmf将此式按基函数将此式按基函数展开，展开系数就是表示矩阵展开，展开系数就是表示

23、矩阵jjmjmmjmjmuDffuD)(),(),()(2j+1维维35可以求出矩阵元：可以求出矩阵元：nmmnnnmjnmjnjmmbbaammnnnmjnmjmjmjmjmjbaD*)(*)()!( !)!()!()!()!()!()!() 1(),(这就是这就是SU(2)群的群的2j+1维表示的一般形式。其中，维表示的一般形式。其中，n取分母上的四个阶乘都不为负的一切整数，取分母上的四个阶乘都不为负的一切整数， , 2 ,23, 1 ,21jjjjjmm, 1, 1, ，共共2j+1个值。个值。36五、表示五、表示)(uDjmm的性质的性质SU(2)群的所有整数维表示的主要性质有：群的所

24、有整数维表示的主要性质有：1. 这些表示都是幺正表示；这些表示都是幺正表示； 2.它们都是不可约表示；它们都是不可约表示；3.它们是它们是SU(2)群的全部不可约表示。群的全部不可约表示。证明自阅证明自阅37六、六、SO(3)SO(3)群的表示群的表示 因为同因为同SO(3)群的每一个群元群的每一个群元 )(Q相对应的相对应的SU(2)群元群元 )(u是是 2cos2sin2sin2cos)()()()(2222121iiiieeeeuuuu相当于相当于 2cos2iea2sin2ieb38可得可得SO(3)群的群元表示矩阵元：群的群元表示矩阵元： nnjmmmmnnnmjnmjmjmjmjm

25、jD)!( !)!()!()!()!()!()!() 1()(immmnnmmjimee222)2(sin)2(cos 当当j=l，即，即j为整数时，为整数时， ()Q()u()u()lmmD)(Q)(u)(u)()(jmmDuD),2()(jmmDuD当当j=半数时，半数时，39下面写出下面写出j=1/2,1两种情况的表示矩阵两种情况的表示矩阵Dj的明显形式，的明显形式，在矩阵中行和列的编号在矩阵中行和列的编号m和和m习惯上取由大到小的习惯上取由大到小的顺序，即顺序，即m大的在上面，大的在上面，m大的在左边。大的在左边。1/2,1/2:jmm 2/121212/121212/121212/1

26、21212/1)(DDDDD1/2m 1/2m 2/1m2/1m2/12121D0nmj0n计算计算：由：由，有，有 40immmnnmmjimeeD2222/12121)2(sin)2(cos)(2/02122/)2(sin)2(cosiiee2cos2/ )(ie所以所以 2cos2sin2sin2cos)(22222/1iiiieeeeD411,1,0:jmm 1m0m1m1m1m1111101111101001011111101111)(DDDDDDDDDD0m 可得可得 2cos2sin2cos22sin2sin2cos22sin2cos2sin2cos22sin2sin2cos22

27、cos)(2)(2)(222)(2)(1iiiiiiiieeeeeeeeD42七、特征标计算七、特征标计算特征标是类的函数，而所有相同转角的转动特征标是类的函数，而所有相同转角的转动),(nQ), (nQ和和一定会有转动一定会有转动S（不止一个），将（不止一个），将n轴转到轴转到n轴：轴：SQSQ), (),(1nn),(nQ), (nQ即即和和同属一类。同属一类。 所以求特征标就可以利用一个转角为所以求特征标就可以利用一个转角为的最简单的转动，例如的最简单的转动，例如)0 , 0 ,(),(QQk则则 mmimjmmeD)0 , 0 ,(属于同一类，因为对属于同一类，因为对 43所以特征标所

28、以特征标 jjmimjjetrD)0 , 0 ,()(2/2/)1() 1() 1()(iiiiijjiijeeeeeee2sin)21sin(j 4422-4 22-4 正当转动与角动量正当转动与角动量现在设法找到正当转动群的全部不可约表示现在设法找到正当转动群的全部不可约表示22.38式的基矢，因为它们有很强的物理意义。式的基矢，因为它们有很强的物理意义。 一、正当转动群表示基矢的寻找一、正当转动群表示基矢的寻找对于正当转动群，已经找到了一个算符群对于正当转动群，已经找到了一个算符群LnnieD)(以及位置表象中另一个算符群以及位置表象中另一个算符群Lnn)(ieD这两个算符都与正当转动群

29、这两个算符都与正当转动群)(nQ同态。同态。 45考虑了自旋变量之后，扩展为考虑了自旋变量之后，扩展为JnSnLnniiieeeD)(利用表示基矢与表示矩阵的关系，设利用表示基矢与表示矩阵的关系，设Hilbert空间中空间中第第j个不可约表示个不可约表示Dj的第的第m个基矢为个基矢为 jjmmf则有则有 )()(mjmmjjDmmDnn首先取首先取Q(n)为绕为绕z轴的转动轴的转动Q(k)，这时，这时Q(k)的的欧拉角形式为欧拉角形式为 )exp()00(zJiD而而immmjmmeD)00( 46于是按照于是按照22.49式，有式，有 jimjJimemez对对取导数取导数 jimjimjJ

30、ijJizmddemimemddemeJizz令令0jjjjzmddmimmddmJijjzmimmJijjzmmmJ47)(jD)00(D再取绕再取绕y轴绕轴绕角的转动，这时角的转动，这时的欧拉角形式为的欧拉角形式为，由，由22.38式可求得式可求得nnjmmmmnnnmjnmjmjmjmjmjD)!( !)!()!()!()!()!()!() 1()00(222)2(sin)2(cosmmnnmmj110) 1)(21) 1)(21| )00(mmmmjmmmjmjmjmjDdd由此得由此得 jjjymmjmjimmjmjimJ1) 1)(21) 1)(2同样有同样有jjjxmmjmjmm

31、jmjmJ1) 1)(21) 1)(248由以上二式得由以上二式得 jjyxmmjmjmiJJ1) 1)()(由由 2222zyxJJJJ又可得又可得jjmjjmJ22) 1(（自证）（自证） 证明中有证明中有 1) 1)(21) 1)(2jjxjxxmmjmjmmjmjJmJJjjjxmmjmjmmjmjmJ)(1(22)2)(1(21jjjxmmjmjmmjmjmJ2)2)(1(2)(1(21jyjyjyymJmjmjimJmjmjimJJ1) 1)(21) 1)(249jjjymmjmjimmjmjimJ)(1(22)2)(1(21jjjymmjmjimmjmjimJ2)2)(1(2)(

32、1(21jjzjzzmmmmJmJJ22jm2jm2证明中证明中和和会相互抵消，最后可得会相互抵消，最后可得22.54式。式。50可知，在可知，在Hilbert空间中，正当转动群的表示基矢空间中，正当转动群的表示基矢就是角动量就是角动量J的本征矢量：的本征矢量：jjmjjmJ22) 1(jmmj)()(mjmmDjmjmDjjjmmDjmDmj)()(这是一个很重要的结论，它将转动群的表示同物这是一个很重要的结论，它将转动群的表示同物理上的角动量的本证矢量联系了起来，因此有，理上的角动量的本证矢量联系了起来，因此有，51二、在态函数空间中寻找基矢二、在态函数空间中寻找基矢即在态函数空间中寻找即

33、在态函数空间中寻找 )(lmmD的表示基函数。的表示基函数。)()(mjmmjjDmmDnn取取j=l，并取位置，并取位置 )(表象，令表象，令 )(lmlfm则则 )()()()(mlmmlmlmDffDnn由于由于 )(lmf是是空间的函数，所以转角改为空间的函数，所以转角改为 对对22.49式式52 首先取转动为首先取转动为)00(Q这时这时immmlmmeD)00( 而而22.57式右边由于式右边由于函数，求和只剩一项，为函数，求和只剩一项，为 ),(lmimfe，左边由，左边由19.4式可得式可得 ),()()()(1lmlmlmfQffD n所以所以 ),(),(lmimlmfef取上式两边的取上式两边的0 ，得，得 ), 0(), 0(lmimlmf