迭代的加速收敛方法

1、fBxxkk)()1(nkknknxfCabI0)()()()()(2)0(0bfafabTbadxxfA)(, 3 ,2 , 1k 7.3 迭代的加速收敛方法迭代的加速收敛方法华长生制作2使用两个迭代值的组合方法对于迭代法( ),xxx两边同减得1( )xxx 101110,1,kkkxxxxxk1当和时，有x=1-相应的迭代公式为上式中 取不同的值就得到不同的迭代方法 ，下面介绍两种 。 华长生制作311,120,1,kkkxxxk 若取则迭代式为这种迭代对原迭代的各近似值在根的两侧摆动的情形较为有效。华长生制作4 1,111101xcx,0,1,2,1kkkkxxxxxxxxxxcxxx

2、xkc若取则迭代函数为x从而故当x时该迭代至少是二阶的，由于x 的值不知道，只能将 取作的近似值，即得到华长生制作5使用三个迭代值的组合方法*,)(xxx的精确解为假设方程0 x初值为10()xx21()xx22*xxxx21( *)()xxx21( )( *)xxx 中值定理102110()()( *)xxxxxxx差商近似代替导数212110*( *)xxxxxxxx即华长生制作6得解出 *,x2212210()*2xxxxxxx于是可以得到迭代格式:10()xx21()xx其中1()kkxx21()kkxx21121()2kkkkkkkxxxxxxx,2 , 1 ,0k上组公式称为Alt

3、ken公式或Altken加速华长生制作7将上式综合后可得一个解析式表示的迭代法:21 ()( ()2 ()kkkkkkkxxxxxxx 或写成Steffensen迭代法Altken公式与Steffensen公式是等价的加速效果也是很明显的21,0,1,2,2kkkkkkkkkkkyxzyyxxxkzyx华长生制作8例.对迭代格式3131kkxx进行加速解方程组0133 xx6010,5 . 0精确到初值x解:x0 = 0.5x1 = 0.375x2 = 0.3509115x3 = 0.3477369x4 = 0.3473496x5 = 0.3473028x6 = 0.3472971x7 = 0

4、.34729643131kkxx(1)直接使用迭代格式迭代7次,得到满足精度的解347296. 0 x华长生制作9(2)对迭代格式进行Altken加速3113kkxxx0 = 0.5x1 = 0.3451613x2 = 0.3472961x3 = 0.3472964迭代3次,得到满足精度的解347296. 0 x从以上3种结果可见,迭代法加速技术效果比较明显0(3)1.5x 如果将初值改为3131kkxx迭代格式显然不收敛312()13kkxx21121()2kkkkkkkxxxxxxx华长生制作10 x0 = 1.5x1 = 1.5350706x2 = 1.5321124x3 = 1.5320889x4 = 1.5320889迭代4次,得到满足精度的解532089. 1x对迭代格式进行Altken加速可见加速技术可能将不收敛的迭代法加速为收敛华长生制作11定理定理