预备知识_行列式1

1、预备知识（行列式）预备知识（行列式） 内容内容 o行列式的定义行列式的定义o行列式的性质行列式的性质o行列式的展开行列式的展开o克莱姆法则克莱姆法则o综合练习综合练习行列式的定义行列式的定义 a11a12a21a22a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11 a22 - a12 a21= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22a31即所有可能项可表示为：a1 p1 . a2 p2 . a3 p3行列式的定义行列式的定义 【定义1】对于两个自然数，如果大的排在

2、前面，小的排在后面， 则称这两个自然数之间有一个“逆序”。例如： 排列 “3 4 1 5 2” 的逆序数为：0 + 0 + 2 + 0 + 3 = 5 排列 “5 3 9 2 6” 的逆序数为：0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5【定义2】一个排列中所有“逆序”的总和称为“逆序数”（）。行列式的定义行列式的定义 【定义3】逆序数为奇数的排列称为“奇排列”， 逆序数为偶数的排列称为“偶排列”。对于三阶行列式： 正符号：前三行列标为 1 2 3（0）、2 3 1（2）、3 1 2（2） 偶排列 负符号：后三行列标为 1 3 2（1）、2 1 3（1）、3 2 1（3） 奇排列a11a12a1

3、3a21a22a23a31a32a33= （1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3行列式的定义行列式的定义 下面，将上述情况推广到 n 阶行列式。 【定义4】有n 2个数aij（i，j = 1，2，3，n），将它们排列成 n行n列的数，即：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3ann行列式的定义行列式的定义 （1）作出表中不同行、不同列的n个数的乘积：a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn（2）每个乘积前所带的符号由排列p1 p2 p3 pn 的逆序数决定， 即为：（-1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn（3）将 n

4、 ! 这种数的代数和 ：（-1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn 称为“n阶行列式”，记为：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3annDn = （-1） a1 p1 . a2 p2 . a3 p3 an pn = （-1） ap1 1 . ap2 2 . ap3 3 apn n 行列式的定义行列式的定义 特殊的行列式特殊的行列式123n对角行列式Dn = 1.2. 3. n Dn = （-1）n(n-1)/2 1.2. 3. n123n行列式的定义行列式的定义 特殊的行列式特殊的行列式a11a12a13a1na22a23a2na33a3n

5、ann三角行列式Dn = a11.a22. a33. ann Dn = a11.a22. a33. anna11a21a22a31a32a33an1an2an3ann上（下）三角行列式的上（下）三角行列式的值与对角行列式相等值与对角行列式相等 行列式的性质行列式的性质a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann（1）行列式与其转置的行列式相等。Dn =Dn =a11a21a31an1a12a22a32an2a13a23a33an3a1na2na3nannDn = Dn 行列式的性质行列式的性质a11a12a13a 1na21a22a23a 2

6、nkai1kai2kai3kai na n 1a n 2a n 3ann（2）用K乘上行列式中的某行（或某列），等于K乘上该行列式。Dn = Ka11a12a13a 1na21a22a23a 2nai1ai2ai3ai na n 1a n 2a n 3ann行列式的性质行列式的性质a11a12ka13a 1na21a22ka23a 2nai1ai2kai3ai na n 1a n 2ka n 3ann或：Dn = Ka11a12a13a 1na21a22a23a 2nai1ai2ai3ai na n 1a n 2a n 3ann【推论1】行列式中某行（或某列）的所有公因子均可提到行列式符号的外

7、面。 【推论2】若行列式中某行（或某列）的所有元素皆为零，则该行列式等于零。行列式的性质行列式的性质a11a12a13a 1na21a22a23a 2nbi1+ci1bi2+ci2bi3+ci3bi n+cina n 1a n 2a n 3ann（3）若行列式中某行（或某列）的所有元素皆为两数之和，则该行列式等于两个行列式之和。Dn =行列式的性质行列式的性质a11a12a13a 1na21a22a23a 2nbi1bi2bi3bi na n 1a n 2a n 3ann = +a11a12a13a 1na21a22a23a 2nci1ci2ci3ci na n 1a n 2a n 3ann行

8、列式的性质行列式的性质a11a12 b1j+c1ja 1na21a22 b2j+c2ja 2nai1ai2 bij+cijaina n 1a n 2 bn j+cnjann或：Dn =行列式的性质行列式的性质a11a12 b1ja 1na21a22 b2ja 2nai1ai2 bijai na n 1a n 2 bnjann = +a11a12 c1ja 1na21a22 c2ja 2nai1ai2 cijai na n 1a n 2 c n jann上面两个公式也可以推广到多个元素之和行列式的性质行列式的性质（4）若互换行列式的两行（或两列），则行列式变号。 互换i、j两行，记为：ri rj

9、 互换i、j两列，记为：ci cj【推论1】如果行列式有两行（或两列）的元素完全相同，则该行列式等于零。【推论2】如果行列式有两行（或两列）的元素成比例，则该行列式等于零。 行列式的性质行列式的性质a11a12a13a 1nai1ai2ai3ai naj1aj2aj3aj na n 1a n 2a n 3ann（5）若用数值k乘行列式某行（或某列）的所有元素，加到另一行 （或另一列）的对应元素之上，则行列式值不变 a11a12a13a 1nai1 + kaj1ai2 + kaj2ai3 + kaj3ai n + kaj naj1aj2aj3aj na n 1a n 2a n 3ann=行列式的

10、性质行列式的性质1021011-1-1120-20111021011-1014100531 021011-100320053利用上述性质可以简化行列式的计算。如：r1 r2011-11021-1120-20111021011-10032000-1/3D=-r3 + r1r4 + 2r1r3 - r2r4 - 5/3r3-= 1行列式按行（或列）展开行列式按行（或列）展开 a11a12a13a21a22a23a31a32a33（以低阶行列式来表示高阶行列式）【定义5】在n阶行列式Dn中，划去元素aij所在的第i行和第j列所在的元素，剩下的元素按原来的次序构成一个n-1阶行列式Dn-1，该行列式称

11、为 “元素aij的余子式”，记为 “Mij”，而称Aij = （-1）i+j Mij为“元素aij的代数余子式”。例如D= 余子式：M11= a22a23a32a33M23= a11a12a31a32代数余子式：A11 = （-1）1+1 M11 = M11，A23 = （-1）2+3 M23 = - M23 行列式按行（或列）展开行列式按行（或列）展开 21-3-13107-124-210-15【定理】（行列式展开定理）行列式等于它的任一行（或任一列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即： D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + + ain Ain 或： D

12、= a1j A1j + a2j A2j + a3j A3j + + anj Anj应用D=23-11000C3 + C 1C4 - 5C 1按4行展开行列式按行（或列）展开行列式按行（或列）展开 1-1-1113-82331-1-110043525r2 - r1r3- 2r1（-1）4+1按1列展开-（-1）1+1= -85【推论】行列式任一行（或任一列）的元素与另一行（或另一列） 对应的代数余子式乘积之和等于零。即： D = ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + ai3 Aj3 + + ain Ajn （i j） 或：D = a1i A1j + a2iA2j + a3i A3j + + a

13、ni Anj （i j）克莱姆法则克莱姆法则 （应用 n 阶行列式的理论来解 n 个变量、n 个方程的线性方程组）【定义6】若变量X1、X2、X3、Xn 有 n 个线性方程组：a11X1 + a12X2 + a13X3 + + a1nXn = b1a21X1 + a22X2 + a23X3 + + a2nXn = b2 an1X1 + an2X2 + an3X3 + + annXn = bn则称由它的系数aij组成的 n 阶行列式：a11a12a13a1na21a22a23a2nan1an2an3annD =为该方程组的“系数行系数行列式列式”。如果方程组右边的常数项均为零，则称对应的方程组为

14、“齐齐次线性方程组次线性方程组”。克莱姆法则克莱姆法则 【定理】（克莱姆法则）如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一的解。即：X1 = D1/D，X2 = D2/D，X3 = D3/D ，Xn = Dn/DDj= 其中，Dj（j = 1，2，3，n）是将D的第 j 列元素a1j，a2j，a3j， anj 分别换成常数项b1，b2，b3，bn所得到的 n 阶行列式，即：a11a12a1(j-1)b1a1(j+1)a1na21a22a2(j-1)b2a2(j+1)a2na31a32a3(j-1)b3a3(j+)a3nan1an2an(j-1)bnan(j+1)ann克莱姆法则克莱姆

15、法则 2115221054281166221375422815662101374 应用 求下述方程组的解：D =2X1 + X2 +X3 = 285X1 + 2X2 + 2X3 = 6610X1 + 5X2 + 4X3 = 13721285266105137= 16 + 20 + 25 20 - 20 20 = 1 0。方程有解！ D1=D2=D3=10= 5= 3X1 = D1/D = 10，X2 = D2/D = 5，X3 = D3/D = 3克莱姆法则克莱姆法则 【推论】当系数行列式D不等于零时，则齐次线性方程组只有唯一的零解。 （因为当b1 = b2 = b3 = bn = 0时，D1 = D2 = D3 = Dn = 0） 反之，如果某一齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D必为零，即 “D不等于零” 是次线性方程有非零解的必要条件。 （也可以证明它是充分的）综合练习综合练习（1）a1111a1111a11111aa + n - 1111a + n - 1a11a + n - 11a1a + n - 1111a11111a1111a11111a11110a-10000a-100000a-1C1 + C 2+ C 3+ CnC1（a + n - 1）（a + n - 1）