函数的单调与导数PPT学习教案

1、会计学1函数的单调与导数函数的单调与导数（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一复习回顾：一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式第1页/共16页（1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/. （3）函数的商的

2、导数）函数的商的导数 （ ） / = (v0)。uv2u vv uv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u.第2页/共16页函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单

3、调性上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:第3页/共16页引入：引入： 函数单调性体现出了函数单调性体现出了函数值函数值y随自随自变量变量x的变化而变化的情况的变化而变化的情况, 而而导数导数也正是研究也正是研究自变量的增加量自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？研究单调性呢？ 第4页/共16页观察下面四组函数图像，判断导数与单调性的关系。0k0k01k0k0k0k0k第5页/共16页三、新课讲解三、新课讲解: 我们已经知道我们已

4、经知道,曲线曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数的导数. 从函数从函数y=x2-4x+3的图像可以看到的图像可以看到: yxo111 在区间在区间(2,+)内内,切线的斜切线的斜率为正率为正,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而增大的增大而增大,即即 0 时时,函数函数y=f(x) 在区间在区间(2, +)内为增内为增函数函数. y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜切线的斜率为负率为负,函数函数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而减小的增大而减小,即即 0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在为在为这个区间内这个区间内 的的增函数增

5、函数;如果在这个区间如果在这个区间内内 0,解得解得x1,因此因此,当当 时时,f(x)是增函是增函数数;), 1( x令令2x-20,解得解得x0,解得解得x3或或x1,因此因此,当当 或或 时时, f(x)是增函数是增函数.), 3( x)1 ,( x令令3x2-12x+90,解得解得1x0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递减区间的单调递减区间.)(xf )(xf 练习练习1 1:求函数求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间的单调区间.答案答案:递增区间是递增区间是 和和 ;递减区间是递减区间是(-2,1). )2,( ), 1 (

6、第9页/共16页例1、求函数f(x)=xx的单调区间解解：），的定义域为（函数0)(xfxxxxf111)(10010)(xxxxxf或得即由），的定义域为（函数0)(xf），的增区间为（函数1)(xf10010)(xxxxf得即由），的减区间为（函数10)(xf第10页/共16页四、综合应用四、综合应用:例例1:确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此,

7、f(x)的递增区间是的递增区间是: 递减区间是递减区间是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 第11页/共16页解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f(x)的递增区间的递增区间是是(1,+);由由 解得解得-1x0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此时此时f(x

8、)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a()0只是函只是函数数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的充分不函数的充分不必要条件必要条件.)(xf 第14页/共16页6.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导是导数几何数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想它充分体现了数形结合的思想.5.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当则当函数函数f(x) 时在闭区间时在闭区间a,b上连续上连续,那么单调区间那么单调区间可以扩大到闭区间可以扩大到闭区间a,b上上.4.利用求导的方法可以证明不等式利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据首先要根据题意构造函数题意构造函数,再判断所