注册电气工程师考试辅导-数学1空间解析几何.

1、1.1空间解析几何 1.1.1 向量代数1.1.2 空间解析几何1.1.向量的概念向量的概念定义定义: :既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量. .相等向量、相等向量、负向量、负向量、向径向径. .零向量、零向量、向量的模向量的模单位向量、单位向量、1.1.1 向量代数向量代数2.2.几种特殊向量几种特殊向量（2）向量的分解式：）向量的分解式：,zyxaaaa .,轴轴上上的的投投影影分分别别为为向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,（3）向量的坐标表示式：）向量的坐标表示式：向量的坐标

2、：向量的坐标：zyxaaa,3.3.向量的表示法向量的表示法（1）有向线段）有向线段 (模和方向模和方向余弦余弦）(1)加法：cba 4.4.向量的线性运算向量的线性运算dba ab(2)减法：cba dba (3)(3)向量与数的乘法：向量与数的乘法：, 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( |aa 线性运算的坐标表达式线性运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 2

3、22|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 5.5.数量积数量积 cos|baba zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式aprjbbprjaba0baaaa2(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(

4、ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba定义：向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba 几何意义：右图三角形面积abba21S为非零向量, 则aa) 1 (0ba,)2(0baba运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (zzyyxxbababakbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba zyxzyxbbbaaakjiba 解解ba )1(2)4()2(111

5、 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 55510|22c|0ccc .5152 kj22343cos322)2(17例例3. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,CBAS ABC21kji222124)(21

6、,4,622222)6(4211421ACAB求三x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx1.1.2 空间解析几何空间解析几何 21221221221zzyyxxMM 它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式: :点到平面的距离公式：点到平面的距离公式：的距离为到平面点0),(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd（1 1）旋转曲面）旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面一周所成的曲面. .这条定直线叫旋转

7、曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴. .2 2、曲面、曲面.),(对对应应与与三三元元方方程程空空间间曲曲面面0zyxFS方程特点方程特点: :0),()2(0),() 1 (00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线（2 2） 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线L L所形成的曲面所形成的曲面. .这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母

8、线. .从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：3 3、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF（1 1） 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx（2 2） 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间平面空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 4. 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程),( :000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0

9、 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy为直线的方向向量.一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 为直线上一点; 解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所给直线的对称式方程为