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文档简介

1、分式的意义和性质、分式的概念41、用A、B表示两个整式,A-B可以表示成-的形式,其中A叫做分式的分子,B叫做A分式的分母,如果除式B中含有字母,式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式,那么,在分式里分母所包含的字母,就不意义。一般地说,在一个分式里,分子中的字母可取任意数值,但分母中的字母,只能取不使分一定可以取任意值。分式-的分子A可取任意数值,但分母B不能为零,因为用零做除数没有母等于零的值A3. (1)分式:二,当B=0时,分式无意义(2)分式:(2)分式:A二,当BO时,分式有意义。(3)分式:时,分式的值为零。A(4)分式

2、:二,当1/7时,分式的值为1(5)分式:(5)分式:皿同号时,即"或B<0-4<0时,A匸为正数。(6)分式:(7)分式:4宮。U>0U<0A左,当(円B异号时,即5或、U时,貳为负数AMioU<0A,当'时或'时,J为非负数三、分式的基本性质:1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式,这个整式可以是数也可以是字母,只要是不为零的整式。A=AM=AA_2、这个性质可用式子表示为:-二匚丄I:(M为不等于零的整式)3、学习基本性质应注意几点:(1)分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零;

3、(2)易犯错误是只乘(或只除)分母或只乘(或只除)分子;(3)如果分子或分母是多项式时,必须乘以多项式的每一项。4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。5、分式的分子,分母和分式的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,如下列式子:AA-A-AA-A-AA=3一成虽一占BBB-B。四、约分:1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母,使分式化简为最简分式,最简分式又叫既约分式。2、约分的理论依据是分式的基本性质3、约分的方法:90S圧-X1)1(2)1(3)-(1)如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式,就约去分子和分母中相同因式的最低次幕,当分子和分母

4、的系数是整数时,还要约去它们的最大公约数。例1,请说岀下列各式中哪些是整式,那些是分式?(+y(4)(5)_;a2-二a(6)O解:根据分式定义知(1)、(2)、(3)是分式,(4)、(5)、(6)是整式。说明:判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里-是分式,不a2-b2(ab)(a-)a2-a2-b2能因为L=:一-=a+b,而认为八门是整式,a+b是分式-的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外护是整式而不是分式。虽然分母中有n但n不是4-占字母而是无理数,是无限不循环小数,因此的除式中不含字母。例2,在分式(1)一亠(3)一中,字母x的值有什么限制?解:(1)在

5、h-中,当x=2时,使得分母x-2=0,.xk2,-2(2)在-中,当x=-2时,使得分母x+2=0,xK-2,(3)在“中,当x=-2或x=3时,使得分母(x+2)(x-3)=0,xK-2且x3o齐-1例3,x为何值时,分式;,(1)无意义;(2)值为零;(3)值为1;(4)值为非负数。3解:(1)V当分母2x+3=0时分式无意义,x=-i时,分式无意义。/2(2)v当lr_1=°时,分式值为零。二A",x=1时分式值为零。力T*Q(3) .当打U7时,分式值为1x=-4时分式值为17-1>0(4).当?+3>0或7-1>0(4).当?+3>0或,

6、1<0牛CD时,分式值为非负数x>1或XV-二时分式值为非负数6-2|勒例4,当x取何值时,分式(1)值为零;(2)无意义;(3)有意义。解:(1).当(x+3)(x-1)工0时,分式有意义,当x=3且xl时分式有意义。又.6-2|x|=0时分式值为零,则3-|x|=0,|x|=3,x=±3。#-3fijXIx=3时分式值为零。(2).(x+3)(x-1)=0分式无意义,即x+3=0或x-1=0,x=-3或x=1时分式无意义。说明:对于(1)也可先令分子为零,求岀字母的所有可能值为x=±3后,再逐一代入分母验证是否为零,不为零者即为所求。对于(2)当x+3=0或

7、x-1=0时,都会使分式的分母等于零,所以要注意或”字的使用。解:(3).(x+3)(x-1)工00寸分式有意义。即x+3工0且x-1工0时,x-3且xl时分式有意义,说明:对于(3)分母(x+3)(x-1)只有不为零时,分式有意义,而(x+3)(x-1)工0当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0,所以应将x=-3和x=1都同时排除掉,写成x工3且x工1,用且"字,而不用或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1,即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值,分母(x+3)(x-1)都会为0,而使分式都会无意义。例5,写岀等式中未知的分子或分母:x-y_()一必区_ba十(

8、1) 一:(;(3;(1)分析:这类问题要从已知条件入手,根据分式的基本性质,分析变化的过程,如(1)右边分母x2-y2是(x+y)(x-y),而左边分母为x+y,所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。解:未知的分子是(x-y)2,(2)(2)分析:左边分子a2-ab=a(a-b),而右边分子是a-b,所以需将左式的分子和分母同除以解:-ah-占)_b=L<L一:,未知的分母是bo(3)ta2+ab=a(a+b)(将分子因式分解)(3)ta2+ab=a(a+b)(将分子因式分解)二-(比较分子,发现分子、分母同乘以二-(比较分子,发现分子、分母同乘以a)a(a+A)丄,2ab即为所求

9、的分母。a(a+A)丄,2ab即为所求的分母。例6,把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。11X+V31x-y(1):;(2)0.4*2-0.7(1)分析:子和分母同乘以(1)分析:子和分母同乘以先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15,再据分数基本性质,分15。1_一天+-y351rx-y解:-;04fl-0.7Z?®如4a-lh(2) 解::=:二匚.注:必须乘以分子和分母的每一项,避免发生(0.2a+3b)>10=2a+3b这样的错误。一5ac例7,不改变分式的值,使下列分式中分子与分母不含号,(1)-T2处护;(2)-解:根据分式的符号法则得:7x/7x

10、y2-5ac2Sac2(1)-一;(2)-二-二。注意:分式、分子和分母的符号中,任意改变其中两个,分式的值不变。(1)中改变分式本身和分母两个负号,(2)中改变分子和分母两个负号。例8,不改变分式的值,依照x的降幕排列,使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。5-X-X-7T(1),;(2)。5-x-+5-Ra-5解:(1).1=.*=人-_=.!Z;十无十说明:解题可分为三步:(1)先将分式的分子和分母都按x的降幕排列,这步只是运用加法交换律,不改变符号。(2)将分子和分母的最高项系数化为正数,只要提取公因式-1即可,提取时注意每项都要变号。(3)运用符号法则进行变号。注意:如果分子或分母

11、的首项为负,则必须先将负号提到括号外面,再使用符号法则,要注意避免下列的错误:-x+5x仍.;二一止O-1弘畀020胪胪丁加例9,约分:(1)(2)if,。-1为05屛(-3沙讣4解:(1)Lb一F、一1=-3yz10。注意:分母的因式约去后得1,分式变为整式。若化简分式错误:5工才01了心九吒砂"£严片-非=o。苜即二时千万不要犯下列(2)if,=t=_=u注意:分母的负号一般要移去。(2)如果分式的分子或分母是多项式,应先分解因式,然后再约分。ab+j-1(兀2_x_2)却例10、约分:(1),一沪;(2)口2-4+3;(3)工-1;(4)兀一1)(2一丁;解:()“!

12、=',.厂1。(5)._.一。a-ba-b1I注意:不要把-':约成心一=“,也不要将最后结果写成:,因为分式的横线表示括号,再写括号就多余了。/+%-7Qx+恥一1)_厘+7(2)r_=;二L;'I。a+6(-76lz_7注:不要将-约做一-1,因为这样是分子分母都减a,不是同除以相同的整式。+*十工_1弘十(兀J仗_加十$(3)上-=.1=.1一=x2+i。x3-J:2+X1注:不要犯下面的错误:.;一=x3-x2。(X_斗_2尸(工-2)0十1)F(“2)3("1尸(4)L=-J1。注意:这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。17-F+1(5)

13、二1=.1(分子按x的降幕排列)-曲-1)=二,1(分子提取公因式-1)=一"(分子、分母都分解因式)7+1)=-(约去公因式:x-1)点+1=-(应用分式的符号法则)说明:此题的解法,一方面显示岀分式约分的一般步骤,另一方面在解题的右侧的括号内写岀运算的算理,平日的化简是不写这些的,但不是它不存在,在思维上它是不可缺少的。分数的乘除法的关键是约分,而分式乘除法的关键也是约分,就是说,分式乘除法运算的实质是约分,它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样,分式的约分是应用分式的基本性质,把分式的分子、分母同除以它们的公因式,把分式化简,因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。附录:一、本讲教学内容及要求单元节次知识要点教学要求分式分式(1)分式概念(2)有理式概念A(了解)A分式的基本性质(1)分式的基本性质(2)分

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