函数的导数与微分的应用PPT学习教案

1、会计学1函数的导数与微分的应用函数的导数与微分的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,yxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:(1)(2)(3)()(00 xfxxf一、近似计算与误差估计一、近似计算与误差估计（一）近似计算（一）近似计算第1页/共39页31sin的近似值 .解解: 设,sin)(xxfooo130cos30sin21231805151. 0)130sin(00)1801(o)sin()(00 xxxxf,cossin00 xxx,300ox ox1第2页/共39页xn11nx1) 1 (很小)x(xxxx

2、1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: 令,1)(nxxf代入(4)式得,很小时当 xxnxn111特别当,00 x很小时,xffxf)0()0()(在(3)式),)()()(000 xxxfxfxfx, 1)0(f那么)0(f011|)1 (1xnnxn1(4)（类似可得）第3页/共39页31001的近似值 .解解:310013100013)100011 (100010)10001311(00033.10)|(|111很小xxnxn310001110第4页/共39页某量的精确值为 x , 其近似值为 xo ,0 xx称为xo的绝对误差绝对误差00 x xx称为

3、xo 的相对误差相对误差若0 xxxx称为测量 x 的绝对误差限绝对误差限0 xx称为测量 x 的相对误差限相对误差限第5页/共39页已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(0 xxf)(0故 y 的绝对误差限约为xyxf)(0相对误差限约为xyxfxfy)()(00若直接测量某量得 x0 ,第6页/共39页,00)()(limxgxf函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf研究思路研究思路:洛必达法则洛必达法则未定式(未定型或不定型):第7页/共39页0)(lim)(lim) 1xgxfaxax)()(lim)3xgxfax存在

4、 (或为 ).)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax,)()()2都存在与xgxf0)( xg且定理定理 2.00(洛必达法则洛必达法则) 则设f (x), g (x)满足：第8页/共39页定理 1 中ax 换为下列过程之一:, ax, ax,xx注注 3. 若)()(limxgxf满足定理1且型仍属)(, )(,00 xgxf条件, 则)()(lim)()(limxgxfxgxf)()(limxgxf ,x)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax洛必达法则注注 2. 使用洛必达法则时，验证3个条件；型00第9页/共39页01lim.xxax解解: 原式型00lnal

5、nxaa10 limx洛洛第10页/共39页.123lim2331xxxxxx解解: 原式型0023注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛第11页/共39页.arctanlim12xxx解解: 原式 xlim型00221limxxx1211x21x洛洛第12页/共39页型型)(lim)(lim) 1xgxfaxax)()(lim)3xgxfax存在 (或为)()(limxgxfax定理定理 2.)()(limxgxfax(洛必达法则洛必达法则),)()()2都存在与xgxf0)( xg且则设f

6、 (x), g (x)满足：第13页/共39页0limx原式解解: 原式=0 xxxe2limxxe2lim.elim2xxx型洛洛洛洛例例. .求解：解：0lnsinlim,.lnsinxmxm nNnx其中1.0coslimcosxmnnxnmmx0cossinlimcossinxmmxnxnnxmx0sinlimsinxmnxnm x型洛洛mxmxmsincosnxnxnsincosm nn m第14页/共39页,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim00limx

7、0)(lim0nxnxx11nxn第15页/共39页型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim22limx0通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化洛洛xcosxsin00第16页/共39页xxxlnlim0 xxx1lnlim02011limxxx.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化)(lim0 xx0洛洛第17页/共39页若在(a, b)内定理定理2.9 设函数)(xf0)( xf a, b 内单调递增, )0)(

8、xf(递减) .在a, b 内连续,(1) 单调性单调性xyo)(xfy abAB0)( xfxyo)(xfy 0)( xfabBA在(a, b) 可导,则函数f ( x )在第18页/共39页31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, 1,();,2)(xf的单调减单调减区间为.2,1 12xOy1 2第19页/共39页222ln(1)11xxxxxx例例12.12.当x0时，试证证证: :设22( )1ln(1)1f xx

9、xxx ( )fx( )fx0,( )(0)xf xf有，时当即0 x221ln(1)1xxxx( )0,fx221ln(1)1xxxx2ln(1)xx2(ln(1)xxx21xx2ln(1)xxx211xx2(1)1xx21xx故0, +)上f (x)是单调增加，0,221()1xxx第20页/共39页则称 为 的驻点。驻点。,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小值点

10、极小值点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 。)(0 xf极大值点与极小值点统称为极值点极值点 。, 0)(0 xf)(xf若0 x定义：定义：定义定义2.82.8第21页/共39页 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那那必定必定0)(0 xf（驻点驻点）. . 52,xx为极大值点641,xxx为极小值点3x不是极值点2) 1) 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如 ,1x为极大值点, 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点, 函数12xOy12oxyab)(xfy 1x2x3x

11、4x5x6x( (必要条件必要条件) )第22页/共39页, 0)( xf, 0)( xf),(00 xUx,)(0连续在设函数xxf且在x0 的某去心邻域内可导,(1)“左左正正右负右负”(2) “左负右左负右正正” .)(0取极大值在则xxf00(,)xxx时,当00(,)xxx而当时, 0)( xf.)(0取极小值在则xxf00(,)xxx时,当00(,)xxx而当时, 0)( xf(3) 若在点x0的某去心邻域内, ,)(符号不变xf .)(0没有极值在则xxfxyo0 x xyo0 x 第23页/共39页求极值的步骤求极值的步骤: :);() 1 (xf 求导数(2)( )0fx驻点

12、(求即方程的根),;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf .)4(求极值与不可导点（可疑极值点）；第24页/共39页求函数 的极值.23( )(1) (1)f xxx223) 1() 1(3) 1)(1(2)(xxxxxf) 15() 1)(1(2xxx，0)( xf令解解:1,511，x得驻点驻点附近 的符号变化的情况: )(xf ( )f x( )fx(1,)1( ,1)51511( 1, )51(, 1) x因此13456( )53125f(1)0f无极值无极值极大值极大值极小值极小值第25页/共39页二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf

13、,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 。)(xf0 x第26页/共39页1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1O第27页/共39页,)(上连续在闭区间若函数baxf则f (x)在最值出现在：驻点、不可导点、区间端点

14、。求函数最值的方法求函数最值的方法: :1) 求 在 内的驻点和不可导点)(xf),(bamxxx,212) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf闭区间a, b上必有最大值和最小值。定理：第28页/共39页21233( )(1) 2, 2f xxx数在求函的最值.24233122332 (1)( )3(1)xxfxxx；解：解： （1）求导（2） 求驻点、不可导点：( )0,fx令24233(1)0 xx即12x ，01xx ，；驻点为不可导点为第29页/共39页1()2

15、f 31( )42f xx 点，所以的最大值最大值（3）计算这些点的函数值，求最大值和最小值：(0)f( 1)f ( 2)f 33( )243f xx 点，。的最小值最小值1,1,3343,34第30页/共39页肌肉或皮下注射后, 血中药物的浓度与时间121221(),0,0ttAyeeA问 t 为何值时，血中药物浓度达最大值 。的关系是dydt1212ttee；得到202111lnt；00,ty而解：解： 121221()ttAee0令（唯一驻点）tylimty0因此当t =t0时，血中药物浓度达最大值 。第31页/共39页定义定义2.9 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,若对12,xxI

16、若对 有,2)()()2(2121xfxfxxf则称函数图形在此区间上是凹凹的，如下左图;12,xxI若对 有1212()()(),22xxf xf xf则称函数图形在此区间上是凸凸的，如下右图;xyOxyO1x2x1x2x第32页/共39页)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 。设函数在区间I 上有二阶导数yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 定义定义2.10 函数的凹凸分界点 称为拐点拐点 。yOx拐点证明略（可从斜率的大小变化来理解）证明略（可从斜率的大小变化来理

17、解）第33页/共39页xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy14334xxy的凹凸区间及拐点。解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点。上在),0(32凹凹凸第34页/共39页本节内容总结本节内容总结一、近似计算与误差估计二、洛必塔法则通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化)()()(000 xxxfxfxf第35页/共39页本节内容总结本节内容总结三、函数的单调性、凹凸性、极值、最值极值第一判别法极值第一判别法极值第二判别法极值