数字逻辑课件

1、数字数字逻辑与数字系统设计逻辑与数字系统设计教材：数字逻辑与数字系统设计 王永军 李景华 主编 课程基本信息课程基本信息课程名称数字逻辑与数字系统设计课程编码020513007 课程类别专业基础课总学时及其分配总学时讲课实验上机其它机动483612000适用专业计算机、软件工程等专业电子电路中的信号电子电路中的信号模拟信号模拟信号数字信号数字信号随时间连续变化的信号随时间连续变化的信号时间和幅度都是离散的时间和幅度都是离散的模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对

2、数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。F 研究模拟信号时，我们注重电路研究模拟信号时，我们注重电路输入、输出信号间的大小、相位关系。输入、输出信号间的大小、相位关系。相应的电子电路就是模拟电路，包括相应的电子电路就是模拟电路，包括交直流放大器、滤波器、信号发生器交直流放大器、滤波器、信号发生器等。等。F 在模拟电路中，所用器件一般工作在模拟电路中，所用器件一般工作在线性区，如三极管就处于放大区。在线性区，如三极管就处于放大区。数字信号数字信号tul特点是脉冲式的，只有两种状态：特点是脉冲式的，只有两种状态： 有脉冲和无脉冲。有脉冲和无脉冲。l一般我们用高电平代表有脉冲，低电平代表无脉一

3、般我们用高电平代表有脉冲，低电平代表无脉 冲冲-正逻辑正逻辑l当然也可以反过来定义当然也可以反过来定义-负逻辑负逻辑F研究数字电路时注重电路输出、研究数字电路时注重电路输出、输入间的逻辑关系，因此不能采用输入间的逻辑关系，因此不能采用模拟电路的分析方法。主要的分析模拟电路的分析方法。主要的分析工具是逻辑代数，时序图，逻辑电工具是逻辑代数，时序图，逻辑电路图等。路图等。F在数字电路中，三极管工作在在数字电路中，三极管工作在非线性区，即工作在饱和状态或截非线性区，即工作在饱和状态或截止状态。起电子开关作用，故又称止状态。起电子开关作用，故又称为开关电路。为开关电路。（1）工作信号是二进制的数字信号

4、，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。（2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的逻辑关系。 （3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高，只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。u数制：是计数进位制的简称。表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称数制。十进制数是大家最熟悉的一种数制，一般用字母“D”表示。u基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。在十进制中，每一位用09十

5、个数码表示，所以计数基数是十。超过9的数需用多位数表示，低位和相邻高位之间的关系是逢十进一。u 位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。1.1 数制数制1.1.1 十进制十进制以十为基数的记数体制以十为基数的记数体制用十个数码表示：用十个数码表示：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循遵循逢十进一逢十进一的计数规律的计数规律157=012107105101 位权位权一个十进制数一个十进制数 N可以表示成加权和的形式：可以表示成加权和的形式：1()10niDiimNa 若用电子电路进行十进制数运算，若用电子电路进

6、行十进制数运算，必须要有十个电路状态与十个数码相对必须要有十个电路状态与十个数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，电应。这样将在技术上带来许多困难，电路复杂，运算速度慢，而且很不经济。路复杂，运算速度慢，而且很不经济。早期的模拟计算机就是如此。早期的模拟计算机就是如此。权重权重取值取值D:decimal1.1.2 二进制二进制以二为基数的记数体制以二为基数的记数体制用两个数码表示：用两个数码表示：0、1遵循遵循逢二进一逢二进一的规律的规律12niBiimNa（ ）（1001) B =012321202021 = ( 9 ) DB:binary用电路的两个状态用电路的两个状态-有（有（1）和无

7、（）和无（0）来表示二进制数，数码的产生，存储和来表示二进制数，数码的产生，存储和传输简单、可靠。传输简单、可靠。不合人们的日常习惯，输入时将十进制不合人们的日常习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换转换成二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。成十进制数。1.1.3 八进制八进制 八进制（八进制（octal number system） : 以以8为基数的计数体为基数的计数体制。制。 特点：特点： (1)系数系数ai可以取可以取8个不同的数码个不同的数码 即即 0，1，2，3，4，5，6，7 。 (2) 计数基数为计数基数为8，即，即 “逢八进一逢八进一”。 7110 。 任

8、意一个八进制数任意一个八进制数M8可以表示为：可以表示为： 188nmiiiaM1.1.4 十六进制十六进制十六进制数码：用十六进制数码：用16个字符来表示个字符来表示0，1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H =4 162+14 161+6 160= ( 1254 ) DH:hex二进制、八进制、十进制和十六二进制、八进制、十进制和十六进制的数码对照表进制的数码对照表十进制0123456789101112131415二进制0000000100100011010001010110011110001001101010

9、111100110111101111八进制012345671011121314151617十六进制0123456789ABCDEF1.1.5 数制转换数制转换 1. 二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数 方法：分别写出二进制、八进制和十六进制数的加权系数展开式，各位加权系数和即为对应的十进制数。 （1）二进制转换为十进制（二十转换）二进制转换为十进制（二十转换） M2 =（1011.01）2123022121120 +02-1+12-2 = (11.25)10 （2）八进制转换为十进制（八十转换）八进制转换为十进制（八十转换） M8 =（326.45

10、）8382281680+48-1+58-2 (214.578125)10 （3）十六进制转换为十进制（十六十转换） M16 =（9F. C）169161F160+C16-1 = (159.75)10 2. 十进制数转换为二进制、八进制和十六进制数十进制数转换为二进制、八进制和十六进制数 方法：方法： 整数部分整数部分采用“除基取余法(radix divide method)”将十进制数的整数部分逐次被基数R除，每次除完所得的余数便为要转换的数码，直到商为0。其中第一个余数为最低有效位LSB，最后一个余数为最高有效位MSB； 小数部分小数部分采用“乘基取整法（radix multiply met

11、hod）” 将 十进制的小数部分连续乘以基数R，乘积的整数部分作为R进制数的小数部分。其中第一个整数为最高有效位，最后一个整数为最低有效位。 （1）十二转换）十二转换将十进制数（25.8125）10转换为二进制数。 整数部分的转换 ：除2取余数。 小数部分的转换：乘2取整数。(25.8125)10=(11001.1101)2 MSB2512631022222余数1=a0余数0=a1余数0=a2余数1=a3余数1=a4(25)10=(11001)2LSB0.81252）整数为1a-11.62502）整数为1a-21.25000.25002）整数为0a-30.5000(0.8125)10=(0.1

12、101)20. 50002）整数为1a-41.00000.6250LSBMSB （2）十八转换 将十进制数(234)10转换成八进制数。 得：(234)10=(352)82342930888余数2=a0 余数5=a1余数3=a2 (234)10=(352)8 （3）十十六转换）十十六转换 将十进制数(234)10转换成十六进制数。 得：(234)10 (EA) 162341401616余数10=A16=a0余数14=E16=a1(234)10=(EA)16 3. 二进制和八进制、十六进制间的转换二进制和八进制、十六进制间的转换 （1）二进制和八进制间的相互转换）二进制和八进制间的相互转换 二八

13、转换二八转换方法：方法： 整数部分整数部分 从低位（小数点左边第一位）开始，每三位二进制数分为一组，从低位（小数点左边第一位）开始，每三位二进制数分为一组，最后不足三位的前面补零，每组用一位等价的八进制数来代替；最后不足三位的前面补零，每组用一位等价的八进制数来代替； 小数部分小数部分 从高位（小数点右边第一位）开始，每三位二进制数分为一组，从高位（小数点右边第一位）开始，每三位二进制数分为一组，最后不足三位的后面补零，然后按顺序写出对应的八进制数。最后不足三位的后面补零，然后按顺序写出对应的八进制数。 例：将二进制数（例：将二进制数（10111101.01110111）2转换为八进制数。转换

14、为八进制数。 解：10 111 101.011 101 1100. 255673则（则（10111101.01110111）2=（275.356）8 八二转换八二转换 方法：方法：将每位八进制数用等价的三位二进制数来表示，便将每位八进制数用等价的三位二进制数来表示，便得到对应的二进制数。得到对应的二进制数。 例：将八进制数（例：将八进制数（453.627453.627）8 8转换为二进制数。转换为二进制数。则（则（453.627）8=（100101011.110010111）24 5 3 . 6 2 7 011100101110010111 （2 2）二进制和十六进制间的相互转换）二进制和十六

15、进制间的相互转换 二十六转换二十六转换 方法：方法：整数部分整数部分 -从低位（小数点左边第一位）开始，每四位从低位（小数点左边第一位）开始，每四位二进制数分为一组，最后不足四位的前面补零，二进制数分为一组，最后不足四位的前面补零，每组用一位等价的十六进制数来代替；每组用一位等价的十六进制数来代替；小数部分小数部分 -从高位（小数点右边第一位）开始，每四位从高位（小数点右边第一位）开始，每四位二进制数分为一组，最后不足四位的后面补零，二进制数分为一组，最后不足四位的后面补零，然后按顺序写出对应的十六进制数。然后按顺序写出对应的十六进制数。 例例: :将二进制数（将二进制数（110111101.

16、011101011110111101.011101011）2 2转换为转换为十六进制数。十六进制数。 则（则（110111101.011101011110111101.011101011）2 2= =（1 1BDBD.758.758）8 8 1 1011 1101.0111 0101 1000. 1D58B7000 十六二转换十六二转换 方法：方法：将每位十六进制数用等价的四位二进制数来表示，将每位十六进制数用等价的四位二进制数来表示，便得到对应的二进制数。便得到对应的二进制数。 例例: :将十六进制数（将十六进制数（6 6E E. .DCDC）1616转换为二进制数。转换为二进制数。则（则（

17、6E.DC）16 =（1101110.11011100）26 E . D C11010110 11101100 数分为数分为无符号数无符号数和和有符号数有符号数。 有符号数则由两部分组成，即有符号数则由两部分组成，即符号位符号位（“”或或“”）和）和数值数值。 直接用直接用“”或或“”表示符号的二进制数称为表示符号的二进制数称为符号数的真值符号数的真值。 将符号位数值化以后，可以在计算机中使用的有将符号位数值化以后，可以在计算机中使用的有符号数称为符号数称为机器数机器数。 二进制数的三种表示方法二进制数的三种表示方法: :原码原码、反码反码和和补码补码。1.2 二进制数的表示方法二进制数的表示

18、方法1.2.1 原码原码原码原码（true form）又被称为又被称为“符号数值符号数值（signed-magnitude）”表示。表示。符号位：符号位：最高位表示，表示该数的符号，正数最高位表示，表示该数的符号，正数符号位为符号位为“0 0”，负数符号位为，负数符号位为“1 1” ” 。1.1.正数的原码正数的原码对于正数对于正数D D= =110101110101，2. 2. 负数的原码负数的原码对于负数对于负数D D110101110101， 0 1 1 0 1 0 1 数的符号位数的符号位数的本身数的本身1 1 1 0 1 0 1 数的符号位数的符号位数的本身数的本身1.2.2 反码反

19、码反码反码 (ones complement)又称为又称为“对对1的补数的补数”。符号位：符号位：最高位表示，正数符号位为最高位表示，正数符号位为“0 0”，负数符号，负数符号位为位为“1 1” ” 。正数正数反码和原码相同；反码和原码相同；负数负数反码的数值是将原码数值逐位取反。反码的数值是将原码数值逐位取反。1.1.正数的反码正数的反码对于正数对于正数D D= =110101110101，2. 2. 负数的反码负数的反码对于负数对于负数D D110101110101， 0 1 1 0 1 0 1 数的符号位数的符号位数的本身数的本身1 0 0 1 0 1 0 数的符号位数的符号位原码数值逐

20、位取反原码数值逐位取反1.2.3 补码补码补码补码（twos complement）又称为）又称为“对对2的补数的补数”。正数的表示正数的表示与原码和反码的表示相同，即左边第一位是与原码和反码的表示相同，即左边第一位是符号位，正数的符号位为符号位，正数的符号位为“0”；负数的表示负数的表示符号位为符号位为“1”，负数的补码为其相应的反码，负数的补码为其相应的反码在最低位加在最低位加1，即将原码数值按位取反后，在最低位加，即将原码数值按位取反后，在最低位加1。1.1.正数的补码正数的补码对于正数对于正数D D= =110101110101，2. 2. 负数的补码负数的补码对于负数对于负数D D1

21、10101110101， D补D反10 1 1 0 1 0 1 数的符号位数的符号位数的本身数的本身1 0 0 1 0 1 1 数的符号位数的符号位反码加反码加11.4 编码编码编码（编码（code）:用于表示不同的数或事件的一组用于表示不同的数或事件的一组n位二进制码的集合，称为这种多位的二进制码叫位二进制码的集合，称为这种多位的二进制码叫做代码。做代码。码制（码制（code system）:在编制代码时遵循的规则。在编制代码时遵循的规则。编码后的代码都具有一定的含义。编码后的代码都具有一定的含义。三种常用编码：三种常用编码：二十进制编码（二十进制编码（BCD码）、格码）、格雷码和雷码和AS

22、CII码。码。1.4.1 二十进制编码（二十进制编码（BCD码）码） 二十进制编码二十进制编码是用四位二进制代码表示一位十进制数的编码方式，二十进制编码二十进制编码也称为BCD（binary coded decimal）码，其本质是十进制，表现形式为二进制代码。四位二进制代码具有十六种取值组合，取哪十种组合来表示十进制数字符号就有多种方案，这样就形成了不同的BCD码。 无权码542124212421无权码8421权0010011001110101010011001101111111101010000000010010001101001000100110101011110000000001001

23、000110100101111001101111011110000000100100011010001010110011111101111001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100010101100111100010010123456789余3循环码5421码2421码(B)2421码(A)余3码8421码十进制 常用的几种常用的几种BCD码码1.4.2 格雷码格雷码0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 0循 环 码01234567十进制数 四位

24、循环码四位循环码1 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0循 环 码89101112131415十进制数0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 01.4.3 ASCII码码 ASCII码码是是American National Standard Code for Information Interchange美国国家

25、信息交换美国国家信息交换标准代码的简称。标准代码的简称。常用于通讯设备和计算机中。常用于通讯设备和计算机中。它是一组八位二进制代码，用它是一组八位二进制代码，用17这七位二进制这七位二进制代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第八位作奇偶校验位（在机器中常为八位作奇偶校验位（在机器中常为0）。）。 ASCII码码DELo_O?/USSI1111nN.RSSO1110mM=-GSCR1101|lL,FSFF1100kK;+ESCVT(home)1011zjZJ:*SUBLF(line feed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(

26、CANBS1000wgWG7ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001pP0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001001b4b3b2b1b7b6b51.5 逻辑代数基础逻辑代数基础1.5.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数ABF=f(A,B) 数字电路框图数字电路框图数字电路数字电路逻辑变量逻辑变量 输入输入A、B称为称为逻辑自变量逻辑自变量； 输出输出 F称为

27、称为逻辑因变量逻辑因变量。 当当A、B取值确定之后，输出取值确定之后，输出F的值被唯一确定的值被唯一确定逻辑函数逻辑函数F称作称作A、B输入变量的逻辑函输入变量的逻辑函数，并写成：数，并写成：F=f (A，B)。输入变量输入变量A、B取值只能为逻取值只能为逻辑值辑值0或或1，输出变量，输出变量F也只能是也只能是0或或1 。 高、低电平高、低电平表示的是两种不同的表示的是两种不同的状态，它们表示的都是一定的电压状态，它们表示的都是一定的电压范围。范围。 正逻辑（正逻辑（positive logic） 如果如果用高电平表示逻辑用高电平表示逻辑1而低电平表示而低电平表示逻辑逻辑0。 负逻辑（负逻辑（

28、negative logic）如果如果用低电平表示逻辑用低电平表示逻辑1而高电平表示而高电平表示逻辑逻辑0。 一般来说，无特殊说明一律采用一般来说，无特殊说明一律采用正正逻辑体制。逻辑体制。上限值上限值下限值下限值上限值上限值下限值下限值5V2V0.8V0V高电平高电平H低电平低电平L1.5.2 常用逻辑运算常用逻辑运算l复合逻辑运算复合逻辑运算u与非与非逻辑逻辑u或非或非逻辑逻辑u与或非与或非逻辑逻辑u同或同或逻辑逻辑u异或异或逻辑逻辑l基本逻辑运算基本逻辑运算与（与（AND）逻辑）逻辑或（或（OR）逻辑逻辑非（非（NOT）逻辑逻辑（1）“与与”逻辑逻辑只有决定事物结果的全部条件都具备时，结

29、只有决定事物结果的全部条件都具备时，结果才会发生。果才会发生。当定义开关闭合为条件具备，且灯亮为事件发生时，当定义开关闭合为条件具备，且灯亮为事件发生时，该逻辑为该逻辑为“与与”逻辑。逻辑。UABY逻辑符号:&ABYUABY 真值表真值表A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1规定规定(变量取值变量取值): 开关合为逻辑开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1” 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 真值表特点真值表特点: 任任0 则则0, 全全1则则1与逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中，：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生所有条

30、件都具备，事件才会发生（成立）。（成立）。与逻辑运算规则与逻辑运算规则 逻辑乘逻辑乘与逻辑关系表示式与逻辑关系表示式Y= AY= AB = ABB = AB 与逻辑符号与逻辑符号: :& &A AB BY Y与逻辑关系与逻辑关系0 0 00 0 00 1 00 1 01 0 01 0 01 1 11 1 1A B YA B Y与逻辑真值表与逻辑真值表0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1或逻辑或逻辑：当决定一件事件的各条：当决定一件事件的各条件中，有一个或一个以上的条件件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。具备，事件就会发生（成立）。(2) “(2) “

31、或或”逻辑逻辑UABY0 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1A B YA B Y特点特点: :任任1 1 则则1, 1, 全全0 0则则0 0真值表真值表规定规定(变量取值变量取值): 开关合为逻辑开关合为逻辑“1”， 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”， 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 或逻辑运算规则或逻辑运算规则 逻辑加逻辑加或逻辑关系表示式或逻辑关系表示式 Y=A B 或逻辑符号或逻辑符号: :A AB BY Y1 10 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1A B YA B Y或逻辑真值

32、表或逻辑真值表或逻辑关系或逻辑关系0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1（3 3）“非非”逻逻辑辑“非非”逻辑逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。特点特点: 1: 1则则0, 00, 0则则1 1真值表真值表0 10 11 01 0A YA YYRAU规定规定(变量取值变量取值): 开关合为逻辑开关合为逻辑“1”， 开关断为逻辑开关断为逻辑“0” 灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”， 灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0” 非逻辑非逻辑 逻辑反逻辑反非逻辑真值表非逻辑真值表 A

33、Y 0 1 1 0 运算规则：运算规则： 0 1 1 0 非逻辑关系非逻辑关系非逻辑关系表示式非逻辑关系表示式 1 1Y YA A非门表示符号非门表示符号: :YA(4)(4)复合逻辑运算复合逻辑运算&AYBYAB与非逻辑真值表与非逻辑真值表ABY 或非逻辑真值表或非逻辑真值表1 1 ABYYABBAYABCDYY&AB&CD1 1 YDCAB1 1&CDABY两输入变量两输入变量A、B不同时，输出不同时，输出Y为为 1 而而A、B相同时，输出相同时，输出Y为为 0异或逻辑真值表异或逻辑真值表BABABAYYAB=1AYB两输入变量两输入变量A、B相同时，输出相

34、同时，输出Y为为 1 而而A、B不同时，输出不同时，输出Y为为 0异或逻辑真值表异或逻辑真值表=AYBABBAYYAB运算类型运算类型逻辑表达式逻辑表达式功能说明功能说明与非与非有有0为为1，全，全1为为0或非或非有有1为为0，全，全0为为1与或非与或非一组全一组全1为为0，每组有，每组有0为为1异或异或不同为不同为1，相同为，相同为0同或同或 =A B相同为相同为1，不同为，不同为0ABF BAFCDABFBABABAFBABAF复合逻辑运算表达式及功能说明复合逻辑运算表达式及功能说明复复合合逻逻辑辑关关系系小小结结FABBAF CDABF BABABAF BABAF =A B 复合逻辑运算

35、复合逻辑运算符号符号与非逻辑与非逻辑或非逻辑或非逻辑与或非逻辑与或非逻辑 异或逻辑异或逻辑 同或逻辑同或逻辑 复合逻辑关系小结复合逻辑关系小结乘运算规则乘运算规则: :加运算规则加运算规则: :非运算规则非运算规则: :0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=100=0 01=0 10=0 11=1A A A0 =0 A1 =A AA =AAA =00=1 1=0A+0 =A，A+1 =1，A+A =A， A+A =11.5.3 逻辑代数的定律与规则逻辑代数的定律与规则交换律交换律结合律结合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B

36、 C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代数不适数不适用用!如何证明？如何证明？与普通代数相似的定理与普通代数相似的定理公式和定理公式和定理公式和定理公式和定理求证求证: : （分配律第（分配律第2 2条）条） A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)证明证明: :右边右边 =(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; =AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; =A +A(B+C)+BC ; 结合律结合律,AA=A,AA=A=A(1+B+C)+BC ; =A(1+

37、B+C)+BC ; 结合律结合律=A =A 1+BC ; 1+B+C=1 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A =A+BC ; A 1=A 1=A= =左边左边摩根定理摩根定理AB =A+B A+B = AB用真值表证明用真值表证明A B AB A+B 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 证明证明: :与普通代数不同的定理与普通代数不同的定理公式和定理公式和定理逻辑代数的若干常用公式逻辑代数的若干常用公式AB+AB =A若两个乘积项中分别包含了若两个乘积项中分别包含了B B、B B，而其它因子而其它因子都相同时，可利用该公式将这两项合并成一项，都相同时，可

38、利用该公式将这两项合并成一项，并消去变量并消去变量B B。AB+AB = A(B+B) = A1 = A证明证明: :逻辑代数的若干常用公式逻辑代数的若干常用公式A+AB =AA+AB = A1+AB = A(1+B) = A1 = A证明证明: :在一个与或表达式中在一个与或表达式中, ,如果一个乘积项是另一如果一个乘积项是另一个乘积项的因子个乘积项的因子, ,则这另外一个乘积项是多余则这另外一个乘积项是多余的。的。逻辑代数的若干常用公式逻辑代数的若干常用公式A+AB=A+B证明证明: :A+AB =A+AB+AB =A+(A+A)B =A+ 1B ; A+A=1 =A+B在一个与或表达式中

39、在一个与或表达式中, ,如果一个乘积项的反是如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子另一个乘积项的因子, ,则这个因子是多余的。则这个因子是多余的。逻辑代数的若干常用公式逻辑代数的若干常用公式证明证明: :AB+AC+BC =AB+ACAB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +AC在一个与或表达式中在一个与或表达式中, ,如果两个乘积项中如果两个乘积项中, ,一一项包含了原变量项包含了原变量A A，另一项包含了反变量另一项包含了反变量A A，E E而这两项其余的因子都是第三个乘积项的因而这两项其余的因子都是第三个乘积

40、项的因子，则第三个乘积项是多余的。子，则第三个乘积项是多余的。逻辑代数的若干常用公式逻辑代数的若干常用公式ABABABACC一个由两项组成的表达式中，如果其中一项一个由两项组成的表达式中，如果其中一项含有因子含有因子A A，另一项含有因子另一项含有因子A A，那么将这两那么将这两项其余部分各自求反，就得到这个函数的反。项其余部分各自求反，就得到这个函数的反。公公 式式AAAABBAAA )()(CBACBAACABCBA)(BABA01AAAABBA)()(CBACBA)(CABABCABABA100 AAABBA)()(CBACBAACABCBA )(BABAABAA1=A B=说明说明求反

41、律求反律反演律反演律分配律分配律结合律结合律还原律还原律吸收律吸收律交换律交换律重叠律重叠律其他公式其他公式A A=1A B= B A(A B) C= A (B C)A+(B C)= (A+B) (A+C)ABAABAABABABAACAABBCCAABCAABBCDCAAB),.0 , 1 (),.,(zfxzxxfx),.,1 , 0 (),.0 , 1 (),.,(zfxzfxzxxf1 基本定律基本定律 （1 1）代入规则）代入规则 在任意的逻辑等式中，如果将等式两边所有出现某在任意的逻辑等式中，如果将等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个逻辑函数，则原等式仍一变量的地方，都代之

42、以一个逻辑函数，则原等式仍然成立。然成立。 例如：等式例如：等式BABA 若用若用F=AC 代替代替A，则根据代入规则，等式仍成立，即则根据代入规则，等式仍成立，即CBABCABCA2 基本规则基本规则 （2 2）反演规则）反演规则 已知某一逻辑函数的表达式，求其反函数表达式的规已知某一逻辑函数的表达式，求其反函数表达式的规则称为反演规则。则称为反演规则。原则：原则：u将逻辑表达式中所有的将逻辑表达式中所有的“”换成换成“+”， “+”换成换成“ ”（注意省略的（注意省略的“”号）；号）；u“1”换成换成“0”，“0”换成换成“1”；u原变量换成反变量，反变量换成原变量。原变量换成反变量，反变

43、量换成原变量。 【例例1-5】 求求 的反函数。的反函数。 解：由反演规则，得EDCBAF)(EDCBAF)( （3 3）对偶规则）对偶规则 若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也必若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也必定相等，反之亦然，这就是定相等，反之亦然，这就是对偶规则对偶规则。 原则原则u将逻辑函数中的将逻辑函数中的“”换成换成“”，“”换成换成“”；u“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，即可求得原逻辑函数，即可求得原逻辑函数F的对偶式的对偶式F。【例例1-6】 求逻辑函数求逻辑函数的的 对偶式。对偶式。 DCABFCDBAF)( 解：解：利用对偶规则，可得利用对偶规则，可得 1

44、.5.4 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数的表示方法有四种：逻辑函数的表示方法有四种：逻辑真值表逻辑真值表、逻辑函逻辑函数表达式数表达式、逻辑图逻辑图和和卡诺图卡诺图 。 1. 逻辑真值表逻辑真值表 逻辑函数最基本的表示方法，是将逻辑函数输入变量所有取值组合和逻辑函数最基本的表示方法，是将逻辑函数输入变量所有取值组合和输出函数值之间的对应关系列成表格形式。输出函数值之间的对应关系列成表格形式。 n个输入逻辑变量就有个输入逻辑变量就有2n个不同的取值组合，将输入变量的全部取值个不同的取值组合，将输入变量的全部取值组合和相应的函数值一一列举出来，即可得到真值表。组合和相应的函数值一一

45、列举出来，即可得到真值表。 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数的真值表具有唯一性。 如果两个逻辑函数的真值表相同，则这两个逻辑函数相等。如果两个逻辑函数的真值表相同，则这两个逻辑函数相等。1. 逻辑真值表逻辑真值表【例例1-7】 三人就某一提议进行表决，根据多数同意，表决通三人就某一提议进行表决，根据多数同意，表决通过的原则，列出表决结果的真值表。过的原则，列出表决结果的真值表。 解：解：设输入逻辑变量设输入逻辑变量A、B、C分分别代表三个人，别代表三个人，F代表表决结果，代表表决结果，两人以上同意则表示通过，否则两人以上同意则表示通过，否则为不通过。为不通过。A、B、C：同意为：同意为1，

46、不同意为，不同意为0。F：通过为：通过为1，不通过为，不通过为0。000101110 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1FA B C 表决逻辑真值表表决逻辑真值表 2. 逻辑函数表达式逻辑函数表达式 用用与、或、非与、或、非等基本逻辑运算表示逻辑函数中输入与输等基本逻辑运算表示逻辑函数中输入与输出之间逻辑关系的代数表达式，叫做出之间逻辑关系的代数表达式，叫做逻辑函数表达式逻辑函数表达式。 根据真值表可以直接根据真值表可以直接写逻辑函数表达式的步骤写逻辑函数表达式的步骤：（1）找出所有使逻辑函数值为）找出所有使逻辑函数值为1的输入变量取值组合；的输入变量

47、取值组合；（2）变量值为）变量值为1的写成原变量形式，变量值为的写成原变量形式，变量值为0的写成反变量形式，的写成反变量形式，这样对应于使逻辑函数值为这样对应于使逻辑函数值为1的每一种组合就可以写出一个与逻辑乘的每一种组合就可以写出一个与逻辑乘积项；积项；（3）把所有逻辑函数值为）把所有逻辑函数值为1的与逻辑乘积项进行逻辑加，便得到逻辑的与逻辑乘积项进行逻辑加，便得到逻辑原函数的标准与或表达式。把逻辑函数值为原函数的标准与或表达式。把逻辑函数值为0所对应的与逻辑乘积项所对应的与逻辑乘积项相加，则可得到逻辑函数反函数的标准与或表达式。相加，则可得到逻辑函数反函数的标准与或表达式。 2. 逻辑函数

48、表达式逻辑函数表达式 例例1-7表决逻辑的逻辑原函数及其反函数的表决逻辑的逻辑原函数及其反函数的标准与或式标准与或式： 表决逻辑的逻辑表决逻辑的逻辑原函数原函数： 表决逻辑的逻辑表决逻辑的逻辑反函数反函数： 逻辑函数表达式特点：逻辑函数表达式特点：（1）简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各个变量之间的逻辑关）简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各个变量之间的逻辑关系。系。（2）便于利用逻辑代数的公式和定理进行逻辑运算和各种变换。）便于利用逻辑代数的公式和定理进行逻辑运算和各种变换。（3）便于利用逻辑图实现逻辑函数。）便于利用逻辑图实现逻辑函数。（4）缺点是难以直接从逻辑变量取值看出逻辑函数的值，

49、不如真值）缺点是难以直接从逻辑变量取值看出逻辑函数的值，不如真值表直观。表直观。ABCCABCBABCAFCBACBACBACBAF 3. 逻辑图逻辑图 用基本逻辑门和复合逻辑门组成的能完成某一逻辑功能的用基本逻辑门和复合逻辑门组成的能完成某一逻辑功能的电路图为电路图为逻辑图逻辑图。 逻辑函数表达式是画逻辑图的重要依据。逻辑函数表达式是画逻辑图的重要依据。 画逻辑图的画逻辑图的方法方法：将逻辑函数表达式中各种逻辑运算用相：将逻辑函数表达式中各种逻辑运算用相应的应的门电路符号门电路符号来代替即可。来代替即可。 逻辑图只反映电路的逻辑图只反映电路的逻辑功能逻辑功能，而不反映电器性能。，而不反映电器

50、性能。 3. 逻辑图逻辑图 【例例1-8】将逻辑函数表达式将逻辑函数表达式F=AB+BC+CA画成逻辑图。画成逻辑图。 解：逻辑图如图所示。解：逻辑图如图所示。1ABCF 逻辑图逻辑图& 4. 卡诺图卡诺图（Karnaugh Map） 逻辑函数的一种图形表示方法。逻辑函数的一种图形表示方法。 表示逻辑函数和输入逻辑变量之间的逻辑关系表示逻辑函数和输入逻辑变量之间的逻辑关系 是真值表的一种变形，与真值表具有一一对应的关系是真值表的一种变形，与真值表具有一一对应的关系 卡诺图是数字逻辑设计中常用的一种数学工具。卡诺图是数字逻辑设计中常用的一种数学工具。 AB01010123A B F0 0

51、0 11 01 1二变量卡诺图与相应真值表对应关系二变量卡诺图与相应真值表对应关系 1.5.5逻辑函数的化简 1.逻辑函数的标准形式CBACBACBABCACBACBACABABC最小项之和的与或标准型：最小项之和的与或标准型： 二、标准与或式二、标准与或式 iimF 【例例1-9】写出函数写出函数F=AB+BC+AC的标准与或表达的标准与或表达式。式。 ),()()()(76533567mmmmmmmmBCACBACABABCCBAABCBCAABCCABABCBBACAABCCCABACBCABF 常用逻辑函数的五种表达形式：与或表达式，或与表达式，与非与非表达式，或非或非表达式，与或非表

52、达式。F=(A+B)(B+C)(C+A) 或与表达式或与表达式ACBCABF 与非与非表达式与非与非表达式ACCBBAF 与或非表达式与或非表达式F=AB+BC+AC 与或表达式与或表达式CACBBAF 或非或非表达式或非或非表达式2.逻辑函数的公式化简法u最简与或式最简与或式定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。乘的变量个数也最少的与或表达式。例如：例如：BCDBCCAABYBCCAABCAABu最简与非最简与非-与非式与非式 定义定义：非号最少，每个非号下面相乘的变：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非量个数

53、也最少的与非与非表达式。与非表达式。 在在最简与或最简与或表达式的基础上，表达式的基础上，两次取反两次取反，再用摩根定理再用摩根定理去掉下面的反号去掉下面的反号，即可得到函数，即可得到函数的的最简与非最简与非与非与非表达式。表达式。CAABYCAAB u最简或与式最简或与式 定义定义：括号个数最少，每个括号中相加的：括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与表达式。变量个数也最少的或与表达式。 在在反函数最简与或反函数最简与或表达式的基础上，表达式的基础上，取反取反，再用摩根定理去掉反号，即可得到函数的再用摩根定理去掉反号，即可得到函数的最简最简或与或与表达式。表达式。CABAYCAB

54、AYCABA)()(CABACAABYu最简或非最简或非或非式或非式 定义定义：非非号个数最少，非号下面相加变量号个数最少，非号下面相加变量的个数也最少的或非的个数也最少的或非或非表达式。或非表达式。 在最简或与式的基础上，在最简或与式的基础上，两次取反两次取反，再用，再用摩根定理去掉下面的反号，即可得到函数的摩根定理去掉下面的反号，即可得到函数的最最简或非简或非或非或非表达式。表达式。)()(CABAYCABAu最简与或非式最简与或非式 定义定义：在非号下面相加的乘积项的个数最：在非号下面相加的乘积项的个数最少少,每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非表

55、达式。或非表达式。 在最简或非在最简或非或非式的基础上，用摩根定或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，即可得到函数的理去掉大反号下面的小反号，即可得到函数的最简与或非最简与或非表达式。表达式。CABAYCABA (1) 并项法并项法 利用公式 ，可以把两项合并为一项，并消去B和 这两个互补变量。根据代入规则，A和B可以是单个变量，也可以是复杂的逻辑表达式。ABAABBFBCDBC DBCDBCD【例例1-10】化简化简BBCCBDDBCDDCBBCDDBCCDBDCBBCDDCBDBCDCBF)()()()(解解:2.逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法(2) 吸收法吸收法 利

56、用公式利用公式A+AB=A，可消去，可消去AB项。项。A和和B同样也可以是同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。任何一个复杂的逻辑式。 ()FAA BCABCDBC【例例1-11】 化简化简解解:将将A+BC看成一项看成一项 ()()()()()()FAA BCABCDBCAABCABCDBCABCABCABCDABC(3) 消项法消项法利用公式 ，可将BC项消去。其中A、B、C可以是任何复杂的逻辑式。EDCEBADCBAF)(【例例1-12】化简化简解解:EBADCBAEDCEBADCBAEDCEBADCBAF)(CAABBCCAAB (4) (4) 消因子法消因子法 利用公式 ，可将中的因子消

57、去。A、B可以是任何复杂的逻辑式。【例例1-13】化简化简DCDAACF解：解：DACDACACDCAACDCDAACF)(BABAA （5 5）配项法）配项法 根据基本公式A+A=A可以在函数式中重复写入某一项以获得更加简单的化简结果。 ABCBCACBAF【例例1-14】化简化简BCBAAABCCCBAABCBCABCACBAABCBCACBAF)()()()(解： （5 5）配项法）配项法 根据基本公式 ，将表达式中的某一项乘以 ,然后拆成两项分别与其它项合并，以求得到更简单的化简结果。AA【例例1-15】 化简化简CBCBBABAF()()()()()(1)(1)()FABABBCBC

58、ABAB CCBCAA BCABABCABCBCABCABCABABCBCABCABCABCABCBCAAC BBABBCAC解：1 AA3.逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法（1 1）逻辑变量的卡诺图）逻辑变量的卡诺图 将将n变量的全部最小项各用一个小方格表变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变变量最小项的卡诺图。量最小项的卡诺图。AB01013021AB0101卡诺图的画法：（二输入变量）卡诺图的画法：（二输入变量）AB0101m3

59、m0m2m1AB0101BABABAAB 变量卡诺图，实际上是变量卡诺图，实际上是一种最小项方块图。一种最小项方块图。0 01 10000010111111010 A ABCBC0 01 10000010111111010 A ABCBC0 01 13 32 24 45 57 76 60 01 10000010111111010 A ABCBCm m0 0m m1 1m m3 3m m2 2m m4 4m m5 5m m7 7m m6 6卡诺图的画法：卡诺图的画法：（三输入变量）（三输入变量）ABC0001111001CBA CBA BCA CBA CBA CBA ABC CAB ABC000

60、1111001CBA CBA BCA CBA CBA CBA ABC CAB 三变量卡诺图三变量卡诺图由图可见，卡诺图中每相邻的两个由图可见，卡诺图中每相邻的两个最小项一定可以合并后消掉一因子。最小项一定可以合并后消掉一因子。变量取值变量取值每相邻格每相邻格只允许一个变量只允许一个变量的值改变的值改变ABCD0001111000011110变量卡诺图一般都变量卡诺图一般都画成正方形或矩形。画成正方形或矩形。n n个变量，有个变量，有2 2n n个个最小项，用最小项，用2 2n n个小个小方格表示。方格表示。按循环码排列变量取值顺序。只有这样排列，按循环码排列变量取值顺序。只有这样排列，所得到的最小项方块图，才叫做卡诺图。所得到的最小项方块图，才叫做卡诺图。四