2018版高考帮·数学-选修4-5-不等式选讲

1、目 录 Contents考情精解读考点1考点2考点4考点3A.知识全通关B.题型全突破考法1考法2考法3C.能力大提升专题考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:|a+b|a|+|b|.|a-b|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲考纲解读命题规律考

2、情精解读2命题趋势 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域不等式的性质与绝对值不等式【80%】全国,24,10分全国,24,10分全国,24,10分全国,24,10分全国,24,10分2016浙江,8,5分2015山东,5,5分2015江苏,21D,10分2015天津,4,5分2015浙江,14,4分不等式的证明【30%】全国,24,10分全国,24,10分2016江苏,21D,10分2014江苏,21D,10分考纲解读命题规律考情精解读3返回目录1.热点预测绝对值不等式的解法与证明,恒成立问题,用基本不等式、柯西不等式证明不等式是高考考查的热点

3、和重点,以选择题、填空题呈现时,分值为5分,解答题往往涉及含有两个绝对值的问题或不等式的证明问题,难度中等,分值10分.2.趋势分析预测2018年,含参不等式的求解、证明及恒成立问题,绝对值不等式的解法,不等式的证明可能会成为命题方向,多与函数综合考查,应引起关注.命题趋势 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲知识全通关知识全通关1考点1不等式的性质继续学习 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲1.不等式的基本性质不等式的基本性质,详见高考帮P187不等式的性质.2.基本不等式定理1如果a,bR,那么a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理2(基本不等式)如果a,b0,那么 ,当且仅当a

4、=b时,等号成立.即:两个正数的算术平均不小于(大于或等于)它们的几何平均.定理3如果a,b,cR+,那么 ， 当且仅当a=b=c时,等号成立.即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.推广对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即当且仅当a1=a2=an时,等号成立.知识全通关2 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习1.绝对值三角不等式定理1如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.定理2如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.考点2 绝对值不等式知识全通关3 高考帮

5、数学 选修4-5 不等式选讲继续学习选修4-4坐标系与参数方程数学 选修4-4坐标与参数方程|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|,|a|+|b|之间的关系(1)|a+b|a|-|b|,当且仅当a-b0时,等号成立.(2)|a|-|b|a-b|a|+|b|,当且仅当|a|b|且ab0时,左边等号成立,当且仅当ab0时,右边等号成立【辨析比较】知识全通关4 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:(2)|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法:若c0,则|ax+b|c等价于-cax+bc,|ax+b|c等价于ax+

6、bc或ax+b-c,然后根据a,b的值解出即可.若c0a=0a0|x|a-axax|xa或x0),|x-a|-|x-b|c(或c)(c0)型不等式的解法:零点分区间法零点分区间法的一般步骤为:(i)令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根;(ii)将这些根按从小到大排序,并把实数集分成若干个区间;(iii)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出解集;(iv)取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.【注意】分区间讨论时,一是不要把分成的区间的端点遗漏,二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集,而不是交集.知识全通关6 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习

7、几何法:利用|x-a|的几何意义由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|c(c0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.数形结合法通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题的关键.【说明】构造函数时,应准确分类讨论并写出正确的分段函数,画出相应的图象是解题的关键.(4)|f(x)|g(x),|f(x)|0)型不等式的解法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(

8、x).|f(x)|g(x)-g(x)f(x)b,只需证a-b0.(2)作商法:要证明ab,b0,只要证1.2.综合法 从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.3.分析法 从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫分析法.考点3 证明不等式的基本方法知识全通关8 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习4.反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明

9、的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法.5.放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.这种证明方法叫放缩法.知识全通关9 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习1.二维形式的柯西不等式定理1若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.2.柯西不等式的向量形式定理2设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立.3.二维形式的三角不等式 定理3设x1,y1,x2,y2R,那么考点4 柯西不等

10、式与排序不等式返回目录 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲题型全突破104.一般形式的柯西不等式定理设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.5.排序不等式(排序原理) 定理设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1, c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+anb1a1c1+a2c2+ancna1b1+a2b2+anbn,当且仅当a1=a2=an或b1=b2=bn时

11、,反序和等于顺序和 .题型全突破考法1 绝对值不等式的解法继续学习 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲题型全突破1考法指导解绝对值不等式的常用方法(1)基本性质法:对aR+,|x|a-axaxa. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解.(5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解. 高考帮数学 选修4-5 不

12、等式选讲继续学习题型全突破2考法示例1(1)若关于x的不等式|ax-2|3的解集为x|-5/3x1/31,则a=.(2)不等式|x+3|-|2x-1|m的解集为 ,则f(x)m恒成立. 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习题型全突破6考法示例2设函数f(x)=x+|x-a|.(1)当a=2 018时,求函数f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2x-f(x)恒成立时a的取值范围.思路分析 (1)把a的值代入已知函数式f(x)去掉绝对值符号求得结论(2)转化已知不等式根据不等式恒成立的条件,构造关于a的不等式解不等式,得出a的取值范围 高考帮数学 选修4-5 不等

13、式选讲继续学习题型全突破7解析 点评解决含参数绝对值不等式问题的关键是根据条件确定参数所满足的条件,基本思路就是先去掉绝对值符号,然后将其转化为一次方程求解. 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲考法3 不等式的证明继续学习题型全突破8考法指导证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法;如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明,用换元法证明不等式时,要注意新元的取值范围.证明不

14、等式常用的思路:利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解. 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习题型全突破9考法示例3已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值;(2)若a,b,cR+,且 =m ,求证:a+2b+3c9.思路分析思路分析 (1)将m当作常量解不等式,根据不等式的解集得出m的值;(2)根据柯西不等式证明结论. 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习题型全突破10解析 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习题型全突破11考法示例4设a,b,c为ABC的三边,求证:a2+b2+c22(ab+bc+ca).思路分析思路分析 要证此不等式可以把不等式两边作差化简整理然后利用三角形三边关系比较大小从而得证 高考帮数学 选修4-5 不等式选讲继续学习题型全突破12 解析 a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-a2-b2-c2=(a-b)2-c2+(b-c)2-a2+(c-a)2-b2.而在ABC中,|b-a|c,所以(a-b)2c2,即(a-b)2-c20.