届总复习-走向清华北大--32一元二次不等式ppt课件

1、第三十二讲第三十二讲 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法名师指点名师指点练根底练根底回归课本回归课本1.1.一元二次不等式的定义一元二次不等式的定义只含有只含有1 1个未知数个未知数, ,并且未知数的最高次数是并且未知数的最高次数是2 2的不等式叫做的不等式叫做一元二次不等式一元二次不等式. .2.2.一元二次不等式的解集如下表一元二次不等式的解集如下表3.ab,xaxb0;0 xaxb0()()0,0;()()0,0.0;00 xaxbxaxbxa xbxaxbxbxa xbxaxbxb分式不等式与一元二次不等式的关系设等价于等价于等价于等价于分式不等式解法的本质是转化分式不等式解

2、法的本质是转化, ,把分式不等式转化为整式把分式不等式转化为整式不等式来求解不等式来求解, ,需求留意分式有意义即分母不为零需求留意分式有意义即分母不为零, ,也可将也可将分式不等式转化为两个不等式的交集分式不等式转化为两个不等式的交集, ,继而求出其解集继而求出其解集. .4.4.用一个程序框图来描画一元二次不等式用一个程序框图来描画一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程的求解的算法过程考点陪练考点陪练1.(20211.(2021大连模拟题大连模拟题) )不等式不等式x(1-x)0 x(1-x)0的解集为的解集为( )( )A.x|x-1A.x|x

3、0 x0B.x|-1x0B.x|-1x0C.x|0 x1C.x|0 x1D.x|x0D.x|x1x1解析解析: :利用数轴标根法可得利用数轴标根法可得0 x1.0 x1.所以选所以选C.C.答案答案:C:C2.(20212.(2021南昌调研题南昌调研题) )假设不等式假设不等式x2+ax+40 x2+ax+40对一切对一切x(0,1x(0,1恒成立恒成立, ,那么那么a a的取值范围为的取值范围为( )( )A.0,+)A.0,+)B.-4,+)B.-4,+)C.-5,+) C.-5,+) D.-4,4D.-4,4 2:a0,1.0,1.0,1,f xf 15,a5,444( )C(.4)x

4、xxxf xxxf xxx 最大值解析 原不等式可转化为 在区间上恒成立即将问题转化为求函数在区间上的最大值问题函数在上为增函数故应选答案答案:C:C3.(20213.(2021海口调研题海口调研题) )假设假设a0,a0,那么以下结论一定那么以下结论一定成立的是成立的是( )( )A.b24ac A.b24acB.b24acC.b24ac C.b24ac D.D.不能确定不能确定解析解析: :构造二次函数构造二次函数f(x)=ax2+bx+c,a0,f(x)=ax2+bx+c,a0,抛物线与抛物线与x x轴一定有两个交点轴一定有两个交点, ,那么那么=b2-4ac0,=b2-4ac0,应选应

5、选B.B.答案答案:B:B4.(2010)( )A. 0,2B.,0C. 2,D.,002,2xxxx江西 不等式的解集是2222,:002x x20,0 x2.xxxxxxxx 解析 由题得或即或解得答案答案:A:A5.5.假设关于假设关于x x的不等式的不等式x2-ax-a0 x2-ax-a0的解集为的解集为(-,+),(-,+),那么实那么实数数a a的取值范围是的取值范围是_;_;假设关于假设关于x x的不等式的不等式x2-ax-x2-ax-a-3a-3的解集不是空集的解集不是空集, ,那么实数那么实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析: :由由1010即即a2-4(-a)

6、0a2-4(-a)0得得-4a0;-4a0(a0),ax2+bx+c0).ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+c0).(2)(2)计算相应的判别式计算相应的判别式. .(3)(3)当当00时时, ,求出相应的一元二次方程的根求出相应的一元二次方程的根. .(4)(4)根据对应二次函数的图象根据对应二次函数的图象, ,写出不等式的解集写出不等式的解集. .【典例【典例1 1】 解以下不等式解以下不等式: :(1)2x2+4x+30;(1)2x2+4x+30;(2)-3x2-2x+80;(2)-3x2-2x+80;(3)8x-116x2.(3)8x-116x2. 分析分析 首先将二次项系数转

7、化为正数首先将二次项系数转化为正数, ,再看二次三项式能再看二次三项式能否因式分解否因式分解, ,假设能假设能, ,那么可得方程的两根那么可得方程的两根, ,大于号取两边大于号取两边, ,小于号取中间小于号取中间, ,假设不能假设不能, ,那么再看那么再看“, ,利用求根公式利用求根公式求解方程的根求解方程的根, ,而后写出解集而后写出解集. . 2222 144 2 3162480.2x4x30.2x4x30. 23x2x80 x23x40 x2x4(, 2.34,.3 解方程没有实根的解集为原不等式等价于或 不等式的解集为 22316x8x1 04x10.4x141.0,41,x 原不等式

8、等价于只有当即时不等式成立故不等式解集为类型二类型二含有参数的一元二次不等式的解法含有参数的一元二次不等式的解法解题预备解题预备:1.:1.含参数的一元二次不等式中关于字母参数的取含参数的一元二次不等式中关于字母参数的取值范围问题值范围问题, ,主要调查一元二次不等式的解与系数的关系主要调查一元二次不等式的解与系数的关系以及分类讨论的数学思想以及分类讨论的数学思想. .2.2.含有参数的不等式的求解含有参数的不等式的求解, ,往往需求比较相应方程的根的往往需求比较相应方程的根的大小大小, ,对参数进展讨论对参数进展讨论. .3.3.含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式, ,假设二次项系

9、数为常数假设二次项系数为常数, ,可先可先思索分解因式思索分解因式, ,再对参数进展讨论再对参数进展讨论. .假设不易因式分解假设不易因式分解, ,那那么可对判别式进展分类讨论么可对判别式进展分类讨论, ,分类要不重不漏分类要不重不漏. .假设二次项假设二次项系数为参数系数为参数, ,那么应先思索二次项系数能否为零那么应先思索二次项系数能否为零, ,然后再讨然后再讨论二次项系数不为零时的情形论二次项系数不为零时的情形, ,以便确定解集的方式以便确定解集的方式. .然后然后对方程的根进展讨论对方程的根进展讨论, ,比较大小比较大小, ,以便写出解集以便写出解集. .【典例【典例2 2】 解关于解

10、关于x x的不等式的不等式ax2-(a+1)x+10.ax2-(a+1)x+10ax2+bx+c0的解是全体实数的解是全体实数( (或恒成立或恒成立) )的条件是当的条件是当a=0a=0时时,b=0,c0;,b=0,c0;当当a0a0时时, , 2.2.不等式不等式ax2+bx+c0ax2+bx+c0的解是全体实数的解是全体实数( (或恒成立或恒成立) )的条件是当的条件是当a=0a=0时时,b=0,c0;,b=0,c0ax2+bx+c0的不等式恒成立问题的不等式恒成立问题, ,必需对必需对a=0a=0或或a0a0分类讨论分类讨论, ,防止产生漏解防止产生漏解. .0,0.a 0,0.a 【典

11、例【典例3 3】 知不等式知不等式mx2-2x+m-20.mx2-2x+m-20.(1)(1)假设对于一切的实数假设对于一切的实数x x不等式恒成立不等式恒成立, ,求求m m的取值范围的取值范围; ;(2)(2)设不等式对于满足设不等式对于满足|m|2|m|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, ,求求x x的取值的取值范围范围. . 分析分析 (1) (1)讨论讨论m m能否为零能否为零, ,可结合二次函数的图象求解可结合二次函数的图象求解;(2);(2)看作关于看作关于m m的一次函数的一次函数, ,利用其单调性求解利用其单调性求解. . 解解 (1) (1)对一切实数对一切实数x,

12、x,都有不等式都有不等式mx2-2x+m-20mx2-2x+m-20恒成立恒成立, ,即函数即函数f(x)=mx2-2x+m-2f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. .当当m=0m=0时时,-2x-20,-2x-20 x2+10知知g(m)g(m)在在-2,2-2,2上为增函数上为增函数, ,那么由题意只需那么由题意只需g(2)0g(2)0即可即可, ,即即2x2+2-2x-20,2x2+2-2x-20,解得解得0 x1.0 x1.即即x x的取值范围是的取值范围是(0,1).(0,1). 反思感悟反思感悟 对于含参数的不等式恒成立问题对于含参数的不等式恒

13、成立问题, ,假设参数的假设参数的次数是一次且易于分别时次数是一次且易于分别时, ,可以变换主元可以变换主元, ,借助于一次函数借助于一次函数的单调性求解的单调性求解. .类型四类型四 一元二次不等式的实践运用一元二次不等式的实践运用解题预备解题预备: :不等式解法的运用主要表达在两个方面不等式解法的运用主要表达在两个方面: :一是不等一是不等式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的运用式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的运用; ;二是二是经过建立不等式模型经过建立不等式模型, ,处理生活中的实践问题处理生活中的实践问题. .本类问题处本类问题处理时理时, ,留意等价转化和函数方程思想的运

14、用留意等价转化和函数方程思想的运用. .【典例【典例4 4】 某种商品某种商品, ,如今定价如今定价p p元元, ,每月卖出每月卖出n n件件, ,设定价上设定价上涨涨x x成成, ,每月卖出数量减少每月卖出数量减少y y成成, ,每月售货总金额变成如今的每月售货总金额变成如今的z z倍倍. .(1)(1)用用x x和和y y表示表示z;z;(2)(2)设设y=kx(0k1),y=kx(0k0(aR).x2+ax+40(aR).221,22216,21616|.22xax40aaxaaaax xx 错解由得所以不等式的解集或为 分析分析 此题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因此题忽略对判别式的

15、讨论是导致错误的主因. . 正解正解 由于由于=a2-16,=a2-16,(1)(1)当当0,0,即即-4a4-4a4时时, ,解集为解集为R;R;(2)=0,(2)=0,即即a=a=4.4.a=4a=4时时, ,解集为解集为x|x-2,x|x-2,a=-4a=-4时时, ,解集为解集为x|x2.x|x2. 2230,a4a4,1616|.22aaaax xx 当即或或时解集为错源二错源二思想滞于外表景象思想滞于外表景象, ,忽视分类讨论忽视分类讨论【典例【典例2 2】解关于】解关于x x的不等式的不等式 (aR). (aR). 错解错解 原不等式即为原不等式即为(x-a)(x-a2)0.(x

16、-a)(x-a2)0.aa2.aa2.不等式的解集为不等式的解集为x|axa2.x|axaa2a而不分类而不分类, ,也易在分类时也易在分类时漏掉漏掉a=a2a=a2的情况的情况; ;或在讨论或在讨论a=a2a=a2时时, ,误将不等式解集写成误将不等式解集写成x|xRx|xR且且x0.x0. 正解正解 原不等式即为原不等式即为(x-a)(x-a2)0,(x-a)(x-a2)0,a-a2=a(1-a),a-a2=a(1-a),那么那么当当a0a1a1时时,aa2,aa2,此时不等式的解为此时不等式的解为axa2;axa2;当当0a10aa2,aa2,此时不等式的解为此时不等式的解为a2xa;a

17、2xa;当当a=0a=0或或a=1a=1时时,a=a2,a=a2,原不等式变形为原不等式变形为(x-a)20(x-a)20不成立不成立. .综上综上, ,当当a0a1a1时时, ,原不等式的解集为原不等式的解集为x|axa2;x|axa2;当当0a10a1时时, ,原不等式的解集为原不等式的解集为x|a2xa;x|a2x4x+p-3x2+px4x+p-3恒成立恒成立, ,求求x x的取值范围的取值范围. . 解题切入点解题切入点 这是一个有关这是一个有关x x的二次不等式恒成立问题的二次不等式恒成立问题, ,但但假设以假设以x x为主元思索解题将非常复杂为主元思索解题将非常复杂, ,而变换视角

18、而变换视角, ,令令p p为主为主元便可构建关于元便可构建关于p p的一次函数的一次函数, ,使问题很容易得解使问题很容易得解. . 2(0)f px1 px4x3,f p00p40,2430,31.(4)0,2 10,fxxxxfx 解 构造函数依题知对 恒成或立因此只要技法二技法二数轴标根法数轴标根法【典例【典例2 2】不等式】不等式 的解集是的解集是( )( )A.(-,-1)(1,2)(3,+)A.(-,-1)(1,2)(3,+)B.(-1,1)(2,3)B.(-1,1)(2,3)C.(-1,1)(1,2)C.(-1,1)(1,2)D.(1,2)(2,3)D.(1,2)(2,3)2232023xxxx 解析解析 原不等式为原不等式为 等价于等价于: :(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0.(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0(0(0)的值的符号变化的值的符号变化, ,写出不等式的解集写出不等式的解集. .留意留意: :当因式中出现当因式中出现“正项时用正项时用“舍项法舍项法; ;当因式中出现当因式中出现“偶次方项偶次方项(x+a)2m(x+a